# 模的基本概念与性质

# 基本概念

# 模

定义： $A$ 是环，$(M,+)$ 是交换群。如果存在映射

$$A\times M\to M,\quad (a,m)\to a\cdot m$$

使得 $\forall a,a'\in A,m,m'\in M$，有

1. $1\cdot m=m$

2. $a\cdot (a'\cdot m)=(a\cdot a')\cdot m$

3. $a\cdot (m+m')=am+am'$

4. $(a+a')\cdot m=a\cdot m+a'\cdot m$

则称 $(M,+)$ 或 $M$ 是 （左）$A$ - 模。

模 $M$ 可以看作是环 $A$ - 线性空间。

如果 $(N,+)<(M,+)$ 且 $\forall a\in A,n\in N, a\cdot n\in N$ ，则称 $(N,+)$ 是 $M$ 的一个 子$A$ - 模。当然 $N$ 是 $A$ - 模。

# 模同态

定义： $(M_1,+_1),(M_2,+_2)$ 是 $A$ - 模，如果存在加法群同态并且保持乘法

$$\varphi:M_1\to M_2$$

即$\forall a\in A,m,m'\in M_1$ 有

$$\varphi(m+_{_1}m')=\varphi(m)+_{_2}\varphi(m'),\quad \varphi(a\cdot _{_1} m)=a\cdot _{_2} \varphi(m)$$

称 $\varphi$ 是从 $M_1$ 到 $M_2$ 的 $A$ - 模同态 或 $A$ - 线性映射。

定义它的 核 为 $\ker (\varphi):=\{m\in M_1|\varphi(m)=0\}$，这是 $M_1$ 的子模。此外，$\varphi$ 是单射当且仅当 $\ker (\varphi)=\{0\}$.

用 $\hom_A(M_1,M_2)$ 表示从 $M_1$ 到 $M_2$ 的全体模同态集合。如果 $\varphi\in \hom_A(M_1,M_2)$ 是双射，则称为 $A$- 模同构。
如果 $M_1$ 与 $M_2$ 之间存在 $A$ - 模同构，则称 $M_1$ 与 $M_2$ 是 同构的，并记为 $M_1\simeq M_2$。

# 商模

定义：给定 $A$ - 模 $M$ 及其子模 $N$，可以构造 商模 $\ ^{M}/_N$，即 $$^M/_N:={m+N|m\in M}$$
$A$ - 模结构如下给出

$$A\times\ ^M/_N\to\ ^M/_N,\quad (a,m+N)\to a\cdot (m+N):=(a,m)+N$$

自然有满 $A$ - 模同态

$$\pi :M\to \ ^M/_N,\quad m\to m+N$$

容易验证这是良定义的。

# 模同态定理

定理：$M,M'$ 是 $A$ - 模，$N$ 是 $M$ 的子模， $\varphi\in \hom_A(M,M')$，若 $N\subset \ker \varphi$ ，则 $\exists !\ \bar\varphi:\ ^M/_N\to M'$，使得 $\bar \varphi\circ \pi =\varphi$，即如下交换图：

当 $N=\ker \varphi$ 时，有显然的推论：$\bar\varphi:\ ^M/_{\ker \varphi}\xrightarrow{\simeq }\mathrm{Im}\ \varphi$

# 子模对应定理

定理：有如下一一对应：

$$\{M \text{ 的子模 } N'\supset N\}\xrightarrow{1:1}\{\ ^M/_N \text{ 的子模 } \overline {N'}\},\quad N'\to \ ^{N'}/_N=\overline{N'}$$

# 模的直积和直和

# 直积

# 直积

定义：给定一族 $A$ - 模 $\{M_i\}_{i\in I}$，定义它们的 直积

$$\prod_{i\in I} M_i=\{(m_i)_{i \in I}:=(m_1,m_2,...)\ |\ m_i\in M_i,i \in I\}$$

直积具有模结构

$$A\times \displaystyle\prod _{i}M_i\to \prod _iM_i,\quad (a,(m_i))\to (a\cdot m_i)$$

