# 常见的域

# 函数域

$K$ 是域， $K[X]$ 是多项式环，则

$$K(X):=\mathrm{Frac}(K[X])=\{\dfrac{P(X)}{Q(X)}:P,Q\in K[X]\}$$

是有理函数域

# 域特征

# 定义

考虑整数域 $Z$ 到 $A$ 的环同态，由 PID 知道这是唯一的

$$\exists ! \varphi: \mathbb Z\to A,\quad n\to n\cdot 1_A$$

对 $\ker \varphi$ 分类

第一种情形 $\ker \varphi=0$

# 域扩张不变性

引理：$^L/_K$ 是域扩张， $K\subset L$ ，那么

$$\mathrm{char}(L)=\mathrm{char }(K)$$

# 素性

性质：

$$\mathrm{char}(K)=p$$

# Frobenius 域同态

定义：如下是一个同态，称为 Frobenius 同态

$$\mathrm{Frob}:K\to K,\quad x\to x^p$$

# 代数扩张

# 域扩张之间的同态

$\varphi:L\to L'$ 是域同态

$\forall x\in K,\varphi(x)=x$

$\hom_K(L,L')$ 是保持 $K$ 不变的域同态

$\mathrm{Aut}_K(L)=\mathrm{Gal}(L/L')$

# 例子

$\mathbb C/\mathbb R$，考虑域同构

$$\varphi:\mathbb C\to \mathbb C,\quad z\to\bar z$$

$\varphi \in \mathrm {Aut}_{\mathbb R}(\mathbb C)$

# 代数元

# 定义

定义：$^L/_K$ 是域扩张， $x\in L$ ，如果存在 $P(X)\in K[X]$，使得

$$P(x)=0$$

则称 $x$ 为 $K$ 上的一个 代数元，称 $x$ 为 代数的

若 $x\in L$，而 $x$ 不是代数，则称 $x$ 为 超越的

显然可以取 $P(x)$ 首一且不可约元，此时它也是唯一的。只需要考虑 Bezout 定理即可。

定义： 如果 $x$ 是代数的，那么存在唯一的首一不可约多项式 $P(x)$，使得

$$P(x)=0$$

称之为 $x$ 的 极小多项式。

定义： $^L/_K$ 是域扩张，如果 $\forall x\in L$ ，$x$ 是代数的，那么称 $^L/_K$ 为 代数扩张。

例 $\pi $ 的超越

# 核心例子

$\ ^L/_K$ 是域扩张，$x\in L$ 为代数元。
考虑域同态

$$^{K[X]}/_{P(X)}\xrightarrow{\simeq}K[x]=K(x)\subset L$$

借助上面的同构，有如下命题。

命题：$\ ^L/_K$ 是域扩张，$x\in L$ 是代数的当且仅当 $\ ^{K(x)}/_K$ 是有限扩张，进一步

$$[K(x):K]=\mathrm{deg}P=d$$

并且

$$1,x,...,x^{d-1}$$

为 $\ ^{K(x)}/_K$ 的一组基。