4.2 多项式环

# 前言

本节考虑多项式环。

考虑唯一分解整环 $A$ 为系数的多项式环 $A[X]$，给定 $P(X)\in A[X]$，它可以被写成

$$P(X)=a_nX^n+...+a_1X+a_0,\quad a_i\in A$$

# 多项式的可约与不可约性

# 容量

记 $c(P)$ 为 $a_0,...,a_n$ 的最大公约数，它在伴随的意义下唯一，称它为多项式 $P$ 的容量

$A$ 是唯一分解整环，$P,Q\in A[X]$，则 $c(P)c(Q)\sim c(PQ)$

定理：（$\mathrm{Gauss}$ 引理）
$A$ 是唯一分解整环，$K=\mathrm{Frac}(A)$ 为其分式域。那么 $P(X)\in A[X]$ 在 $A[X]$ 中不可约当且仅当 $P(X)$ 在 $K[X]$ 中不可约。
进一步，若在 $K[X]$ 中有 $P(X)=P_1(X)P_2(X)$，且 $\mathrm{deg}(P_i)\geq 1$，则有 $k\in K^\times $，使得 $kP_1(X),k^{-1}P_2(X)\in A[X]$.

通过 Gauss 引理，可以得到

定理：（$\mathrm{Gauss}$）若 $A$ 是唯一分解整环，则 $A[X]$ 也是唯一分解整环。

# 多项式的导数

$K$ 是域，$\forall P(X)\in K[X]$，$P(X)=a_nX^n+...+a_1X+a_0$，定义其导数为

$$P'(X)=na_nX^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+...+2a_2X+a_1$$

求导映射 $P\to P'$ 是$K$ - 线性的。

# Leibniz 法则

$\forall P(X),Q(X)\in K[X]$，有

$$(P\cdot Q)'=P'\cdot Q+P\cdot Q'$$

互素具有域扩张不变性

# 多项式的解式与判别式

$K$ 是域，$P(X),Q(X)\in K[X]$ 是多项式且 $\mathrm{deg}(P)=n,\mathrm{deg}(Q)=m$。令 $K[X]_{\leq d}$ 为次数不超过 $d$ 的多项式所构成的线性空间，考虑 $K$ - 线性映射

$$\Phi:K[X]_{\leq m-1}\times K[X]_{\leq n-1}\to K[X]_{\leq m+n-1}$$

$$\Phi (A(X),B(X))= A(X)P(X)+B(X)Q(X)$$

显然，$\Phi$ 的定义域和值域的维数均为 $n+m$.

注意这里最高次为 $d$，加上常数后就是 $d+1$ 维。所以指定 $K[X]_{m+n-1}$ 的一组基：

$$E_1=1,E_2=X,...,E_{m+n}=X^{m+n-1}$$

同样地，显式地写出 $K[X]_{\leq m-1}\times K[X]_{\leq n-1}$ 的一组基：

$$e_1=(1,0),e_2=(X,0),...,e_m=(X^{m-1},0)$$

$$e_{m+1}=(0,1),e_{m+2}=(0,X),...,e_{m+n}=(0,X^{n-1})$$

# 对称多项式

本节目标：确定 $K[X_1,...,X_n]^{\mathfrak S_n}$ 的代数结构，其中 $K$ 是域。

考虑环 $A$ 上的多项式环 $A[X_1,...,X_n]:=A_{var}$，对称群 $\mathfrak S_n$ 可以在 $A_{var}$ 上作用：

$$\mathfrak{S}_n\times A_{var}\to A_{var}:\quad (g,P)\to (g\cdot P)(X_1,...,X_n)=P(X_{g(1)},...,X_{g(n)})$$

对多项式 $P\in A_{var}$，如果 $\mathrm{Stab}_{\mathfrak S_n}(P)=\mathfrak S_n$，则称 $P$ 是 对称多项式。记 $A[X]$ 中对称多项式全体为 $A_{var}^{\mathfrak S_n}$，易于验证 $A_{var}^{\mathfrak S_n}$ 是 $A_{var}$ 的子环。下面取 $A=K$ 是域。