同时这也给出了投影映射（模同态）

$$\pi_{i_0}:\prod _i M_i\to M_{i_0},\quad (m_i)\to m_{i_0}$$

注意，直积中的指标集 $I$ 可以是无限集。

# 泛性质

定理： $\forall A$ - 模 $M$， $\forall \varphi_i \in \hom_A(M,M_i)$，$\exists !\ \psi \in \hom_A(M,\prod_i M_i)$，使得 $\psi \circ \pi_i=\varphi_i,\forall i\in I$。换言之

$$\hom_A\left(M,\displaystyle \prod _i M_i\right)=\prod_i\hom_A(M,M_i)$$

也即如下交换图：

# 直和

# 直和

定义：给定一族 $A$ - 模 $\{M_i\}_{i\in I}$，定义它们的 直和

$$\bigoplus _{i\in I}M_i=\{(m_i)_{i \in I}\ | \ m_i\neq 0 \text{ 只有有限个 $i$ }\}$$

直和具有模结构

$$A\times \bigoplus_i M_i\to \bigoplus _iM_i,\quad (a,(m_i))\to (a\cdot m_i)$$

同时这也给出了嵌入映射（模同态）

$$\iota_{i_0}:M_{i_0}\to \bigoplus_i M_i,\quad m_{i_0}\to (0,...,0,m_{i_0},0,...)$$

# 泛性质

定理：$\forall A$ - 模 $M$， $\forall \varphi_i \in \hom_A(M_i,M)$，$\exists !\ \psi \in \hom_A(\bigoplus_i M_i,M)$，使得 $\psi\circ\iota_i=\varphi_i,\forall i\in I$。换言之

$$\hom_A\left(\displaystyle \bigoplus _i M_i,M\right)=\prod_i\hom_A(M_i,M)$$

也即如下交换图：

# 直积和直和

$I$ 是有限集时，在 $A$ - 模的意义下，

$$\bigoplus_{i\in I}M_i=\prod_{i\in I}M_i$$

$I$ 是无限集时，它们之间有所不同。之所以要求直和满足有限元非零，是因为泛性质告诉我们

$$M_{i_0}\xrightarrow {\iota_{i_0}} \bigoplus _i M_i\xrightarrow \psi M,\quad m_{i_0}\to (0,...,0,m_{i_0},0,...)\to \sum^\infty_{i=1}\psi(m_i)$$

不能对无限非零元求和，这并没有定义。

# 有限生成模

# 自由模

# Noether 环

如果 $\{M_i\}_{i\in I}$ 中每个 $M_i$ 有 $M_i\simeq A$，则记 $A^I$ 是它们的直和，并称之为 自由$A$ - 模。
$I$ 指标集 $\{M_i\simeq A\}_{i\in I},\quad A^I=\oplus _{i\in I} M_i$

$A^n=A\oplus \cdot\cdot \cdot \oplus A$

假设 $M$ 为

考虑 $M$ 的非空子集 $S\subset M$，包含 $S$ 的所有子模之交是在包含关系下含 $S$ 的最小子模，称为 由$S$ 生成的子模，记作 $(S)$.

如果 $M=(S)$，且 $|S|<\infty$，称 $M$ 为有限生成模。

如果 $M=(x)$

$M$ 是有限生成的当且仅当 $\exists n$ 及满同态 $A^n\to M$.

正合列 %

# Noether 环

若环 $A$ 的每个理想均为有限生成的，则称 $A$ 为 Noether 环。

$\mathrm{Noether}$ 环上的有限生成模的子模是有限生成的。

例子

1. PID
2. $K[X]$
3. $K[X,Y]$

$A$ 是 $\mathrm{P.I.D.}$，$M$ 是自由$A$ - 模，$N\subset M$ 为其子模，则 $N$ 也是自由$A$ - 模。

# PID 有限生成模分类定理

# 基本概念

$a\in A,u\in A^\times $，记 $a=u\cdot \displaystyle\prod p_i^{\alpha_i}$，有 $F(a)=\displaystyle \sum \alpha_i$

# k - 子式及理想

$k$ - 子式

$M\in M_{p,q}(A)$，记 $C_k(M)$ 是 $M$ 中 $k$ - 子式生成的理想，其中 $1\leq k\leq \min(p,q)$。
为了方便说明，记

$$C_k(M)=\left\{\begin{array}{ll}(1)=A&,k\leq 0\\ 0&,k>\min(p,q)\end{array}\right.$$

# Smith 正规型

$A$ 是 PID，$M\in M_{p,q}(A)$ ，不妨 $p\leq q$，$r=\mathrm {min}(p,q)=q$，那么 $M$ 的轨道中有如下形式的矩阵：

$$P\cdot M\cdot Q^{-1}= \begin{bmatrix} a_1 & & \cdots & a_{1n} & | & b_1 \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} & | & b_2 \\ & & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ & & & a_r & | & b_m \end{bmatrix}$$

