拓扑学作业 8

[Arm.C5.T21] Describe the homomorphism $f_*:\pi_1(\mathbb S^1,1)\to\pi_1(\mathbb S^1,f(1))$ induced by each of the following maps:

1. the antipodal map $f(e^{i\theta})=e^{i(\theta+\pi)},0\leq \theta\leq 2\pi$;
2. $f(e^{i\theta})=e^{in\theta},n\in \mathbb Z,0\leq \theta\leq 2\pi$;
3. $f(e^{i\theta})=\begin{cases}e^{i\theta},0\leq \theta\leq \pi\\e^{i(2\pi-\theta)},\pi\leq \theta\leq 2\pi\end{cases}$.

只需要考虑生成元，即可知映射诱导的基本群同态。(1) 是对径点映射，诱导的基本群同态为

$$f_*:\pi_1(\mathbb S^1,1)\to \pi_1(\mathbb S^1,-1)\cong \pi_1(\mathbb S^1,1),\quad f_*(n)=-n$$

(2) 是倍长映射，诱导的基本群同态为

$$f_*:\pi_1(\mathbb S^1,1)\to \pi_1(\mathbb S^1,1),\quad f_*(m)=nm$$

(3) 是将上半圆映射到自身，下半圆映射到上半圆的映射，诱导的基本群同态为

$$f_*:\pi_1(\mathbb S^1,1)\to \pi_1(\mathbb S^1,1),\quad f_*(k)=0$$

[Arm.C5.T24] If $X\simeq Y$ and $X'\simeq Y'$, show that $X\times X'\simeq Y\times Y'$. Show also that $CX$ is contractible for any space $X$.

由同伦等价，考虑连续映射

$$f:X\to Y,g:Y\to X,\quad g\circ f\simeq 1_X,f\circ g\simeq 1_Y$$

$$f':X'\to Y',g':Y'\to X',\quad g'\circ f'\simeq 1_{X'},f'\circ g'\simeq 1_{Y'}$$

定义乘积空间的映射

$$F:X\times X'\to Y\times Y',\quad F(x,x')=(f(x),f'(x'))$$

$$G:Y\times Y'\to X\times X',\quad G(y,y')=(g(y),g'(y'))$$

则 $F\circ G\simeq 1_{Y\times Y'},G\circ F\simeq 1_{X\times X'}$，只需要构造乘积空间的同伦映射，这是自然的。作为推论，对于任意 $X$ 都有

$$X\times I\simeq X\times \{1\}\in \{X\times \{1\}\}\in CX$$

因此锥空间 $CX$ 是可收缩的。这里交换了形变收缩和粘合的次序，即先形变收缩，再粘合，但形变收缩过程中并没有破坏粘合关系，因此是合理的。

[Arm.C5.T26] Consider the following examples of a circle $C$ embedded in a surface $S$:

1. $S$ is Mobius strip, $C$ is boundary circle;
2. $S$ is torus, $C$ is diagonal circle, i.e., $\{(x,y)\in \mathbb S^1\times \mathbb S^1:x=y\}$;
3. $S$ is cylinder, $C$ is one of boundary circles.

In each case, choose a base point in $C$, describe generators for the fundamental groups of $C$ and $S$, and write down in terms of these generators the homomorphism of fundamental groups induced by the inclusion of $C$ in $S$.

在同伦过程中不破坏粘合关系，则同伦和粘合可以交换次序。

(1) Mobius 带可以看作矩形 $I\times I$ 竖直两边反向粘合而成，则先考虑矩形的形变收缩

$$H((x,y),t):I\times I\times t\to I\times I,\quad H((x,y),1)=(x,1),\quad H((x,y),0)=(x,y)$$

