# 拓扑空间

Definition. 集合 $X$ 称为拓扑空间 (topological space)，如果 $X$ 上有一个集族 $\tau$，满足：

1. $\varnothing,X\in \tau$；
2. 任意多个 $\tau$ 中的元素的并仍在 $\tau$ 中；
3. 有限多个 $\tau$ 中的元素的交仍在 $\tau$ 中。

$\tau$ 称为 $X$ 上的拓扑 (topology)，$\tau$ 中的元素称为 $X$ 的开集 (open set)。此时配备拓扑 $\tau$ 的拓扑空间 $X$ 记为 $(X,\tau)$。

Remark. 拓扑可以理解为对 $\mathbb R^n$ 中开集概念的抽象化。给定了所有开集，就给定了拓扑空间的结构，因此可以用开集的语言重新叙述拓扑空间的定义。

Remark. 默认研究的空间都是拓扑空间，除非另有说明。

我们对子集也定义拓扑，并带有相容性。

Definition. 设 $(X,\tau)$ 为拓扑空间，$Y\subseteq X$，则 $Y$ 上的子空间拓扑 (subspace topology) 的开集定义为形如 $U\cap Y,U\in \tau$ 的集合，集合全体记为 $\tau|_Y$，则 $(Y,\tau|_Y)$ 称为 $(X,\tau)$ 的子空间 (subspace)。

可以通过开集来定义点与集合的关系，这样我们就能在拓扑结构上讨论问题。

Definition. $A\subseteq X$，则 $p$ 称为 $A$ 的聚点 (accumulation point) 或极限点 (limit point)，如果对任意 $U\in \tau$ 满足 $p\in U$，都有

$$(U\setminus\{p\})\cap A\neq \varnothing$$

Definition. $A\subseteq X$，则 $x\in X$ 称为：

• 内点 (interior point)，如果存在 $U\in \tau$ 使得 $x\in U$ 且 $U\subseteq A$；
• 外点 (exterior point)，如果存在 $U\in \tau$ 使得 $x\in U$ 且 $U\subseteq X\setminus A$。
• 边界点 (boundary point)，如果 $x$ 既不是 $A$ 的内点，也不是 $A$ 的外点。

记 $\mathring A$ 为 $A$ 的所有内点组成的集合，称为 $A$ 的内部 (interior)；记 $\partial A$ 为 $A$ 的所有边界点组成的集合，称为 $A$ 的边界 (boundary)。

# 连续映射

我们已经定义了拓扑范畴中的对象，接下来定义态射。

Definition. 映射 $f:(X,\tau_X)\to (Y,\tau_Y)$ 称为连续映射 (continuous map)，如果对任意 $V\in \tau_Y$，都有 $f^{-1}(V)\in \tau_X$。

Remark. 在 $\mathbb R^n$ 中，如果不加声明，默认拓扑为度量诱导拓扑。