2024 年抽象代数课程笔记，内容基于讲义和板书。
参考（抄书）资料是 2024 年于品老师群与 Galois 理论讲义。

# 域的预备知识

# 域

定义 4.1.1 $K$ 是集合并且至少有 $2$ 个元素。如果 $K$ 上定义了乘法 $\cdot$ 和加法 $+$ ，即映射
$K\times K\to K,\quad (a,b)\to a+b$
和
$K\times K\to K,\quad (a,b)\to a\cdot b$
并且存在元素 $0_K,1_K\in K$ ， $0_K\neq 1_K$ ，使得如下公理成立：
$0_K$ 是加法单位元，即 $\forall a\in K$ ，有
$0_K+a=a+0_K=a$
加法满足结合律，即 $\forall a_1,a_2,a_3\in K$ ，有
$(a_1+a_2)+a_3=a_1+(a_2+a_3)$
加法满足交换律，即 $\forall a,b\in K$ ，有
$a+b=b+a$
加法有逆元，即 $\forall a\in K,\exists -a\in K$ ，有
$a+(-a)=0_K$
$1_K$ 是乘法单位元，即 $\forall a\in K$ ，有
$1_K\cdot a=a\cdot 1_K$
乘法满足结合律，即 $\forall a_1,a_2,a_3\in K$ ，有
$(a_1\cdot a_2)\cdot a_3=a_1\cdot (a_2\cdot a_3)$
乘法满足交换律，即 $\forall a,b\in K$ ，有
$a\cdot b=b\cdot a$
乘法有逆元，即 $\forall a\in K^\times$ ，有
$a\cdot a^{-1}=1_K$
乘法和加法满足乘法分配律，即 $\forall a_1,a_2,a_3\in K$ ，有
$a_1\cdot (a_2+a_3)=a_1\cdot a_2+a_1\cdot a_3$
$(a_1+a_2)\cdot a_3=a_1\cdot a_3+a_2\cdot a_3$
称 $(K,\cdot \ ,+)$ 是一个域。

Example

常见的域 $\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ ；或者有限域 $\mathbb F_p$ ，其中 $p$ 是素数

$\mathbb F_p={^\Z/_{p\Z}}:=\{\bar 0,\bar 1,...,\overline {p-1}\}$

定义 4.1.2 $K$ 是域， $K[X]$ 是多项式环，则
$K(X):=\mathrm{Frac}(K[X])=\left\{\dfrac{P(X)}{Q(X)}:P,Q\in K[X],Q\neq 0\right\}$
是 $K$ 上的 （一元）函数域。

# 域扩张

定义 4.1.3 $L$ 是域， $K\subset L$ 。如果 $K$ 在 $L$ 的加法和乘法下封闭，即
$\forall a,b\in K,\quad a+b,a\cdot b\in K$
$\forall a,b\in K,b\neq 0,\quad -a,b^{-1}\in K$
则称 $K$ 是 $L$ 的子域。此时，还称 $L$ 是 $K$ 的扩张，并记作 $^L/_K$ 。如果 $K\subset K'\subset L$ 均为 $L$ 的子域（显然 $K$ 是 $K'$ 的子域），那么称 $K'$ 为扩张 $^L/_K$ 的 中间域。通常采用如下交换图来表示

本笔记排版需要，可能会贴图、直接画图，其中的域扩张也可能是横向书写的。

性质 4.1.4 给定域扩张 $^L/_K$ ， $\{K_i'\}_{i\in I}$ 是一族中间域，那么
$\bigcap_{i\in I}K_i'$
也是 $L$ 的中间域。特别地，给定 $^L/_K$ 和 $L$ 的子集 $M$ ，用
$K(M)$
来表示所有包含 $M$ 的中间域的交，这是包含 $M$ 的最小的子域，称为 由 $M$ 所生成的子域。如果 $M=\{m_1,...,m_k\}$ 是有限集，也记为
$K(M):=K(m_1,...,m_k)$
如果 $L=K(M)$ 并且 $M$ 是有限集，那么称域扩张 $^L/_K$ 是 有限型的 或 有限生成的。