这说明矩形同伦等价于 $I\times \{1\}$，再考虑粘合，此时同胚于 $\mathbb S^1$，因此 Mobius 带同伦等价于 $\mathbb S^1$。两者基本群同构，因此 Mobius 带 $S$ 的基本群为

$$\pi_1(S)\cong \pi_1(\mathbb S^1)\cong \mathbb Z$$

并且指出，取基点 $(0,1)\in C$，生成元 $s$ 可以取为沿着下边界从 $(0,0)$ 到 $(1,0)$ 的回路的同伦类。边界圆 $C$ 同胚于 $\mathbb S^1$，因此

$$\pi_1(C)\cong \pi_1(\mathbb S^1)\cong \mathbb Z$$

生成元 $c$ 可以取为沿着上下边界从 $(0,0)$ 到 $(1,0)\sim(0,1)$ 再到 $(1,1)$ 的回路的同伦类。而回路 $c$ 还可以分成 $(0,0)\to(1,0)$ 和 $(1,0)\to(1,1)$ 两段道路 $\gamma_1,\gamma_2$，而根据形变收缩诱导的同伦，推出 $\gamma_1\simeq\gamma_2\simeq s$，因此连续映射 $H(x,1):S\to C$ 诱导的基本群同态为

$$H_*:\pi_1(C)\to \pi_1(S),\quad H_*(c)=s^2$$

(2) 设 $\pi_1(\mathbb T^2)\cong \mathbb Z\times \mathbb Z$ 的生成元为 $a,b$，即

$$a=[(e^{2\pi it},1)],\quad b=[(1,e^{2\pi it})],\quad t\in I$$

而对角线圆 $C$ 的基本群为生成元为 $c$，即

$$c=[(e^{2\pi it},e^{2\pi it})]=[(e^{2\pi it},1). (1,e^{2\pi it})],\quad t\in I$$

所以诱导基本群同态为

$$i_*:\pi_1(C)\to \pi_1(\mathbb T^2),\quad i_*(c)=ab=ba$$

(3) 考虑投影映射诱导的形变收缩，因此圆柱面 $C\simeq \mathbb S^1$，则

$$\pi_1(S)\cong \pi_1(\mathbb S^1)\cong \mathbb Z$$

诱导的基本群同态为恒等映射。

[Arm.C5.T27] Prove that if $f,g:\mathbb S^1\to X$ are homotopic maps,then the spaces formed from $X$ by attaching a disc using $f$ and using $g$ are homotopy equivalent; in other words, $X\cup_f D\simeq X\cup _gD$.

(1) 由于 $f,g$ 同伦，所以存在同伦映射 $H:\mathbb S^1\times I\to X$，满足

$$H(x,0)=f(x),\quad H(x,1)=g(x)$$

将 $X\cup_f D$ 和 $X\cup_g D$ 放在一个更大的空间 $T$ 中，然后构造形变收缩，说明它们都同伦等价于 $T$，具体而言

$$T=X\cup_{H} (D\times I)$$

其中 $\cup _H$ 表示对任意 $(x,t)\in \mathbb S^1\times I$ 都有等价关系 $H(x,t)\sim (x,t)$。

(2) 定义形变收缩映射 $F:T\times I\to T$（这个映射的原理在后续题目中都需要用到），它保持在圆柱侧面上为恒等映射，将圆柱上表面和内部映到下表面和侧面，并且是连续映射。给出在圆柱上的定义，在 $X$ 空间上是恒等的：

$$F((x,s),t)=(x,s)+\dfrac {(x,s-2)}{\|(x,s-2)\|}\cdot \min\{\|1-x\|,\|s\|\}$$

简言之，它是圆柱关于 $(0,2)$ 点的投影映射。根据定义，它是 $X\sqcup (D\times I)$ 的连续映射。此外，有形变收缩子空间

$$X\sqcup(D\times I)\simeq _F X\sqcup(D\times \{0\}\cup \mathbb S^1\times I)$$

而 $X\cup _H\mathbb S^1\times I=X$，考虑贴映射后

$$X\cup_H(D\times I)\simeq_F X\cup_H(D\times \{0\})=X\cup _fD$$

(3) 同理构造投影映射，所以

$$X\cup_gD\simeq X\cup_H(D\times I)$$

根据传递性得证。

[Arm.C5.T28] Use Problem 27, and the third example of a homotopy given in Section 5.1, to show that the 'dunce hat' has the homotopy type of a disc, and is therefore contractible.

只需要证明小丑帽同伦等价于圆盘。将小丑帽在同胚意义下视为圆盘 $D$ 和 $\mathbb S^1$ 的贴空间。根据小丑帽的定义，三角形三个顶点是粘合在一起的，按照其粘合规则和直线同伦，沿着小丑帽边界一周的道路是同伦于沿 $\mathbb S^1$ 一周的道路的。这两个道路给出了小丑帽的贴映射和圆盘的贴映射，据此小丑帽同伦于圆盘。

[Arm.C5.T29] Show that the 'house with two rooms' is contractible.

