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2024 年抽象代数课程笔记，内容基于讲义和板书。
参考（抄书）资料是 2024 年 于品老师群与 Galois 理论讲义。

# 模与线性空间

# 线性空间

定义 3.1.1.1 KK 是域，VV 是非空集合。如果 VV 上配备了加法 ++ 和 KK 对 VV 的乘法 ⋅\cdot，即映射

V×V→V,(v1,v2)→v1+v2V\times V\to V,\quad (v_1,v_2)\to v_1+v_2

K×V→V,(k,v)→k⋅vK\times V\to V,\quad (k,v)\to k\cdot v

以及零元素 0V∈V0_V\in V，使得

  1. 加法满足结合律，即 ∀v1,v2,v3∈V\forall v_1,v_2,v_3\in V，有

(v1+v2)+v3=v1+(v2+v3)(v_1+v_2)+v_3=v_1+(v_2+v_3)

  1. 加法满足交换律，即 ∀v1,v2∈V\forall v_1,v_2\in V，有

v1+v2=v2+v1v_1+v_2=v_2+v_1

  1. 0V0_V 是加法单位元，即 ∀v∈V\forall v\in V，有

0V+v=v0_V+v=v

  1. 加法有逆元，即 ∀v∈V\forall v\in V，存在 −v∈V-v\in V，使得

v+(−v)=0Vv+(-v)=0_V

  1. 乘法满足结合律，即 ∀a1,a2∈K,v∈V\forall a_1,a_2\in K,v\in V，有

(a1⋅a2)⋅v=a1⋅(a2⋅v)(a_1\cdot a_2)\cdot v=a_1\cdot (a_2\cdot v)

  1. 1K1_K 是乘法单位元，即 ∀v∈V\forall v\in V，有

1K⋅v=v1_K\cdot v=v

  1. 乘法满足分配律，即 ∀a1,a2,a∈K,v1,v2,v∈V\forall a_1,a_2,a\in K,v_1,v_2,v\in V，有

(a1+a2)⋅v=a1⋅v+a2⋅v(a_1+a_2)\cdot v=a_1\cdot v+a_2\cdot v

a⋅(v1+v2)=a⋅v1+a⋅v2a\cdot (v_1+v_2)=a\cdot v_1+a\cdot v_2

就称 VV 是 KK 上的线性空间 或 KK - 线性空间。

# 模

定义 3.1.2.1 AA 是环，(M,+)(M,+) 是交换群。如果存在映射

A×M→M,(a,m)→a⋅mA\times M\to M,\quad (a,m)\to a\cdot m

使得 ∀a,a′∈A,m,m′∈M\forall a,a'\in A,m,m'\in M，有

  1. 1⋅m=m1\cdot m=m

  2. a⋅(a′⋅m)=(a⋅a′)⋅ma\cdot (a'\cdot m)=(a\cdot a')\cdot m

  3. a⋅(m+m′)=am+am′a\cdot (m+m')=am+am'

  4. (a+a′)⋅m=a⋅m+a′⋅m(a+a')\cdot m=a\cdot m+a'\cdot m

则称 (M,+)(M,+) 或 MM 是 （左）AA - 模。

Remark

模 MM 可以看作是环 AA - 线性空间。

定义 3.1.2.2 给定 AA - 模 MM，如果在加法群的意义下 (N,+)<(M,+)(N,+)<(M,+)，并且

∀a∈A,n∈N,a⋅n∈N\forall a\in A,n\in N, a\cdot n\in N

则称 (N,+)(N,+) 是 MM 的一个 子AA - 模 或 子模。当然 NN 在 AA 对 MM 的乘法下是 AA - 模。

Example

KK 是域，则 KK - 模是 KK - 线性空间。

Z\Z - 模 MM 是交换群，其中 ∀a∈Z,m∈M\forall a\in \Z,m\in M，有

a⋅m=m+⋯+ma\cdot m=m+\cdots+m

A,BA,B 是环，φ:A→B\varphi:A\to B 是环同态，则 BB 有自然的 AA - 模结构

A×B→B,(a,b)→a⋅b:=φ(a)⋅BbA\times B\to B,\quad (a,b)\to a\cdot b:=\varphi(a)\cdot _{_B} b

