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曲线论基本定理表明，在给定曲率 κ>0\kappa>0 和挠率 τ\tau 的条件下，空间曲线在刚体运动下唯一确定。类似地，曲面论基本定理表明，在给定第一基本形式和第二基本形式满足 Gauss-Codazzi 方程的条件下，曲面在刚体运动下唯一确定。

# 活动标架

Definition. {r(u,v);x1,x2,x3}\{\pmb r(u,v); \pmb x_1,\pmb x_2,\pmb x_3\} 称为 SS 的活动标架，如果 (x1,x2,x3)≠0(\pmb x_1,\pmb x_2,\pmb x_3)\neq 0。

Remark. 当 (x1,x2,x3)>0(\pmb x_1,\pmb x_2,\pmb x_3)>0 时，称为正定向活动标架。

Example. 自然标架 {r;ru,rv,n}\{\pmb r;\pmb r_u,\pmb r_v,\pmb n\} 是一种活动标架。

Example. 对自然标架进行 Gram-Schmidt 正交化，得到单位正交标架场 {r;e1,e2,e3}\{\pmb r;\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\}，也是一种活动标架，是正交标架的一种。如果取 A∈SO(2)A\in SO(2)，则

(e~1e~2)=A(e1e2);e~3=e3\begin{pmatrix}\pmb{\tilde e}_1 \\ \pmb{\tilde e}_2\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\pmb e_1 \\ \pmb e_2\end{pmatrix};\quad \pmb{\tilde e}_3=\pmb e_3

也是一种正交标架。

Remark. 通过研究曲面上的任意标架来研究曲面与标架无关的几何性质，是微分几何的一个基本方法。

# 自然标架的运动方程

通过曲面 SS 上的自然标架 {r;ru,rv,n}\{\pmb r;\pmb r_u,\pmb r_v,\pmb n\} 研究曲面性质。

Notation. 采用如下张量记法

r=r(u1,u2);rα=∂r∂uα;rαβ=∂2r∂uβ∂uα;nα=∂n∂uα\pmb r=\pmb r(u^1,u^2);\quad \displaystyle \pmb r_\alpha=\frac{\partial \pmb r}{\partial u^\alpha};\quad \pmb r_{\alpha\beta}=\dfrac {\partial^2\pmb r}{\partial u^\beta\partial u^\alpha};\quad \pmb{n}_\alpha=\dfrac {\partial \pmb n}{\partial u^\alpha}

进一步

gαβ=⟨rα,rβ⟩;g=det⁡(gαβ);(gαβ)=(EFFG)g_{\alpha\beta}=\langle\pmb r_\alpha , \pmb r_\beta\rangle\ ;\quad g=\det (g_{\alpha\beta});\quad (g_{\alpha\beta})=\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}

bαβ=⟨rαβ,n⟩=−⟨rα,nβ⟩;b=det⁡(bαβ);(bαβ)=(LMMN)b_{\alpha\beta}=\langle \pmb r_{\alpha\beta},\pmb n\rangle=-\langle \pmb{r}_\alpha,\pmb{n}_\beta\rangle\ ;\quad b=\det(b_{\alpha\beta});\quad (b_{\alpha\beta})=\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}

Notation. Einstein 求和约定：上下重复指标表示求和。

Example. dr=rαduα\mathrm d\pmb r=\pmb r_\alpha \mathrm du^\alpha，I=gαβduαduβI=g_{\alpha\beta}\mathrm du^\alpha \mathrm du^\beta，II=bαβduαduβII=b_{\alpha\beta}\mathrm du^\alpha \mathrm du^\beta。

Notation. 记

(gαβ)=(gαβ)−1;(bαβ)=(bαγ)(gγβ)(g^{\alpha\beta})=(g_{\alpha\beta})^{-1};\quad (b^\beta_\alpha)=(b_{\alpha\gamma})(g^{\gamma \beta})

Corollary. gαγgγβ=δβαg^{\alpha\gamma}g_{\gamma\beta}=\delta^\alpha_\beta，bαβ=bαγgγβb^\beta_\alpha =b_{\alpha\gamma}g^{\gamma \beta}，其中 (bαβ)(b^\beta_\alpha) 是 Weingarten 变换的系数矩阵。

Corollary.

g11=Gg;g12=−Fg;g22=Egg^{11}=\frac Gg;\quad g^{12}=-\frac Fg;\quad g^{22}=\frac Eg