事实上，双室房间同伦等价于图中的整个圆柱，而后者是凸空间，所以是可收缩的。我们说明前半句话。先处理上半部分，通往第一层通道是中空的：它可以通过在中轴线上的高于上表面（即房间 1 通道的入口）的某点诱导的柱面投影，将内部部分形变收缩到柱面上实现。这一步，我们构造了通往第一层的通道。然后以该通道的底面为一个半球（半球朝下，在第一层），将半球内部通过类似的投影，形变收缩到半球面上，这样我们稍微拓展了通往第一层的通道，再在半球内部选取一点作为投影点，通过类似的形变收缩，我们可以构造一号房间。二号房间及其通道可以类似处理。至此我们证明了双室房间同伦于整个圆柱，从而是可收缩的。

[Arm.C5.T33] Which of the following spaces have the fixed-point property? (a) The $2$-sphere; (b) the torus; (c) the interior of the unit disc; (d) the one-point union of two circles.

都不具备不动点性质。(a) 考虑对径点映射 $x\mapsto -x$；(b) 考虑平移，在 $\mathbb S^1\times \mathbb S^1$ 上表示为，$(x,y)\mapsto (x+\theta,y)$，其中 $\theta$ 足够小；(c) 考虑向 $(1,0)$ 收缩，$(x,y)\mapsto ((1+x)/2,y/2)$；(d) 考虑先压缩再旋转，记两圆的连接点为 $p$，则定义

$$f:\mathbb S^1\vee \mathbb S^1\to \mathbb S^1\vee \mathbb S^1,\quad f(x)=\begin{cases}p, & x\in \text{one } \mathbb S^1\\ x, & x\in \text{another } \mathbb S^1\end{cases}$$

然后再旋转另一个圆，旋转角度足够小。

[Arm.C5.T34] Suppose $X$ and $Y$ are of the same homotopy type and $X$ has the fixed-point property. Does $Y$ also have it? If $X$ retracts onto the subspace $A$, and $A$ has the fixed-point property, need $X$ also have it?

如果 $X$ 有不动点性质，且 $X,Y$ 同伦等价，那么 $Y$ 事实上不一定有不动点性质。我们知道 $[0,1)$ 是凸空间，所以同伦等价于单点空间，后者有不动点性质，但是前者考虑映射 $x\mapsto (x+1)/2$ 就没有不动点。这个例子同样可以说明，如果收缩子空间 $A$ 有不动点性质，整体空间 $X$ 不一定有不动点性质。

[Arm.C5.T35] Show that if $X$ has the fixed-point property, and if $X$ retracts onto the subspace $A$, then $A$ also has the fixed-point property. Deduce the fixed-point property for the 'house with two rooms' of Problem 29.

如果 $X$ 有不动点性质，则其收缩子空间 $A$ 也有不动点性质。设 $r:X\to A$ 是收缩映射，则

$$X\xrightarrow{r}A\xrightarrow {f}A\subseteq X$$

对于任意 $f:A\to A$ 连续映射，复合映射 $f\circ r:X\to X$ 连续，因此存在不动点 $x\in X$，使得 $f(r(x))=x$。这说明 $A$ 有不动点。回顾 Problem 29，双室空间是圆柱的形变收缩子空间，所以是收缩子空间，而圆柱同胚于 $\mathbb B^3$，因此有不动点性质，所以双室空间也有不动点性质。

[Hat.C1.S1.1.T12] Show that every homomorphism of $\pi_1(\mathbb S^1)\to\pi_1(\mathbb S^1)$ can be realized as the induced homomorphism $\varphi_*$ of a map $\varphi:\mathbb S^1\to \mathbb S^1$.

只需要考虑生成元的像，如果基本群同态 $f:\pi_1(\mathbb S^1)\to \pi_1(\mathbb S^1)$ 满足 $f(1)=n$，则考虑映射

$$\varphi:\mathbb S^1\to \mathbb S^1,\quad \varphi(e^{2\pi xi})=e^{2\pi nxi},x\in I$$

则 $\varphi_*$ 满足 $\varphi_*(1)=n$，因此任意基本群同态都可以被实现。