Remark. 我们目前只定义了拓扑空间之间的同胚关系、粘合关系，希望通过这些关系将复杂的拓扑空间与相对简单的拓扑空间联系起来，从而研究复杂空间的性质。然而同胚关系过于严格，以至于在拓扑意义下，同胚就是 “完全一样” 的关系。因此我们要降低要求，引入同伦关系。基于同伦关系，仍然有许多拓扑不变量得以保持不变，同时同伦关系比同胚关系更灵活，更容易构造。

Example. 考虑环面 $T^2$ 上的两个橡皮筋，一个是 “套” 在环面的 “管” 上，另一个是 “铺” 在环面表面的局部上，前者无论怎么连续变动，都始终无法收缩为一个点，但后者可以连续收缩到一个点上。这就是同伦关系的一个例子。

Remark. $F$ 描述了从 $f$ 连续形变到 $g$ 的过程，有图示。

这幅图中 $p$ 点在形变过程中是不变的。我们可以给出同伦更精细的定义。

Proof. 需要证明自反性、对称性和传递性。分别取常值映射，逆映射，同伦拼接；连续函数的复合性质保证这些新的映射是连续映射。同伦拼接指的是

$$H(x,t)=\begin{cases}F(x,2t),&t\in[0,\tfrac 1 2]\\ G(x,2t-1),&t\in[\tfrac 1 2,1]\end{cases}$$

其中 $F$ 是从 $f$ 到 $g$ 的同伦，$G$ 是从 $g$ 到 $h$ 的同伦。

Proof. 需要证明新的同伦映射连续，以及满足边界条件和限制条件。

Proof. 需要验证乘法良定义性、结合律、单位元和逆元。良定性只需要同伦拼接，结合律利用重参数化，单位元取常值回路，逆元取反向回路。其中重参数化是为了解决结合律中道路函数速度不一致的问题。例如

$$((\alpha\cdot \beta)\cdot \gamma)(t)=\begin{cases}\alpha(4t),&t\in [0,1/4]\\ \beta(4t-1),&t\in [1/4,1/2]\\ \gamma(2t-1),&t\in [1/2,1]\end{cases}$$

$$(\alpha\cdot (\beta\cdot \gamma))(t)=\begin{cases}\alpha(2t),&t\in [0,1/2]\\ \beta(4t-2),&t\in [1/2,3/4]\\ \gamma(4t-3),&t\in [3/4,1]\end{cases}$$

从图像上可以看出来。

$$f(t)=\begin{cases}2t,&t\in [0,1/4]\\ t+\tfrac 1 4,&t\in [1/4,1/2]\\ \tfrac 1 2 +2(t-\tfrac 1 2),&t\in [1/2,3/4]\\ t+\tfrac 1 4,&t\in [3/4,1]\end{cases}$$

将 $1/4,1/2$ 分别映到 $1/2,3/4$，并且在各个区间上连续，那么它满足

$$((\alpha\cdot \beta)\cdot \gamma)\circ f(t)= (\alpha\cdot (\beta\cdot \gamma))(t),\quad \forall t\in [0,1]$$

而 $f$ 是同伦于恒等映射的，因为 $[0,1]$ 是凸集，有直线同伦。由交换图

可知

$$\langle (\alpha\cdot \beta)\cdot \gamma \rangle \simeq\langle (\alpha\cdot (\beta\cdot \gamma) \rangle\text{ rel }\{0,1\}$$

我们需要指出，道路函数和道路像是不同的概念，前者包含了速度信息，后者只包含了路径信息。

有了上述重整参数的方法，类似地可以构造逆元和单位元，并且是良定义的。

Remark. 从直观上看，回路的乘法就是先走 $\alpha$ 再走 $\beta$。这自然会有群结构在里面，但是回路乘法的速度阻碍了群结构的建立。因此我们需要将速度信息商掉，就是同伦类。

Remark. 设 $\mathbb S^n$ 是 $n$ 维球面，固定 $s_0\in\mathbb S^n$，考虑关于 $\{s_0\}$ 的映射，满足

$$\gamma:\mathbb S^n\to X,\quad \gamma(s_0)=p\in X$$

考虑同伦等价类，那么我们得到了 $\pi_n(X,p)$，称为 $X$ 关于基点 $p$ 的 $n$ 维同伦群。特别地，$1$ 维同伦群 $\pi_1(X,p)$ 就是我们前面定义的基本群，$S_1$ 就是回路。

Proof. 直观上就是拉回。将 $p$ 回路的起点和终点移动到 $q$，就联系了 $p$ 回路和 $q$ 回路。设 $\alpha$ 是从 $p$ 到 $q$ 的道路，定义映射

$$\alpha_*:\pi_1(X,p)\to \pi_1(X,q),\quad \langle \gamma \rangle\mapsto \langle \alpha^{-1}\cdot \gamma\cdot \alpha\rangle$$

需要验证良定义、同态和双射（存在逆映射），根据道路乘积的性质即可。

Remark. 在以上结论及推论的证明中，我们没有用到基本群和连续函数的具体性质，只是用了映射的复合性质，进行形式化的证明。因此可以单独抽象成一个结构。范畴的观点下，我们称 $\pi_1(\cdot,p)$ 为关于基点 $p$ 的函子 (functor)。