将 rαβ\pmb r_{\alpha\beta} 和 nα\pmb n_\alpha 在自然标架下展开。

Lemma. 记 rαβ,nα\pmb r_{\alpha\beta},\pmb n_\alpha 在自然标架下展开式为

rαβ=Γαβγrγ+bαβn;nα=−bαβrβ\pmb r_{\alpha\beta}=\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\pmb r_\gamma +b_{\alpha\beta}\pmb n;\quad \pmb n_\alpha =-b^\beta_\alpha \pmb r_\beta

其中系数 Γαβγ\Gamma^\gamma_{\alpha\beta} 称为第一类 Christoffel 符号，满足

Γαβμ=12gμγ(∂gβγ∂uα+∂gαγ∂uβ−∂gαβ∂uγ)\Gamma_{\alpha\beta}^\mu=\frac 12g^{\mu\gamma}\left(\frac{\partial g_{\beta\gamma}}{\partial u^\alpha}+\frac{\partial g_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}-\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}\right)

记 Γγαβ\Gamma_{\gamma\alpha\beta} 为第二类 Christoffel 符号，满足

Γγαβ=Γαβξgξγ=⟨rαβ,rγ⟩=12(∂gβγ∂uα+∂gαγ∂uβ−∂gαβ∂uγ)\Gamma_{\gamma\alpha\beta}=\Gamma_{\alpha\beta}^\xi g_{\xi\gamma}=\langle \pmb r_{\alpha\beta},\pmb r_\gamma\rangle =\frac 12\left(\frac{\partial g_{\beta\gamma}}{\partial u^\alpha}+\frac{\partial g_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}-\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}\right)

Corollary. Christoffel 符号有指标对称性。

Γγαβ=Γγβα;Γαβγ=Γβαγ\Gamma_{\gamma\alpha\beta}=\Gamma_{\gamma\beta\alpha};\quad \Gamma_{\alpha\beta}^\gamma=\Gamma_{\beta\alpha}^\gamma

Corollary. 特别地，当 (u,v)(u,v) 是正交参数时

Γ111=12(ln⁡E)u\Gamma^1_{11}=\dfrac 12(\ln E)_u

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# 曲面的结构方程

Definition. 运动方程的可积条件是指向量场 r(u,v),n(u,v)\pmb r(u,v),\pmb n(u,v) 满足如下方程组

∂∂uβ∂r∂uα=∂∂uα∂r∂uβ∂∂uγ∂rα∂uβ=∂∂uβ∂rα∂uγ∂∂uβ∂n∂uα=∂∂uα∂n∂uβ\begin{array}{ll}\dfrac {\partial}{\partial u^\beta}\dfrac {\partial \pmb r}{\partial u^\alpha}=\dfrac {\partial}{\partial u^\alpha}\dfrac {\partial \pmb r}{\partial u^\beta}\\ \\ \dfrac {\partial}{\partial u^\gamma}\dfrac {\partial \pmb r_\alpha}{\partial u^\beta}=\dfrac {\partial}{\partial u^\beta}\dfrac {\partial \pmb r_\alpha}{\partial u^\gamma}\\ \\ \dfrac {\partial}{\partial u^\beta}\dfrac {\partial \pmb n}{\partial u^\alpha}=\dfrac {\partial}{\partial u^\alpha}\dfrac {\partial \pmb n}{\partial u^\beta}\end{array}

Corollary. 光滑向量场

# 正交活动标架法

Example. 对自然标架进行 Gram-Schmidt 正交化，得到单位正交标架场。

Definition. 对曲面 SS 任意一点 PP，取单位正交的切向量

e1,e2∈TP(S);⟨ei,ej⟩=δij\pmb e_1,\pmb e_2\in T_P(S);\quad \langle \pmb e_i,\pmb e_j\rangle=\delta_{ij}

以及单位法向量 e3=e1∧e2\pmb e_3=\pmb e_1\wedge \pmb e_2，则 {r;e1,e2,e3}\{\pmb r;\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\} 称为沿曲面 SS 的（单位）正交标架场。