定义给定域扩张 $^L/_K$ ，以及 $L$ 上的加法和 $K$ 中元素与 $L$ 中元素的乘法，这就给出了 $L$ 的 $K$ - 线性空间结构。如果 $\dim _K L<\infty$ ，就称 $L$ 是 $K$ 的 有限扩张。我们称 $\dim_KL$ 为扩张 $^L/_K$ 的次数并记作 $[L:K]$ 。作为 $K$ - 线性空间的一组基 $\{e_i\}_{i\in I}\subset L$ 被称作是 $^L/_K$ 的一组基。

# 域特征

域的特征在后续的可分性、Galois 理论中会发挥作用，不过在本课程中并不重要。

定义 5.1.2 考虑任意域 $K$ ，有自然的环同态
$\iota :\mathbb Z \to K, \iota(n)=n\cdot 1_K$
这里的 $1_K$ 为 $K$ 的单位元。如果 $\ker \iota=0$ ，则称 $K$ 的 特征为零 并记作 $\mathrm{char}(K)=0$ ；否则，存在唯一的素数 $p$ ，使得 $\ker\iota=p\Z$ ，即
$p\cdot 1_K=0$
此时称 $K$ 的 特征为 $p$ ，并记作 $\mathrm{char}(K)=p$ .

Example

$\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ 的特征为零，而 $\mathbb F_p$ 的特征为 $p$ .

Remark

定义中的 “否则” 是由域是交换除环决定的：特征要么是 $0$ ，要么是素数。

如果 $q=p^n$ ，那么 $\mathbb F_q=\left(^\Z/_{p^n\Z}\right)^\times$ ，特别地 $|\mathbb F_q|=p^{n-1}(p-1)$ .

如果 $q=st$ ，其中 $s,t$ 是互素的非平凡整数，那么

$\iota(s)\iota(t)=0\implies \iota(s)=0$

最后能化归到素数的情形，这对应着这个域的特征。

如果 $\mathrm{char }(K)=0$ ，则环同态 $\iota$ 可以延拓到 $\mathbb Q$ 上，即给出自然的域同态

$\iota :\mathbb Q\to K,\quad \iota\left(\dfrac{m}n\right)=\dfrac{\iota(m)}{\iota(n)}$

其中 $m,n\in\mathbb Z, n\neq 0$ ，所以 $K$ 总是以唯一的方式包含（嵌入的意义下） $\mathbb Q$ 作为其子域。

如果 $\mathrm{char}(K)=p$ ，则环同态 $\iota$ 给出了域同态

$\bar \iota :\mathbb F_p= {^\mathbb Z}/_{p\Z}\to K$

所以 $K$ 总是以唯一的方式包含（嵌入的意义下） $\mathbb F_p$ 作为其子域。

我们称 $\mathbb Q,\mathbb F_p$ 分别为以上两种情形下 $K$ 的 本原域。本原域在域扩张下不变，即下面的引理

本原域在域扩张下不变。

引理 5.1.3 给定域扩张 $^L/_K$ ，则 $\mathrm{char}(K)=\mathrm{char}(L)$

Proof

考虑交换图表，注意到域扩张映射 $K\to L$ 是单射， $\ker \iota=\ker \bar\iota$

alt text

# Frobenius 域同态

定义 5.1.4 域 $K$ 满足 $\mathrm{char}(K)=p$ ，则定义 Frobenius 映射
$\mathrm{Frob}:K\to K,\quad x\to x^p$
事实上， $\mathrm{Frob}$ 是域同态。