KK 是域，A=K[X]A=K[X] 为 KK 的多项式环，VV 是 KK - 线性空间。给定线性映射 T∈endK(V)T\in \mathrm{end}_K(V)，这定义出 VV 上的 K[X]K[X]- 模结构

K[X]×V→V,(P(X),v)→P(X)⋅v:=P(T)⋅vK[X]\times V\to V,\quad (P(X),v)\to P(X)\cdot v:=P(T)\cdot v

这是最重要的一类 K[X]K[X]- 模，它由线性映射 TT 决定。

AA 是环，那么 AA 对自身的乘法使得 AA 称为 AA - 模，且 I⊂AI\subset A 是子模当且仅当 II 是 AA 的（左）理想。

# 模同态与商模

定义 3.1.3.1 设 (M1,+1),(M2,+2)(M_1,+_1),(M_2,+_2) 是 AA - 模，如果存在加法群同态并且保持乘法

φ:M1→M2\varphi:M_1\to M_2

即 ∀a∈A,m,m′∈M1\forall a\in A,m,m'\in M_1 有

φ(m+1m′)=φ(m)+2φ(m′),φ(a⋅1m)=a⋅2φ(m)\varphi(m+_{_1}m')=\varphi(m)+_{_2}\varphi(m'),\quad \varphi(a\cdot _{_1} m)=a\cdot _{_2} \varphi(m)

称 φ\varphi 是从 M1M_1 到 M2M_2 的 AA - 模同态 或 AA - 线性映射。如果 φ\varphi 是双射，则称 φ\varphi 是 M1,M2M_1,M_2 之间的 AA - 模同构。如果 M1M_1 与 M2M_2 之间存在 AA - 模同构，则称 M1M_1 与 M2M_2 是 同构的，并记为 M1≃M2M_1\simeq M_2。

用 hom⁡A(M1,M2)\hom_A(M_1,M_2) 表示从 M1M_1 到 M2M_2 的全体 AA - 模同态集合。

Remark

AA 是交换环，则 hom⁡A(M1,M2)\hom_A(M_1,M_2) 具有自然的 AA - 模结构

A×hom⁡A(M1,M2)→hom⁡A(M1,M2),(a,φ)→(a⋅φ:m1→a⋅2φ(m1))A\times \hom_A(M_1,M_2)\to \hom _A(M_1,M_2),\quad (a,\varphi)\to (a\cdot \varphi:m_1\to a\cdot _{_2}\varphi(m_1))

定义 3.1.3.2 给定 φ∈hom⁡A(M1,M2)\varphi\in \hom_A(M_1,M_2)，定义它的 核

ker⁡φ:={m∈M1:φ(m)=0}\ker \varphi:=\{m\in M_1:\varphi(m)=0\}

这是 M1M_1 的子模。进一步，如果给定 AA - 模 MM 及其子模 NN，可以构造 商模

M/N:={m+N∣m∈M}^M/_N:=\{m+N|m\in M\}

其 AA - 模结构如下给出

A×M/N→M/N,(a,m+N)→a⋅(m+N):=(a,m)+NA\times\ ^M/_N\to\ ^M/_N,\quad (a,m+N)\to a\cdot (m+N):=(a,m)+N

自然有满 AA - 模同态

π:M→M/N,m→m+N\pi :M\to \ ^M/_N,\quad m\to m+N

命题 3.1.3.3 给定 φ∈hom⁡A(M1,M2)\varphi\in \hom_A(M_1,M_2)，φ\varphi 是单射当且仅当 ker⁡(φ)={0}\ker (\varphi)=\{0\}.

定理 3.1.3.4 （模同态定理） M,M′M,M' 是 AA - 模，NN 是 MM 的子模， φ∈hom⁡A(M,M′)\varphi\in \hom_A(M,M')，若 N⊂ker⁡φN\subset \ker \varphi ，则

∃!φˉ:M/N→M′,φˉ∘π=φ\exists !\ \bar\varphi:\ ^M/_N\to M',\quad \bar \varphi\circ \pi =\varphi

即如下交换图

alt text

推论 3.1.3.5 ∀φ∈hom⁡A(M,N)\forall \varphi\in \hom_A(M,N)，有自然的 AA - 模同构

φˉ:M/ker⁡φ→≃Imφ\bar\varphi:\ ^M/_{\ker \varphi}\xrightarrow{\simeq }\mathrm{Im}\ \varphi