Proof. 直观上，回路可以绕圈若干圈，因此同伦类可以用整数表示。设

Proof. $1$ 维情形。设 $[-1,1]\subseteq \mathbb R$ 为 $1$ 维球。反证法，如果没有不动点

$2$ 维情形。设 $D=\{(x,y):x^2+y^2\leq 1\}\subseteq \mathbb R^2$ 为 $2$ 维球。反证法，如果没有不动点。对于任意 $x\in D$，考虑从 $f(x)$ 指向 $x$ 的射线（已经假设两点不同），该射线与单位圆周交于另一点 $g(x)$，这定义了连续映射（需要验证）$g:D\to \mathbb S^1$。进一步 $g|_{\mathbb S^1}=\mathrm{id}_{\mathbb S^1}$。但这是不可能的，因为考虑嵌入映射 $i:\mathbb S^1\to D$，由限制映射
\\

所以

$$(g\circ i)_*=g_*\circ i_*=(\mathrm{id}_{\mathbb S^1})_*=\mathrm{id}_{\pi_1(\mathbb S^1)}$$

这说明 $g_*$ 必须是满射。但是 $\pi_1(\mathrm S^1)\cong \mathbb Z$，而凸集 $D$ 的基本群平凡 $\pi_1(D)\cong \{e\}$，显然不是满射。矛盾。

Proof. 通过将 $X$ 上的回路局部地放在 $U,V$ 上考虑，借用 $U,V$ 的基本群信息来推导 $X$ 的基本群信息。

固定 $p\in U\cap V$。设 $\alpha$ 是 $p$ 的回路，则 $I=\alpha^{-1}(U)\cup\alpha^{-1}(V)$ 是 $[0,1]$ 的开覆盖。由于 $I$ 是紧的，所以 Lebesgue 引理指出存在足够细的划分

$$0=t_0<t_1<\cdots <t_n=1$$

使得每个子区间都落在 $\alpha^{-1}(U)$ 或 $\alpha^{-1}(V)$ 中。将 $\alpha$ 限制在一段上，重新参数化得到 $\alpha$ 从 $[t_{k-1},t_k]$ 到 $X$ 的道路函数

$$\alpha_k(s)=\alpha(t_{k-1}+(t_k-t_{k-1})s),\quad s\in [0,1],k=1,2,\ldots,n$$

如果 $\alpha(t_k)\in U$，则可以取 $\gamma_k\subseteq U$ 为从 $p$ 到 $\alpha(t_k)$ 的道路。如果 $\alpha(t_k)\in V$，同理。如果 $\alpha(t_k)\in U\cap V$，则可以取 $\gamma_k\subseteq U\cap V$ 为从 $p$ 到 $\alpha(t_k)$ 的道路（用到道路连通的条件）。我们的目的是道路分解为若干平凡的回路。

$$\alpha\simeq (\alpha_1\cdot \gamma^{-1}_1)\cdot (\gamma_1\cdot \alpha_2\cdot \gamma^{-1}_2)\cdots (\gamma_{n-1}\cdot \alpha_n)\text{ rel }\{0,1\}$$

分解的回路都是 $U$ 或 $V$ 上的回路，因此都是平凡的。由此可知 $\alpha$ 也是平凡的。由 $\alpha$ 的任意性可知 $\pi_1(X)=\{e\}$。

Proof. 考虑 $\mathbb S^n$ 上的两个开子空间，分别是去掉北极点和南极点的子空间

$$U=\mathbb S^n\setminus\{(1,0,\ldots,0)\},\quad V=\mathbb S^n\setminus\{(-1,0,\ldots,0)\}$$

根据球极投影，它们同胚于 $\mathbb R^n$，$U\cap V\cong \mathbb R^n\setminus\{0\}$。当 $n\geq 2$ 时，$U\cap V$ 是道路连通的。

Proof. 选取 $x_0\in X,y_0\in Y$，则 $(x_0,y_0)\in X\times Y$，将其作为基点。考虑投影映射诱导的映射 $\phi$ 是群同构。

$$\phi:\pi_1(X\times Y,(x_0,y_0))\to \pi_1(X,x_0)\times \pi_1(Y,y_0),\quad \langle \alpha \rangle\mapsto ((p_X)_*(\langle \alpha \rangle),(p_Y)_*(\langle \alpha \rangle))$$

群同态是显然的。

先证明单射。如果 $p_1\circ \alpha\simeq_F e_1\in \pi_1(X)\text{ rel }\{0,1\}$，$p_2\circ \alpha\simeq_G e_2\in \pi_1(Y)\text{ rel }\{0,1\}$，则

$$\alpha\simeq_{(F,G)} e\in \pi_1(X\times Y)\text{ rel }\{0,1\}$$

\\\

Proof. 需要验证自反性和传递性。分别取恒等映射，映射复合。后者还有图表

Proof. 考虑 $f(x)=F(x,1)$ 和嵌入映射 $i:A\to X$，则

$$i\circ f=F(x,1)\simeq_F F(x,0)= \mathrm{id}_X,\quad f\circ i=\mathrm{id}_A$$

Proof. 设 $f:X\to \{p\}$ 为常值映射，$i:\{p\}\to X$ 为嵌入映射，则

$$i\circ f\simeq \mathrm{id}_X ,\quad f\circ i=\mathrm{id}_{\{p\}}$$

所以 $X\simeq \{p\}$。