Remark. e3\pmb e_3 可能与曲面的法向量 n\pmb n 反向。

Remark. 正交标架场强调单位，自然标架并不强调单位。

我们来研究自然标架和一般正交标架之间的关系。

Definition. 令 ωi\omega_i 为 SS 上的微分 11 - 形式，满足

dr=ω1e1+ω2e2\mathrm d\pmb r=\omega_1\pmb e_1+\omega_2\pmb e_2

Remark. ωi\omega_i 也被称为 eie_i 的对偶形式。根据展开式

dr=(a11du+a12dv)e1+(a21du+a22dv)e2\mathrm d\pmb r=(a_{11}\mathrm du +a_{12}\mathrm dv)\pmb e_1 +(a_{21}\mathrm du +a_{22}\mathrm dv)\pmb e_2

知道小位移 dr\mathrm d\pmb r 在 e1,e2e_1,e_2 方向上的投影分别为 ω1,ω2\omega_1,\omega_2。所以 dr\mathrm d\pmb r 如果与 ei\pmb e_i 平行，则 ωj=0(j≠i)\omega_j=0(j\neq i)，这就说明了对偶关系（理解为投影）

ωi(ej)=δij\omega_i(\pmb e_j)=\delta_{ij}

# 曲面正交标架运动方程

Proposition. 正交标架场 {r;e1,e2,e3=n}\{\pmb r;\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3=\pmb n\}，则

d(re1e2e3)=(0ω1ω2000ω12ω130−ω120ω230−ω13−ω230)(re1e2e3),(ωiωij)=(⟨dr,ei⟩⟨dej,ei⟩)\mathrm d\begin{pmatrix}\pmb r\\ \pmb e_1 \\ \pmb e_2 \\ \pmb e_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\omega_1&\omega_2&0\\0& 0&\omega_{12}&\omega_{13}\\0&-\omega_{12}&0&\omega_{23}\\0& -\omega_{13}&-\omega_{23}&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\pmb r\\ \pmb e_1 \\ \pmb e_2 \\ \pmb e_3\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}\omega_i\\ \omega_{ij}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\langle \mathrm d\pmb r,\pmb e_i\rangle\\ \langle \mathrm d\pmb e_j,\pmb e_i\rangle\end{pmatrix}

称为曲面正交标架的运动方程。

Remark. ωi,ωij\omega_i,\omega_{ij} 都是曲面 SS 上的微分 11 - 形式。dr\mathrm d\pmb r 称为平移形式，dei\mathrm d\pmb e_i 称为旋转形式，ωij\omega_{ij} 称为联络形式。

Proposition. 存在 SS 上的函数 aija_{ij} 使得

(rurv)=(a11a12a21a22)(e1e2):=A(e1e2)\begin{pmatrix}\pmb r_u \\ \pmb r_v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\pmb e_1 \\ \pmb e_2\end{pmatrix}:=A\begin{pmatrix}\pmb e_1 \\ \pmb e_2\end{pmatrix}

矩阵 AA 称为基变换矩阵。

Proposition. BB 是第二基本形式系数矩阵，满足

(ω13ω23)=B(ω1ω2)=(h11h12h21h22)(ω1ω2)\begin{pmatrix}\omega_{13} \\ \omega_{23}\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}\omega_1 \\ \omega_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\ h_{21}&h_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_1 \\ \omega_2\end{pmatrix}

Lemma. BB 是对称矩阵。

Corollary. 与第一、二基本形式的关系为

I=ω12+ω22,II=ω1ω13+ω2ω23I=\omega_1^2+\omega^2_2,\quad II=\omega_1\omega_{13}+\omega_2\omega_{23}

并且在同法向正交标架下不变。

Proposition. 和 A,BA,B 有关的命题。

  1. 与 dr\mathrm d\pmb r 的关系

dr=(ω1ω2)(e1e2)=(dudv)A(e1e2)\mathrm d\pmb r=\begin{pmatrix}\omega_1&\omega_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\pmb e_1 \\ \pmb e_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathrm du&\mathrm dv\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}\pmb e_1 \\ \pmb e_2\end{pmatrix}

  1. 与 ω\omega 的关系

(ω1ω2)=(dudv)A\begin{pmatrix}\omega_1&\omega_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathrm du&\mathrm dv\end{pmatrix}A

  1. 与 II 的关系

I=(dudv)AAT(dudv)=ω12+ω22;AAT=(gαβ)I=\begin{pmatrix}\mathrm du&\mathrm dv\end{pmatrix}AA^T\begin{pmatrix}\mathrm du \\ \mathrm dv\end{pmatrix}=\omega_1^2+\omega^2_2;\quad AA^T=(g_{\alpha\beta})