定理 3.1.3.6（子模对应定理）有如下一一对应：

{M的子模N′⊃N}→1:1{M/N的子模N′‾},N′→N′/N=N′‾\{M \text{ 的子模 } N'\supset N\}\xrightarrow{1:1}\{\ ^M/_N \text{ 的子模 } \overline {N'}\},\quad N'\to \ ^{N'}/_N=\overline{N'}

# 有限生成模与自由模

# 模的乘积

定义 3.1.4.1 给定一族 AA - 模 {Mi}i∈I\{M_i\}_{i\in I}，定义它们的 乘积

∏i∈IMi={(mi)i∈I:=(m1,m2,...)∣mi∈Mi,i∈I}\prod_{i\in I} M_i=\{(m_i)_{i \in I}:=(m_1,m_2,...)\ |\ m_i\in M_i,i \in I\}

乘积具有模结构

A×∏iMi→∏iMi,(a,(mi))→(a⋅mi)A\times \displaystyle\prod _{i}M_i\to \prod _iM_i,\quad (a,(m_i))\to (a\cdot m_i)

同时这也给出了投影映射（模同态）

πi0:∏iMi→Mi0,(mi)→mi0\pi_{i_0}:\prod _i M_i\to M_{i_0},\quad (m_i)\to m_{i_0}

注意，乘积中的指标集 II 可以是无限集。

# 泛性质

定理 3.1.4.2 ∀A\forall A - 模 MM， ∀φi∈hom⁡A(M,Mi)\forall \varphi_i \in \hom_A(M,M_i)，∃!ψ∈hom⁡A(M,∏iMi)\exists !\ \psi \in \hom_A(M,\prod_i M_i)，使得 ψ∘πi=φi,∀i∈I\psi \circ \pi_i=\varphi_i,\forall i\in I。换言之

hom⁡A(M,∏iMi)=∏ihom⁡A(M,Mi)\hom_A\left(M,\displaystyle \prod _i M_i\right)=\prod_i\hom_A(M,M_i)

也即如下交换图：

alt text

# 模的直和

定义 3.1.5.1 给定一族 AA - 模 {Mi}i∈I\{M_i\}_{i\in I}，定义它们的 直和

⨁i∈IMi={(mi)i∈I∈∏i∈IMi∣mi≠0只有有限个i}\bigoplus _{i\in I}M_i=\{(m_i)_{i \in I}\in \prod_{i\in I}M_i\ | \ m_i\neq 0 \text{ 只有有限个 $i$ }\}

直和具有模结构

A×⨁iMi→⨁iMi,(a,(mi))→(a⋅mi)A\times \bigoplus_i M_i\to \bigoplus _iM_i,\quad (a,(m_i))\to (a\cdot m_i)

同时这也给出了（除投影映射外的）嵌入映射（模同态），像空间是直和

ιi0:Mi0→⨁iMi,mi0→(0,...,0,mi0,0,...)\iota_{i_0}:M_{i_0}\to \bigoplus_i M_i,\quad m_{i_0}\to (0,...,0,m_{i_0},0,...)

# 泛性质

定理 3.1.5.2 ∀A\forall A - 模 MM， ∀φi∈hom⁡A(Mi,M)\forall \varphi_i \in \hom_A(M_i,M)，∃!ψ∈hom⁡A(⨁iMi,M)\exists !\ \psi \in \hom_A(\bigoplus_i M_i,M)，使得 ψ∘ιi=φi,∀i∈I\psi\circ\iota_i=\varphi_i,\forall i\in I。换言之

hom⁡A(⨁iMi,M)=∏ihom⁡A(Mi,M)\hom_A\left(\displaystyle \bigoplus _i M_i,M\right)=\prod_i\hom_A(M_i,M)

也即如下交换图：

alt text

Remark：泛性质

再给定一族 AA - 模 {Mi′}i∈I\{M'_i\}_{i\in I}，它们和 {Mi}i∈I\{M_i\}_{i\in I} 用同样的指标 II。若对每个 i∈Ii\in I 都有 AA - 模同构 fi:Mi′→Mif_i: M'_i\to M_i，那么 ⨁i∈IMi′≃⨁i∈IMi\bigoplus_{i\in I}M'_i\simeq \bigoplus _{i\in I}M_i

