# 卷积

# 定义

定义：设 $f,g$ 是定义在单位圆上的可积函数，定义 $f,g$ 之间的 卷积 为

$$(f*g)(x)=\dfrac 1{2\pi}\int ^\pi_{-\pi}f(t)g(x-t)\mathrm dt$$

粗略地说，卷积是一种加权平均。

# 基本性质

设 $f,g,h$ 是定义在单位圆上的可积函数，那么：

1. $f*(g+h)=(f*g)+(f*h)$
2. $(cf)*g=c(f*g)=f*(cg),\quad \forall c\in \mathbb C$
3. $f*g=g*f$
4. $(f*g)*h=f*(g*h)$
5. $f*g$ 是连续的
6. $\widehat {f*g}(n)=\hat f(n)\hat g(n)$

# 核

# 好核

# 定义

定义：设 $\{K_n(x)\}^\infty_{n=1}$ 是定义在单位圆上的一组核，称它们是 好核，如果满足以下条件：

1. 归一性：$\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int^\pi_{-\pi}K_n(x)\mathrm dx=1,\quad\forall n\in\mathbb N_+$
2. 有界性：$\exists M>0$，使得 $\displaystyle \int ^\pi_{-\pi}|K_n(x)|\mathrm dx\leq M,\quad \forall n\in \mathbb N_+$
3. 局部性：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\displaystyle \int_{\delta\leq |x|\leq \pi}|K_n(x)|\mathrm dx=0,\quad \forall \delta >0$

# 性质

# 趋同性 *

定理：设 $\{K_n(x)\}$ 为一簇好核

1. 若 $x$ 为 $f$ 的连续点，则

$$f*K_n(x)\to f(x),\quad n\to\infty$$

2. 若 $f\in C([-\pi,\pi])$，则

$$f*K_n(x)\rightrightarrows f(x),\quad n\to \infty$$

是否允许反常可积？

#

# Fejér 核

# 定义

定义：$f\in\mathcal R[-\pi,\pi]$，则称以下 $F_n(x)$ 为 Fejér 核

$$F_n(x)=\dfrac1n\sum^{n-1}_{k=0}D_k(x)$$

其中 $D_k(x)$ 为 Dirichlet 核。

# 性质

# 好核

性质：Fejér 核是好核。

# 显式形式

性质：Fejér 核可以写成如下显式形式

$$F_n(x)=\dfrac1n\dfrac{\sin^2\tfrac {nx}2}{\sin^2\tfrac x2}$$

证明是简单的，用指数形式推导更方便。

# 卷积形式

性质：Fejér 核可以写成如下卷积形式，其中 $\sigma_n(x)$ 是 Cesàro 求和

$$\sigma_n(x)=\dfrac1n\sum^{n-1}_{k=0}S_k(x)=(f*F_n)(x)$$

$$\mathfrak {UAOVYDGSP}$$