# 基本对称多项式

类似于 Veita 定理，以下 $n$ 个整系数多项式被称为 基本对称多项式：

$$\left\{\begin{array}{ll}\sigma_1=\sum_i X_i\\ \sigma_2=\sum_{i<j}X_iX_j\\...\\ \sigma_k=\sum_{i_1<i_2<...<i_k}X_{i_1}X_{i_2}...X_{i_k}\\...\\ \sigma_n=\sum_{i_1<...<i_n}X_{i_1}...X_{i_n}=X_1...X_n \end{array}\right.$$

# 基与对称化和

考虑到对称多项式在群作用下的不变性，其中的一个不变量是次数。换言之， $\mathfrak S_n\to K_{var},\forall g\in \mathfrak S_n$，$g$ 是保持次数的。

$$K_{var}=\oplus_{d\geq 0} \ K[X_1,...,X_n]_d$$

其中， $K[X_1,...X_n]_d$ 是 $K_{var}$ 的 $d$ 次多项式全体，记为 $V_d$ ，有
$\forall g,\forall d$，

$$g:V_d\to V_d$$

从其中某个单项式入手，给定 $n$ 元整数指标 $I=(i_1,...,i_n),\ i_1\geq ...\geq i_n\geq 0$，定义 稳定化子

$$\mathrm{Stab}(I)=\{g\in \mathfrak S_n:g\cdot X_1^{i_1}\cdot\cdot\cdot X_n^{i_n}=X_1^{i_1}\cdot\cdot \cdot X_n ^{i_n} \}$$

以及 对称化和，我们希望取遍所有 $I$ 指标的单项式，但是不希望重复出现，所以

$$S_I=\sum_{g\in \ {\mathfrak S_n \big / \mathrm{Stab}(I)}}g\cdot X^{i_1}_1\cdot\cdot\cdot X^{i_n}_n$$

# 引理 1

给定指标 $I$，那么 $S_I\in K_{var}^{\mathfrak S_n}$，进一步 $S_I$ 中恰有 $|\mathfrak S_n\big/\mathrm{Stab}(I)|$ 个单项式，且每个单项式系数为 $1$

# 引理 2

$\forall P\in K_{var}^{\mathfrak S_n}$，存在有限个指标 $I$ 以及 $a_I\in A$，使得 $$P=\sum a_I\cdot S_I$$

从某类次数多项式入手，再逐个击破其中的最高次数的多项式即可。

与此同时，定义指标的 字典序：$I<J$，如果 $\exists 1\leq k \leq n$，使得 $i_m=j_m,\forall m<k$ 且 $i_k<j_k$.

# 引理 3

$\forall I,J$，记 $I+J=(i_1+j_1,...,i_n+j_n)$，有

$$S_I\cdot S_J=S_{I+J}+\sum_{K<I+J}a_K\cdot S_K$$

最高次数的项一定含有 $X_1^{i_1+j_1}\cdot\cdot \cdot X_n^{i_n+j_n}$，结合引理 1 归纳得证。

所谓的 基 已初具雏形。

# 对称多项式环结构定理

过程中，我们经常用到 有限此操作 的表述，这是有限维线性空间给我们的性质。

# 不变量理论 *

在 Hilbert 时期流行着 不变量理论，根据上面的结果，我们不由得进一步思考，其他环下的群作用不动点。即考虑 $G<\mathfrak S_n$，问 $K_{var}^G$ 的结构是什么。

比如考虑 $G=\mathrm{SU}(2)=\left\{A=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}:AA^H=I,\mathrm{det}A=1\right\}$ ， $G$ 作用在 $K[X,Y]$ 上

$$g\in G:K[X,Y]\to K[X,Y],\quad g\cdot P(X,Y)=P(aX+bY,cX+dY)$$

问哪些元素是 $G$ 作用下的不动点？

不变量在许多研究中有重要的作用，和 Galois 理论有密切联系。