一般而言，如果 ∀i∈I\forall i\in I，有 AA - 模同态：

Mi′→fiMi→ιi⨁i∈IMiM'_i\xrightarrow{f_i}M_i\xrightarrow{\iota_i}\bigoplus_{i\in I}M_i

这给出了 AA - 模同态

⨁i∈IMi′→⨁i∈IMi\bigoplus _{i\in I}M'_i\to \bigoplus _{i\in I}M_i

Remark：乘积与直和

II 是有限集时，在 AA - 模的意义下

⨁i∈IMi=∏i∈IMi\bigoplus_{i\in I}M_i=\prod_{i\in I}M_i

II 是无限集时，它们之间有所不同。之所以要求直和满足有限元非零，是因为泛性质告诉我们

Mi0→ιi0⨁iMi→ψM,mi0→(0,...,0,mi0,0,...)→∑i=1∞ψ(mi)M_{i_0}\xrightarrow {\iota_{i_0}} \bigoplus _i M_i\xrightarrow \psi M,\quad m_{i_0}\to (0,...,0,m_{i_0},0,...)\to \sum^\infty_{i=1}\psi(m_i)

不能对无限非零元求和，这并没有定义。

# 自由模

定义 3.1.6.1 如果一族 AA - 模 {Mi}i∈I\{M_i\}_{i\in I} 中每个 MiM_i 均与 AA 同构，那么用 AIA_I 记它们的直和（的同构等价类）并称之为 自由 AA - 模。我们称 ∣I∣|I| 为此自由模的 秩。定义 AA - 模（有 nn 个 AA）

An:=A⊕A⋯⊕AA^n:=A\oplus A\cdots \oplus A

定义 3.1.6.2 如果 MM 是自由 AA - 模，{xi}i∈I⊂M\{x_i\}_{i\in I}\subset M 使得映射

AI→M,(ai)i∈I→∑i∈IaixiA^I\to M,\quad (a_i)_{i\in I}\to \sum_{i\in I}a_ix_i

是 AA - 模同构，就称 {xi}i∈I\{x_i\}_{i\in I} 是 MM 的一组 基。此时，对任意的 x∈Mx\in M，存在唯一一组 (ai)i∈I(a_i)_{i\in I}，其中只有有限个 aia_i 非零，使得 x=∑i∈Iaixix=\displaystyle \sum_{i\in I}a_ix_i.

# 有限生成模

命题 3.1.7.1 给定 AA - 模 MM，{Mi}i∈I\{M_i\}_{i\in I} 是 AA 的某些子模构成的集合，则下面是子模

  1. ∑i∈IMi:={∑i∈I,有限和xi:xi∈Mi}\displaystyle\sum_{i\in I}M_i:=\left\{\sum_{i\in I,\text{有限和}}x_i:x_i \in M_i\right\}
  2. ⋂i∈IMi\displaystyle\bigcap _{i\in I}M_i

定义 3.1.7.2 考虑 MM 的非空子集 S⊂MS\subset M，包含 SS 的所有子模之交是在包含关系下含 SS 的最小子模，称为 由 SS 生成的子模，记作 (S)(S)。如果 ∣S∣<∞|S|<\infty，称 MM 是 有限生成的 AA - 模。如果模 S={x}S=\{x\}，称 MM 是 循环模，xx 为 MM 的 生成元，记作 M=A⋅xM=A\cdot x.

性质 3.1.7.3 以下是一些有限生成模的直接性质：

  1. 循环 AA - 模形如 A/I^A/_I，其中 II 是理想；
  2. MM 是有限生成的当且仅当存在整数 nn 以及满同态 An→MA^n\to M

# Noether 环

定义 3.1.8.1 若环 AA 的每个理想均为有限生成的，则称 AA 为 Noether 环。

Example：Noether 环

PID，K[X]K[X]，K[X,Y]K[X,Y] 都是 Noether 环。

性质 3.1.8.2 Noether 环的等价定义是：环 AA 满足 理想升链的稳定条件。所谓的理想升链的稳定条件是：对任意 AA 中的理想升链

I1⊂I2⊂⋯⊂In⊂⋯I_1\subset I_2\subset \cdots \subset I_n\subset \cdots

存在 n0≥1n_0\geq 1，使得 n≥n0n\geq n_0 时， In=In0I_n=I_{n_0}.