# 域扩张

定义 5.1.5 $L$ 是域， $K\subset L$ 。如果

Remark

这里的 $K(x)$ 是包含 $x$ 的最小的域。

# 代数扩张

# K - 同态

定义 5.2.1 给定域扩张 $^L/_K, {^{L'}}/_K$ 和域同态 $\varphi:L\to L'$ ，如果
$\varphi|_K=\mathrm{id}_K$
即 $\forall x\in K,\varphi(x)=x$ ，就称 $\varphi$ 为 $K$ - 同态，有如下交换图

方便起见，作如下的记号声明。

定义 5.2.2
$\hom_K(L,L')$ 表示所有的 $K$ - 同态；
$\mathrm{end}_K(L)$ 表示所有 $^L/_K$ 到自身的 $K$ - 同态；
$\mathrm{aut}_K(L)$ 表示所有 $^L/_K$ 到自身的 $K$ - 同构。

Remark

$\mathrm{aut}_K(L)$ 在同态复合的运算下构成群。

# 代数元与代数扩张

# 基本概念

定义 5.2.3 给定域扩张 $^L/_K$ 和 $x\in L$ 。如果存在非零的 $K$ - 系数多项式 $P(X)\in K[X]$ ，使得
$P(x)=0$
就称 $x$ 在 $K$ 上是代数的。此时，存在唯一的次数最低的首一多项式 $P(X)\in K[X]$ ，使得 $P(x)=0$ ，称 $P(X)$ 为 $x$ 在 $K$ 上的 极小多项式。
否则，即对任意非零 $K$ - 系数多项式 $P(X)\in K[X]$ ，都有
$P(x)\neq 0$
则称 $x$ 在 $K$ 上是超越的。

Remark

定义中首一多项式的存在唯一性，是由 $K$ 是一个域， $K[X]=\mathrm{PID}$ 决定的。

此外，根据极小多项式次数最低的性质，知道 $P(X)$ 是 $K[X]$ 上的不可约多项式。

定义 5.2.4 给定域扩张 $^L/_K$ 和 $x\in L$ 。如果 $\forall x\in L$ 在 $K$ 上均是代数的，称域扩张 $^L/_K$ 是 代数扩张。

# 由代数元生成的子域

引理 5.2.5 给定域扩张 $^L/_K$ 和一个代数元 $x\in L$ ，考虑多项式在 $x$ 处取值给出的环同态
$\mathrm{ev}_x:K[X]\twoheadrightarrow K[x],\quad Q(X)\to Q(x)$
有自然的同构，即
$^{K[X]}/_{(P(X))}\xrightarrow{\simeq }K[x]\subset L$
则 $K[x]$ 是 $L$ 的子域，称为 由代数元 $x$ 生成的子域。此外，还有
$K[x]=K(x)$
至此有如下域同构的序列
$^{K[X]}/_{(P(X))}\xrightarrow{\simeq}K[x]\xrightarrow{\simeq}K(x)$

Proof

首先 $\mathrm{ev}_x$ 显然是一个满同态。特别地， $\ker(\mathrm{ev_x})=(P(X))$ ，根据环同态第一定理，有环同构

$^{K[X]}/_{(P(X))}\xrightarrow{\simeq }K[x]\subset L$

进一步，由于 $(P(X))$ 是极大理想，从而 $K[x]$ 是 $L$ 的子域。根据定义

$K[x]\subset K(x)$

另外，由于 $K[x]$ 是域，所以 $\forall P,Q\in K[X],Q\neq 0$ ，有 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}\in K[x]$ ，所以

$K[x]\supset K(x)$

# 代数扩张的有关命题

命题给定域扩张 $^L/_K$ 和 $x\in L$ ，那么 $x$ 在 $K$ 上是代数的当且仅当 $^{K(x)}/_K$ 是有限扩张。进一步
$[K(x):K]=\mathrm{deg}P(X)$
其中， $P(X)$ 为 $x$ 的极小多项式而下列是 $^{K(x)}/_K$ 的一组基。
$1,x,...,x^{\mathrm {deg}P(X)-1}$