证明思路如下：

# 存在性

考虑 归纳 ，对 $p+q$ 归纳， $p+q=2$ 时是成立的。

记 $F(M)=\min_{i,j}{F(m_{ij})}$ 对 $p+q<k$ 的 $M_{p,q}$ 成立。

对换行列，不妨 $F(m_{11})=F(M)$ ，这个时候有两种可能：

1. $m_{11}$ 不整除某个第一行的元素；
2. $m_{11}$ 整除所有的 m_{1i},m_

第一种情况可以转化为第二种情况：不妨 $m_{11}\nmid m_{12}$，则由 PID 知道 $(m_{11},m_{12})=(d)$，且 $$F (m_{11})>F (d)$$

考虑 Bezout 定理， $\exists a,b\in A,am_{11}+bm_{12}=d$，我们有

$$a\dfrac{m_{11}}d+b\dfrac{m_{12}}d=1,\quad \dfrac {m_{11}}d:=x,\dfrac{m_{12}}{d}:=y\in A$$

这是关键的一步

$$\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & * & a_{1n} & \\ * & * & \cdots & * & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & | & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & | & b_m \end{bmatrix}$$

归纳即证存在性，接下来证明唯一性。

# 唯一性

我们有如下引理

$\forall k\in\mathbb Z,\forall P\in \mathrm{GL}(p,A),Q\in\mathrm{GL}(q,A)$

$$C_k(M)=C_k(P\cdot M\cdot Q^{-1})$$

# 推论

$A$ 是 PID ，$M,N$ 是有限生成自由 $A$ - 模，记 $M\simeq A^q,N\simeq A^p$，那么存在 $M,N$ 的基 $$u_1,...u_q;\quad v_1,...,v_p$$
以及 $a_{1},...,a_r\in A$，使得

$$r\leq \min(p,q),\quad (a_1)\supset (a_2)\supset...\supset (a_r)$$

并且

$$\varphi(u_i)=\left\{\begin{array}{ll}a_iu_i&,i\leq r\\0&,else\end{array}\right.$$

# PID 上有限生成自由模的子模

$A$　是 PID ，$M$ 是有限生成自由模，不妨 $M\simeq A^n$，$N\subset M$ 是 $A$　的子模，那么

$$N\simeq A^r,\quad r\leq n$$

进一步，找到 $M$ 的基 $e_1,...,e_n$，以及 $(a_1)\supset(a_2)\supset...\supset(a_r),a_i\in A$，使得

$$a_1e_1,...,a_re_r$$

为 $N$ 的基.

证明：把 $N$ 视为 同态的像

# PID 有限生成自由模分类定理

$A$ 是 PID，$M$ 是有限生成 $A$ - 模，那么
$\exists r,s\in \mathbb Z_{\geq 0}$，以及 $a_1,...,a_s\in A$ 满足

$$(a_1)\supset (a_2)\supset...\supset(a_s)$$

那么有模同构

$$M\simeq A^r\oplus \ ^A/_{(a_1)}\ \oplus ... \ \oplus \ ^A/_{(a_s)}$$

且 $r,s,a_i$ 在伴随下唯一。

证明如下：

# 存在性

证明只需要考虑 模同态基本定理

注意到，$M$ 是有限生成$\iff$ $\varphi: A^n\twoheadrightarrow M $，所以 $^{A^n}/_{\ker \varphi}\simeq M$.

选取一组基

# 唯一性

# 应用

# 有限生成交换群分类定理

交换群 $A$ 为 $\mathbb Z$ - 模，所以存在

$$a_1\mid a_2\mid...\mid a_s,\quad a_i\in\mathbb Z$$

使得

$$A\simeq \left(\bigoplus_r\mathbb Z\right)\oplus \left(\bigoplus _{i=1}^s \ {^{\mathbb Z}}/_{(a_i)}\right)$$

# Frobenius 标准型

# 标准型

考虑分解 $$V\simeq \bigoplus \ ^{K [x]}/_{P_i (x)}$$

# Jordan 标准型

当 $K=\mathbb C$，$W=\ ^{\mathbb C[x]}/_{(x-\lambda)^d},\lambda \in \mathbb C$ 时，取 $W$ 的基

$$1,x-\lambda,...(x-\lambda)^d \mod ((x-\lambda )^d)$$

考虑 $T$ 在 $e_1,...,e_d$ 上的作用

$$\begin{array}{l}Te_1=xe_1=e_2+\lambda e_1\\ Te_2=xe_2=e_3+\lambda e_2\\ ...\\ Te_k=xe_k=e_{k+1}+\lambda e_k\\ ...\\ Te_{d-1}=xe_{d-1}=e_d+\lambda e_{d-1}\\ Te_d=xe_{d}=\lambda e_d \end{array}$$

这得到了 Jordan 标准型

$$\begin{bmatrix} \lambda & 1 && \\ & \lambda & \ddots& \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{bmatrix}$$