命题 3.1.8.3 Noether 环上的有限生成模的子模是有限生成的。

Proof

考虑归纳，n=1n=1 是显然的。假设 n−1n-1 时成立，考虑 nn 的情况：

M=(x1,⋯,xn)=Ax1+Ax2+⋯+AxnM=(x_1,\cdots ,x_n)=Ax_1+Ax_2+\cdots +Ax_n

及其子模 NN。令 M′=(x1,⋯,xn−1)M'=(x_1,\cdots ,x_{n-1})，则 M/M′^M/_{M'} 由 xn+M′x_n+M' 生成。在商映射 π:M→M/M′\pi :M\to {^M/_{M'}} 下，π(N)⊂M/M′\pi(N)\subset{^M/_{M'}} 是子模。则 π(N)\pi(N) 是有限生成的： y1+M′,⋯,ym+M′y_1+M',\cdots ,y_m+M'，我们由此注意到：

N=N∩M′+Ay1+⋯+AymN=N\cap M'+Ay_1+\cdots +Ay_m

归纳成立。

命题 3.1.8.4 AA 是交换

# PID 有限生成模分类定理

# 基本概念

$a\in A,u\in A^\times $，记 a=u⋅∏piαia=u\cdot \displaystyle\prod p_i^{\alpha_i}，有 F(a)=∑αiF(a)=\displaystyle \sum \alpha_i

# k - 子式及理想

kk - 子式

M∈Mp,q(A)M\in M_{p,q}(A)，记 Ck(M)C_k(M) 是 MM 中 kk - 子式生成的理想，其中 1≤k≤min⁡(p,q)1\leq k\leq \min(p,q)。
为了方便说明，记

Ck(M)={(1)=A,k≤00,k>min⁡(p,q)C_k(M)=\left\{\begin{array}{ll}(1)=A&,k\leq 0\\ 0&,k>\min(p,q)\end{array}\right.

# Smith 正规型

AA 是 PID，M∈Mp,q(A)M\in M_{p,q}(A) ，不妨 p≤qp\leq q，r=min(p,q)=qr=\mathrm {min}(p,q)=q，那么 MM 的轨道中有如下形式的矩阵：

P⋅M⋅Q−1=[a1⋯a1n∣b1a22⋯a2n∣b2⋱⋮∣⋮ar∣bm]P\cdot M\cdot Q^{-1}= \begin{bmatrix} a_1 & & \cdots & a_{1n} & | & b_1 \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} & | & b_2 \\ & & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ & & & a_r & | & b_m \end{bmatrix}

证明思路如下：

# 存在性

考虑 归纳 ，对 p+qp+q 归纳， p+q=2p+q=2 时是成立的。

记 F(M)=min⁡i,jF(mij)F(M)=\min_{i,j}{F(m_{ij})} 对 p+q<kp+q<k 的 Mp,qM_{p,q} 成立。

对换行列，不妨 F(m11)=F(M)F(m_{11})=F(M) ，这个时候有两种可能：

  1. m11m_{11} 不整除某个第一行的元素；
  2. m11m_{11} 整除所有的 m_{1i},m_

第一种情况可以转化为第二种情况：不妨 m11∤m12m_{11}\nmid m_{12}，则由 PID 知道 (m11,m12)=(d)(m_{11},m_{12})=(d)，且 $$F (m_{11})>F (d)$$

考虑 Bezout 定理， ∃a,b∈A,am11+bm12=d\exists a,b\in A,am_{11}+bm_{12}=d，我们有

am11d+bm12d=1,m11d:=x,m12d:=y∈Aa\dfrac{m_{11}}d+b\dfrac{m_{12}}d=1,\quad \dfrac {m_{11}}d:=x,\dfrac{m_{12}}{d}:=y\in A

这是关键的一步

[m11m12∗a1n∗∗⋯∗⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn]⋅[a11a12⋯a1n∣b1a21a22⋯a2n∣b2⋮⋮⋱⋮∣⋮am1am2⋯amn∣bm]\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & * & a_{1n} & \\ * & * & \cdots & * & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & | & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & | & b_m \end{bmatrix}

归纳即证存在性，接下来证明唯一性。

# 唯一性

我们有如下引理

∀k∈Z,∀P∈GL(p,A),Q∈GL(q,A)\forall k\in\mathbb Z,\forall P\in \mathrm{GL}(p,A),Q\in\mathrm{GL}(q,A)