Proof

用线性无关和极小多项式来证明。特别指出，在代数中有限性相当于分析中的紧性。

推论有限扩张是代数扩张。

推论给定域扩张 $^L/_K$ ，如下命题成立：
（代数元推出代数扩张）子集 $M\subset L$ 中的每个元素在 $K$ 上均为代数的，那么 $^{K(M)}/_K$ 是代数扩张。进一步，如果 $M$ 还是有限集，那么 ${K(M)}/_K$ 是有限扩张。
如下定义 $K^{\mathrm{alg}}$ ，那么 $A^{\mathrm {alg}}$ 是 $L$ 的子域。
$K^{\mathrm{alg}}:=\{x\in L:x\text{ 在 } K \text{ 上是代数的}\}$
$^{K^{\mathrm {alg}}}/_K$ 是 $^L/_K$ 中（在集合包含关系下）最大的、代数的中间域。

推论给定域扩张 $^L/_K$ 的中间域 $^E/_K$ ，那么 $^L/_K$ 是代数扩张当且仅当 $^L/_E, {^{E}/_K}$ 均为代数扩张。

# 代数闭包

# 基本概念

命题 $K$ 是域， $P\in K[X]$ ，则存在有限域扩张 $^{K_P}/_K$ ，使得 $P$ 在 $K_P$ 中有根，即
$\exists\ y\in K_P,\quad P(y)=0$

Proof

不失一般性，设 $P(X)$ 不可约，考虑环同态复合，这是 $K$ 的有限扩张

$K\hookrightarrow K[X]\to {^{K[X]}/_{(P)}}:=K_P$

记 $\varphi:K[X]\to K_P$ ，则

$P(\varphi(X))=\varphi(P(X))=0$

其中 $\varphi(X)\in K_P$

命题 $K$ 是域，则如下性质等价：
每个次数至少为 $1$ 的多项式 $P\in K[X]$ 在 $K$ 中有根；
$K[X]$ 中不可约多项式（以后都默认，不可约多项式次数至少为 $1$ ）均为 $1$ 次多项式；
若 $^L/_K$ 是代数扩张，则 $L=K$
若 $K$ 满足以上性质，则称其为 代数封闭域。

Proof

对于 $3)\implies 2)$ ，考虑 $\forall P\in K[X]$ 是次数至少为 $1$ 的不可约多项式，则由于代数扩张 $^{K_P}/_K$ ，知道 $K_P=K$ ，所以有域扩张

$K\to K(x)\to K_P$

但是 $1=[{K_P}:K]=[K_P:K(x)][K(x):K]$ 知道

$1=[K(x):K]=\deg P(X)$

当然 $3)\implies 1)$ 更容易。

定义 $K$ 是域，若 $^\Omega/_K$ 为代数扩张且 $\Omega$ 是代数封闭域，则称 $\Omega$ 为 $K$ 的一个 代数闭包。

# 代数闭包的存在性

证明域 $K$ 均有唯一（在 $K$ - 同构的意义下）的代数闭包。

引理 $K$ 是域， $P\in K[X]$ ，则存在代数扩张 $^L/_K$ ，使得 $P$ 在 $L$ 中分裂，即
$P(X)=a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)\cdots(X-\alpha_n)$
其中 $a\in K, \alpha_i\in L$ .

Proof

归纳即可，或者进行有限次操作，这是因为 $\deg P<\infty$

$K - K_P -L$

第二步扩张是归纳 $Q$ ，其中在 $K_P$ 中

$P(X)=(X-\alpha)\cdot Q(X)$

引理 $K$ 是域，则存在域扩张 $^L/_K$ ，使得对任意次数至少为 $1$ 的多项式 $P\in K[X]$ ， $P$ 在 $L$ 中有根。

引理给定域扩张 $^L/_K$ ，其中 $L$ 是代数封闭域，则
$\Omega=\{x\in L:x \text{ 在 } K\text{ 上是代数的}\}=K^{\mathrm{alg}}$
是 $K$ 的代数闭包。