  1. 与 IIII 的关系

II=(dudv)ABAT(dudv);ABAT=(bαβ)II=\begin{pmatrix}\mathrm du&\mathrm dv\end{pmatrix}ABA^T\begin{pmatrix}\mathrm du \\ \mathrm dv\end{pmatrix};\quad ABA^T=(b_{\alpha\beta})

  1. 与 Weingarten 变换的关系

W(e1e2)=B(e1e2)\mathcal W\begin{pmatrix}\pmb e_1 \\ \pmb e_2\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}\pmb e_1 \\ \pmb e_2\end{pmatrix}

特别地，当曲面没有脐点时，BB 为对角阵 diag(k1,k2)\mathrm{diag}(k_1,k_2)，此时

II=k1ω12+k2ω22II=k_1\omega_1^2+k_2\omega_2^2

  1. 与主曲率、Gauss 曲率、平均曲率的关系

K=det⁡B,H=12trB,det⁡(B−kiI)=0K=\det B,\quad H=\dfrac 12\mathrm{tr}B,\quad \det (B-k_iI)=0

# 外微分法

Definition. R2\mathbb R^2 的开区域 DD 上的函数 f(u,v)f(u,v) 为 DD 上的 00 次微分形式；22 次微分形式为

λ(u,v)du∧dv,λ∈C∞(D)\lambda(u,v)\mathrm du\wedge \mathrm dv,\quad \lambda \in C^\infty(D)

11 次微分形式 θ\theta 为

θ=fdu+gdv,f,g∈C∞(D)\theta=f\mathrm du+g\mathrm dv,\quad f,g\in C^\infty(D)

对 11 次微分形式 φi,θ\varphi_i,\theta 定义外积 ∧\wedge 为

  1. 线性：

(λ1φ1+λ2φ2)∧θ=λ1(φ1∧θ)+λ2(φ2∧θ)(\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2)\wedge \theta=\lambda_1(\varphi_1\wedge \theta)+\lambda_2(\varphi_2\wedge \theta)

  1. 反对称性：

du∧du=0;du∧dv=−dv∧du\mathrm du\wedge \mathrm du=0;\quad \mathrm du\wedge \mathrm dv=-\mathrm dv\wedge \mathrm du

定义外微分 d\mathrm d 为

  1. 对 00 次微分形式 f∈C∞(D)f\in C^\infty(D)，定义

df=∂f∂udu+∂f∂vdv\mathrm d f=\frac{\partial f}{\partial u}\mathrm du+\frac{\partial f}{\partial v}\mathrm dv

  1. 对 11 次微分形式 θ=fdu+gdv\theta=f\mathrm du+g\mathrm dv，定义

dθ=df∧du+dg∧dv=(∂g∂u−∂f∂v)du∧dv\mathrm d\theta=\mathrm df\wedge \mathrm du+\mathrm dg\wedge\mathrm dv=\left(\frac{\partial g}{\partial u}-\frac{\partial f}{\partial v}\right)\mathrm du\wedge \mathrm dv

  1. 对 22 次微分形式 φ=λdu∧dv\varphi=\lambda \mathrm du\wedge \mathrm dv，定义

dφ=dλ∧du∧dv=0\mathrm d\varphi=\mathrm d\lambda \wedge \mathrm du\wedge \mathrm dv=0

Corollary. φ\varphi 是 11 次微分形式，f,gf,g 是 00 次微分形式。

  1. d(fg)=(df)g+f(dg)\mathrm d(fg)=(\mathrm df)g+f(\mathrm dg)；
  2. d(fφ)=(df)∧φ+f(dφ),d(φf)=φ∧(df)+(dφ)f\mathrm d(f\varphi)=(\mathrm df)\wedge \varphi +f(\mathrm d\varphi),\mathrm d(\varphi f)=\varphi \wedge (\mathrm df)+(\mathrm d\varphi)f；
  3. ddf=ddφ=0\mathrm d\mathrm df=\mathrm d\mathrm d\varphi=0。

Remark. fφf\varphi 和 φf\varphi f 一般不同，这仅是形式化的推导上的区别。

Example. 面积元

ω1∧ω2=det⁡(A)du∧dv=g⋅du∧dv=dA\omega_1\wedge \omega_2=\det(A)\mathrm du\wedge \mathrm dv=\sqrt g\cdot \mathrm du\wedge \mathrm dv=\mathrm dA

# 曲面的结构方程

Theorem. Gauss-Codazzi 方程，即曲面的结构方程等价于

{dω1=ω12∧ω2dω2=ω21∧ω1dω12=ω13∧ω32dω13=ω12∧ω23dω23=ω21∧ω13\left\{\begin{array}{ll}\mathrm d\omega_1=\omega_{12}\wedge \omega_2\\ \\ \mathrm d\omega_2=\omega_{21}\wedge \omega_1\\ \\ \mathrm d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}\\ \\ \mathrm d\omega_{13}=\omega_{12}\wedge \omega_{23}\\ \\ \mathrm d\omega_{23}=\omega_{21}\wedge \omega_{13}\end{array}\right.