Ck(M)=Ck(P⋅M⋅Q−1)C_k(M)=C_k(P\cdot M\cdot Q^{-1})

# 推论

AA 是 PID ，M,NM,N 是有限生成自由 AA - 模，记 M≃Aq,N≃ApM\simeq A^q,N\simeq A^p，那么存在 M,NM,N 的基 $$u_1,...u_q;\quad v_1,...,v_p$$
以及 a1,...,ar∈Aa_{1},...,a_r\in A，使得

r≤min⁡(p,q),(a1)⊃(a2)⊃...⊃(ar)r\leq \min(p,q),\quad (a_1)\supset (a_2)\supset...\supset (a_r)

并且

φ(ui)={aiui,i≤r0,else\varphi(u_i)=\left\{\begin{array}{ll}a_iu_i&,i\leq r\\0&,else\end{array}\right.

# PID 上有限生成自由模的子模

AA　是 PID ，MM 是有限生成自由模，不妨 M≃AnM\simeq A^n，N⊂MN\subset M 是 AA　的子模，那么

N≃Ar,r≤nN\simeq A^r,\quad r\leq n

进一步，找到 MM 的基 e1,...,ene_1,...,e_n，以及 (a1)⊃(a2)⊃...⊃(ar),ai∈A(a_1)\supset(a_2)\supset...\supset(a_r),a_i\in A，使得

a1e1,...,arera_1e_1,...,a_re_r

为 NN 的基.

证明：把 NN 视为 同态的像

# PID 有限生成自由模分类定理

AA 是 PID，MM 是有限生成 AA - 模，那么
∃r,s∈Z≥0\exists r,s\in \mathbb Z_{\geq 0}，以及 a1,...,as∈Aa_1,...,a_s\in A 满足

(a1)⊃(a2)⊃...⊃(as)(a_1)\supset (a_2)\supset...\supset(a_s)

那么有模同构

M≃Ar⊕A/(a1)⊕...⊕A/(as)M\simeq A^r\oplus \ ^A/_{(a_1)}\ \oplus ... \ \oplus \ ^A/_{(a_s)}

且 r,s,air,s,a_i 在伴随下唯一。

证明如下：

# 存在性

证明只需要考虑 模同态基本定理

注意到，MM 是有限生成⟺\iff $\varphi: A^n\twoheadrightarrow M $，所以 An/ker⁡φ≃M^{A^n}/_{\ker \varphi}\simeq M.

选取一组基

# 唯一性

# 应用

# 有限生成交换群分类定理

交换群 AA 为 Z\mathbb Z - 模，所以存在

a1∣a2∣...∣as,ai∈Za_1\mid a_2\mid...\mid a_s,\quad a_i\in\mathbb Z

使得

A≃(⨁rZ)⊕(⨁i=1sZ/(ai))A\simeq \left(\bigoplus_r\mathbb Z\right)\oplus \left(\bigoplus _{i=1}^s \ {^{\mathbb Z}}/_{(a_i)}\right)

# Frobenius 标准型

# 标准型

考虑分解 $$V\simeq \bigoplus \ ^{K [x]}/_{P_i (x)}$$

# Jordan 标准型

当 K=CK=\mathbb C，W=C[x]/(x−λ)d,λ∈CW=\ ^{\mathbb C[x]}/_{(x-\lambda)^d},\lambda \in \mathbb C 时，取 WW 的基

1,x−λ,...(x−λ)dmod((x−λ)d)1,x-\lambda,...(x-\lambda)^d \mod ((x-\lambda )^d)

考虑 TT 在 e1,...,ede_1,...,e_d 上的作用

Te1=xe1=e2+λe1Te2=xe2=e3+λe2...Tek=xek=ek+1+λek...Ted−1=xed−1=ed+λed−1Ted=xed=λed\begin{array}{l}Te_1=xe_1=e_2+\lambda e_1\\ Te_2=xe_2=e_3+\lambda e_2\\ ...\\ Te_k=xe_k=e_{k+1}+\lambda e_k\\ ...\\ Te_{d-1}=xe_{d-1}=e_d+\lambda e_{d-1}\\ Te_d=xe_{d}=\lambda e_d \end{array}

这得到了 Jordan 标准型

[λ1λ⋱⋱1λ]\begin{bmatrix} \lambda & 1 && \\ & \lambda & \ddots& \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{bmatrix}