Proof

$^\Omega/_K$ 代数扩张是显然的，下面证明代数封闭。任意多项式 $P\in \Omega[X]$

$P(X)=\omega_nX^n+\cdots+\omega_1X+\omega_0\in \Omega[X]$

根据 $L$ 是代数封闭，对任意 $P$ 的根 $x\in L$ ，只需要证明 $x\in \Omega$ ，这等价于证明 $x$ 在 $K$ 上是代数的（定义），考虑域扩张

$K- K(\omega_1,\cdots,\omega_n) - K(\omega_1,\cdots \omega_n,x)$

第一个扩张是代数扩张；第二个扩张是有限扩张。 $^{K(\omega_1,\cdots,\omega_n,x)}/_K$ 是有限扩张，从而是代数扩张。

# 域同态扩张技术引理

引理给定域扩张 $^L/_K$ 以及不可约多项式 $P\in K[X]$ ，令 $Z_P(L)$ 为 $P$ 在 $L$ 中（不同的）根的集合，即
$Z_P(L)=\{P(\alpha)=0:\alpha\in L\}$
那么，有如下一一对应
$Z_P(L)\xrightarrow{1:1}\hom_K\left(K_P,L\right),\quad \alpha\to \mathrm{ev}_\alpha$
特别地
$\left|\hom_K\left(K_P,L\right)\right|\leq \deg P$

Proof

只需要注意到 $\forall \varphi\in \hom_K(K_P,L)$ ，它由 $\varphi(X+(P))$ 唯一完全决定。

Remark

该引理可以给出 $K_P$ 的 $K$ - 自同构个数的控制

$|\mathrm{aut}_K(K_P)|\leq|\hom_K(K_P)|\leq Z_P(K_P)\leq \deg P=[K_P:K]$

给定域同态 $\sigma :K\to L$ ，给定域 $K$ 以及 $P\in K[X]$ ，通过对系数的作用，多项式 $P^\sigma$ 定义为

$P^\sigma(X)=\sum^n_{k=0}\sigma(a_k)X^k,\quad P(X)=\sum^n_{k=0}a_kX^k$

据此得到环同态

$K[X]\to L[X],\quad P\to P^\sigma$

实际上， $P^\sigma\in \sigma(K)[X]\subset L[X]$

上述引理可以重新表述为

$Z_{P^\sigma}(L)\xrightarrow{1:1}\hom_\sigma\left(K_P,L\right)$

其中 $\forall \varphi\in \hom_\sigma(K_P,L)$ ，对于任意的 $k\in K$ 和 $y\in K_P$ 有

$\varphi(k\cdot y)=\sigma(k)\varphi(y)$

实际上，给定域扩张 $^L/_K,{^{L'}/_{K'}}$ ，和域同态 $\sigma:K\to K',\varphi:L\to L'$

$\forall x\in K,\ \varphi (x)=\sigma(x)$

这称 $\varphi$ 为 $\sigma$ - 同态，用 $\hom_\sigma(L,L')$ 表示所有的 $\sigma$ - 同态。

alt text

命题（代数扩张的同态延拓）给定代数扩张 $^L/_K$ ， $E$ 是代数封闭域。对任意的域同态 $\varphi:K\to E$ ，存在域同态 $\bar \varphi:L\to E$ ，使得 $\bar \varphi|_K=\varphi$

抽象代数

# 域的预备知识

# 域

# 域扩张

# 域特征

# Frobenius 域同态

# 域扩张

# 代数扩张

# K - 同态

# 代数元与代数扩张

# 基本概念

# 由代数元生成的子域

# 代数扩张的有关命题

# 代数闭包

# 基本概念

# 代数闭包的存在性

# 域同态扩张技术引理

5.1 代数扩张与代数闭包

4.1环论基本概念