Proof. 对运动方程两边取外微分，有

(ddrdde1dde2dde3)=d(0ω1ω2000ω12ω130−ω120ω230−ω13−ω230)(re1e2e3)+(0ω1ω2000ω12ω130−ω120ω230−ω13−ω230)d(re1e2e3)\begin{pmatrix}\mathrm d\mathrm d\pmb r\\ \mathrm d\mathrm d\pmb e_1 \\ \mathrm d\mathrm d\pmb e_2 \\ \mathrm d\mathrm d\pmb e_3\end{pmatrix}=\mathrm d\begin{pmatrix}0&\omega_1&\omega_2&0\\0& 0&\omega_{12}&\omega_{13}\\0&-\omega_{12}&0&\omega_{23}\\0& -\omega_{13}&-\omega_{23}&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\pmb r\\ \pmb e_1 \\ \pmb e_2 \\ \pmb e_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&\omega_1&\omega_2&0\\0& 0&\omega_{12}&\omega_{13}\\0&-\omega_{12}&0&\omega_{23}\\0& -\omega_{13}&-\omega_{23}&0\end{pmatrix}\mathrm d\begin{pmatrix}\pmb r\\ \pmb e_1 \\ \pmb e_2 \\ \pmb e_3\end{pmatrix}

注意到

ddf=0⟺∂∂uβ∂f∂uα=∂∂uα∂f∂uβ\mathrm d\mathrm df=0\iff \dfrac {\partial}{\partial u^\beta}\dfrac {\partial f}{\partial u^\alpha}=\dfrac {\partial}{\partial u^\alpha}\dfrac {\partial f}{\partial u^\beta}

所以左侧等于 00 时的方程组

(ddrdde1dde2dde3)=0\begin{pmatrix}\mathrm d\mathrm d\pmb r\\ \mathrm d\mathrm d\pmb e_1 \\ \mathrm d\mathrm d\pmb e_2 \\ \mathrm d\mathrm d\pmb e_3\end{pmatrix}=0

就等价于运动方程的可积条件，即曲面的结构方程。计算右侧，得到

  1. ddr=0\mathrm d\mathrm d\pmb r=0 等价于

{dω1=ω12∧ω2dω2=ω21∧ω1\left\{\begin{array}{ll}\mathrm d\omega_1=\omega_{12}\wedge \omega_2\\ \\ \mathrm d\omega_2=\omega_{21}\wedge \omega_1\end{array}\right.

此外，还有第三条 ω1∧ω13+ω2∧ω23=0\omega_1\wedge \omega_{13}+\omega_2\wedge \omega_{23}=0，这等价于 h12=h21h_{12}=h_{21}。

  1. dde1,2=0\mathrm d\mathrm d\pmb e_{1,2}=0 等价于

dωαk=∑j=13ωαj∧ωjk,α=1,2;k=1,2,3\mathrm d\omega_{\alpha k}=\sum ^3_{j=1}\omega_{\alpha j}\wedge \omega_{j k},\quad \alpha=1,2;k=1,2,3

其中有三个独立方程，前者为 Gauss 方程，后两个为 Codazzi 方程。

{dω12=ω13∧ω32=−Kω1∧ω2dω13=ω12∧ω23dω23=ω21∧ω13\left\{\begin{array}{ll}\mathrm d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}=-K\omega_1\wedge \omega_2\\ \\ \mathrm d\omega_{13}=\omega_{12}\wedge \omega_{23}\\ \\ \mathrm d\omega_{23}=\omega_{21}\wedge \omega_{13}\end{array}\right.

  1. dde3=0\mathrm d\mathrm d\pmb e_3=0 的等价方程已经蕴含于 dde1,2=0\mathrm d\mathrm d\pmb e_{1,2}=0 中，没有新方程。得证。

Remark. 上述五条称为曲面的结构方程。j