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# 本章基础知识

基本概念：基点，回路，回路乘积，同伦，相对同伦，同伦类，带基点的基本群，单位同伦类，逆元同伦类，基本群，道路乘法，单连通，度，道路提升，同伦提升，零伦，同伦等价，同伦逆，可收缩，

Lemma. 同伦是 X→YX\to Y 的连续映射的等价关系。

Lemma. 相对于 AA 的同伦是在 AA 上一致的连续映射 X→YX\to Y 的等价关系。

Lemma. 连续函数复合保持同伦。

Theorem. 保持基点的回路在同伦类意义下构成群，配备同伦类的回路乘积运算，称为该基点的基本群。

Theorem. 道路连通空间中不同基点的基本群同构。

Remark. 连续映射诱导基本群同态，恒等映射诱导恒等同态，同胚映射诱导群同构。

Theorem. 连续映射复合诱导基本群同态复合。

Example. 基本群计算的例子：

  1. En\mathbb E^n 的凸集的基本群平凡；
  2. S1\mathbb S^1 的基本群同构于整数加法群；
  3. Sn(n≥2)\mathbb S^n(n\geq 2) 的基本群平凡；
  4. Pn,n≥2\mathbb P^n,n\geq 2 的基本群同构于 Z2\mathbb Z_2；
  5. T2=S1×S1\mathbb T^2=\mathbb S^1\times \mathbb S^1 的基本群同构于 Z×Z\mathbb Z\times \mathbb Z；
  6. Klein 瓶的基本群同构于 {a,b∣a2=b2}\{a,b|a^2=b^2\}；
  7. 棱镜空间 L(p,q)L(p,q) 的基本群同构于 Zp\mathbb Z_p。

Theorem. π:x↦e2πix,γn(s):=ns,s∈[0,1]\pi:x\mapsto e^{2\pi ix},\gamma_n(s):=ns,s\in[0,1]，则有群同构

ϕ:Z→π1(S1,1);n↦⟨π∘γn⟩\phi:\mathbb Z\to \pi_1(\mathbb S^1,1);\quad n\mapsto \langle \pi\circ \gamma_n\rangle

Theorem. 如果 σ\sigma 是 S1\mathbb S^1 上基点 11 处的回路，则存在唯一 R\mathbb R 上的道路 σ~\widetilde \sigma，使得 σ~(0)=0\widetilde \sigma(0)=0 且 π∘σ~=σ\pi\circ \widetilde \sigma=\sigma。称为道路提升。

RS1S1¼¾e¾

Theorem. 如果 F:I×I→S1F:I\times I\to\mathbb S^1 是连续映射，满足

F(0,t)=F(1,t)=1,∀t∈IF(0,t)=F(1,t)=1,\quad \forall t\in I

则存在唯一连续映射 F~:I×I→R\widetilde F:I\times I\to \mathbb R，称为同伦提升，使得

F~(0,t)=0,π∘F~=F\widetilde F(0,t)=0,\quad \pi\circ \widetilde F=F

RI£IS1¼FeF

Theorem. 如果 XX 可以写成单连通集 U,VU,V 的开覆盖，并且 U∩VU\cap V 道路连通，则 XX 也是单连通的。

Theorem. 如果拓扑群 GG 群作用在单连通空间 XX 上，并且如果每个点 x∈Xx\in X 都有邻域 UU 使得 U∩g(U)=∅U\cap g(U)=\varnothing 对所有 g∈G∖{e}g\in G\setminus\{e\} 成立，则轨道空间的基本群 π1(X∖G)≅G\pi_1(X\setminus G)\cong G。

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Lemma. 同伦等价是拓扑空间的等价关系。

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Theorem. 两个道路连通空间同伦等价，则它们的基本群同构。

Theorem. 关于可收缩空间的结论：

  1. 可收缩空间，当且仅当同伦等价于点空间；
  2. 可收缩空间是单连通的；
  3. 任意两个映射 f,g:X→Yf,g:X\to Y，其中 YY 可收缩，则 f≃gf\simeq g；
  4. 如果 XX 可收缩，则 1X1_X 同伦于常值映射。