泛函分析作业 13

13.1 设 $C$ 是实赋范线性空间 $\mathcal X$ 中的一个凸集，并设

$$x_0\in \mathrm{int}(C),\quad x_1\in\partial C,\quad x_2=m(x_1-x_0)+x_0(m>1)$$

证明：$x_2\notin C$。

由 Hahn-Banach 定理几何形式 II 可以证明承托超平面的存在性。记 $\tilde C=\mathrm{int}(C-\{x_1\})$，则 $0\in \partial \tilde C$ 且 $\tilde C$ 为开凸集，由 Hahn-Banach 定理几何形式 II 可知，存在 $f\in X^*$ 使得

$$f(x)<c\leq f(0)=0,\quad \forall x\in \tilde C$$

所以 $f(x)< f(x_1)$ 对所有 $x\in \mathrm{int}C$ 成立。那么

$$\begin{array}{ll}f(x_2)&=f(m(x_1-x_0)+x_0)\\ \\&=mf(x_1)+(1-m)f(x_0)\\ \\&>mf(x_1)+(1-m)f(x_1)=f(x_1)\end{array}$$

这说明 $x_2\notin C$。

13.2 设 $X$ 为实赋范线性空间，$A\subseteq X$ 为非空凸集，证明：$\overline A$ 是所有 $X$ 的包含 $A$ 的闭半空间之交。

由于 $\overline A$ 是闭集，所以对于任意 $x\notin \overline A$，都存在 $r_x>0$ 使得 $B(x,r_x)\cap \overline A=\varnothing$。由 Hahn-Banach 定理几何形式 II 可知，存在 $f_x\in X^*$ 和 $c_x\in \mathbb R$ 使得

$$f_x(y)<c_x\leq f_x(z),\quad \forall y\in B(x,r_x),z\in A$$

这给出闭半空间

$$H_x:=\{f\geq c\}\supseteq A,\quad x\notin H_x$$

因此考虑所有这样的闭半空间的交

$$H=\bigcap_{x\notin \overline A}H_x\supseteq A$$

$H$ 是闭集，所以 $\overline A\subseteq H$。另一方面，因为对任意 $x\notin \overline A$，都有 $x\notin H$，所以 $H\subseteq \overline A$。得证。

13.3 设 $X,Y$ 为实赋范线性空间，试证明：
(1) 对任何赋范线性空间 $Z$，由有界线性映射 $B:X\times Y\to Z$ 构成的空间 $\mathcal B(X,Y;Z)$ 中可以定义范数

$$\|B\|:=\sup_{x,y\neq 0}\dfrac {\|B(x,y)\|_Z}{\|x\|_X\|y\|_Y},\quad \forall B\in\mathcal B(X,Y;Z)$$

(2) 映射 $\mathcal B(X,Y;Z)\to\mathcal L(X,(Y,Z)):B\to (x\mapsto B(x,\cdot))$ 是一个等距同构；
(3) 对每一对 $(x,y)\in X\times Y$ 定义线性泛函

13.4 设 $X$ 是 Banach 空间，$Y\subseteq X$ 为闭子空间，若 $Y$ 和 $X/Y$ 都是自反的，证明 $X$ 也是自反的。

考虑标准等距嵌入 $\Phi_X:X\to X^{**}$，因此只需证明 $\Phi_X$ 是满射。

(1) 对于任意 $x^*\in X^*$，定义

$$\tilde x^*\in X^*:\quad \tilde x^*(x):=x^{**}(x^*)$$