2024 年抽象代数课程笔记，内容基于讲义和板书。
# 函数域定义： K K K K [ X ] K[X] K [ X ]
K ( X ) : = F r a c ( K [ X ] ) = { P ( X ) Q ( X ) : P , Q ∈ K [ X ] , Q ≠ 0 } K(X):=\mathrm{Frac}(K[X])=\left\{\dfrac{P(X)}{Q(X)}:P,Q\in K[X],Q\neq 0\right\} K ( X ) : = F r a c ( K [ X ] ) = { Q ( X ) P ( X ) : P , Q ∈ K [ X ] , Q = 0 }
是 K K K （一元）函数域 。
定义： 考虑任意域 K K K
ι : Z → K , ι ( n ) = n ⋅ 1 K \iota :\mathbb Z \to K, \iota(n)=n\cdot 1_K ι : Z → K , ι ( n ) = n ⋅ 1 K
这里的 1 K 1_K 1 K K K K ker ι = 0 \ker \iota=0 ker ι = 0 K K K 特征为零 并记作 c h a r ( K ) = 0 \mathrm{char}(K)=0 c h a r ( K ) = 0 p p p ker ι = p Z \ker\iota=p\Z ker ι = p Z
p ⋅ 1 K = 0 p\cdot 1_K=0 p ⋅ 1 K = 0
此时称 K K K 特征为 p p p ，并记作 c h a r ( K ) = p \mathrm{char}(K)=p c h a r ( K ) = p
Example 常见的域 Q , R , C \mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C Q , R , C F p \mathbb F_p F p p p p
F p = Z / p Z : = { 0 ˉ , 1 ˉ , . . . , p − 1 ‾ } \mathbb F_p={^\Z/_{p\Z}}:=\{\bar 0,\bar 1,...,\overline {p-1}\} F p = Z / p Z : = { 0 ˉ , 1 ˉ , . . . , p − 1 }
Q , R , C \mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C Q , R , C F p \mathbb F_p F p p p p
Remark 定义中的 “否则” 是因为整数环的整性和唯一分解性：特征要么是 0 0 0
如果 c h a r ( K ) = 0 \mathrm{char }(K)=0 c h a r ( K ) = 0 ι \iota ι Q \mathbb Q Q
ι ˉ : Q → K , ι ˉ ( m n ) = ι ( m ) ι ( n ) \bar \iota :\mathbb Q\to K,\quad \bar\iota\left(\dfrac{m}n\right)=\dfrac{\iota(m)}{\iota(n)} ι ˉ : Q → K , ι ˉ ( n m ) = ι ( n ) ι ( m )
K K K ι ˉ ( 1 ) = 1 \bar\iota(1)=1 ι ˉ ( 1 ) = 1 Q \mathbb Q Q
如果 c h a r ( K ) = p \mathrm{char}(K)=p c h a r ( K ) = p ι \iota ι
ι ˉ : F p = Z / p Z → K \bar \iota :\mathbb F_p= {^\mathbb Z}/_{p\Z}\to K ι ˉ : F p = Z / p Z → K
K K K F p \mathbb F_p F p
我们称 Q , F p \mathbb Q,\mathbb F_p Q , F p K K K 本原域 。本原域在域扩张下不变，即下面的引理
引理： 给定域扩张 L / K ^L/_K L / K c h a r ( K ) = c h a r ( L ) \mathrm{char}(K)=\mathrm{char}(L) c h a r ( K ) = c h a r ( L )
例子： 域 K K K c h a r ( K ) = p \mathrm{char}(K)=p c h a r ( K ) = p
F r o b : K → K , x → x p \mathrm{Frob}:K\to K,\quad x\to x^p F r o b : K → K , x → x p
那么 F r o b \mathrm{Frob} F r o b
# 代数扩张定义： 给定域扩张 L / K , L ′ / K ^L/_K, {^{L'}}/_K L / K , L ′ / K φ : L → L ′ \varphi:L\to L' φ : L → L ′
φ ∣ K = i d K \varphi|_K=\mathrm{id}_K φ ∣ K = i d K
即 ∀ x ∈ K , φ ( x ) = x \forall x\in K,\varphi(x)=x ∀ x ∈ K , φ ( x ) = x φ \varphi φ K K K
做以下记号：
hom K ( L , L ′ ) \hom_K(L,L') hom K ( L , L ′ ) K K K e n d K ( L ) \mathrm{end}_K(L) e n d K ( L ) L / K ^L/_K L / K K K K a u t K ( L ) \mathrm{aut}_K(L) a u t K ( L ) L / K ^L/_K L / K K K K 定义： 给定域扩张 L / K ^L/_K L / K x ∈ L x\in L x ∈ L K K K P ( X ) ∈ K [ X ] P(X)\in K[X] P ( X ) ∈ K [ X ]
P ( x ) = 0 P(x)=0 P ( x ) = 0
就称 x x x 在 K K K 。此时，存在唯一的次数最低的首一多项式 P ( X ) ∈ K [ X ] P(X)\in K[X] P ( X ) ∈ K [ X ] P ( x ) = 0 P(x)=0 P ( x ) = 0 P ( X ) P(X) P ( X ) x x x K K K 极小多项式 。
否则，即对任意非零 K K K P ( X ) ∈ K [ X ] P(X)\in K[X] P ( X ) ∈ K [ X ]
P ( x ) ≠ 0 P(x)\neq 0 P ( x ) = 0
则称 x x x 在 K K K 。
如果 ∀ x ∈ L \forall x\in L ∀ x ∈ L K K K L / K ^L/_K L / K 代数扩张 。
定义： 给定域扩张 L / K ^L/_K L / K L L L K K K L L L L L L K K K dim K L < ∞ \dim _K L<\infty dim K L < ∞ L L L K K K 有限扩张 。我们称 dim K L \dim_KL dim K L L / K ^L/_K L / K 次数 并记作 [ L : K ] [L:K] [ L : K ] K K K { e i } i ∈ I ⊂ L \{e_i\}_{i\in I}\subset L { e i } i ∈ I ⊂ L L / K ^L/_K L / K
引理： 给定域扩张 L / K ^L/_K L / K x ∈ L x\in L x ∈ L x x x
e v x : K [ X ] ↠ K [ x ] , Q ( X ) → Q ( x ) \mathrm{ev}_x:K[X]\twoheadrightarrow K[x],\quad Q(X)\to Q(x) e v x : K [ X ] ↠ K [ x ] , Q ( X ) → Q ( x )
有自然的同构，即
K [ X ] / ( P ( X ) ) → ≃ K [ x ] ⊂ L ^{K[X]}/_{(P(X))}\xrightarrow{\simeq }K[x]\subset L K [ X ] / ( P ( X ) ) ≃ K [ x ] ⊂ L
则 K [ x ] K[x] K [ x ] L L L 由代数元 x x x 。此外，还有
K [ x ] = K ( x ) K[x]=K(x) K [ x ] = K ( x )
至此有如下域同构的序列
K [ X ] / ( P ( X ) ) → ≃ K [ x ] → ≃ K ( x ) ^{K[X]}/_{(P(X))}\xrightarrow{\simeq}K[x]\xrightarrow{\simeq}K(x) K [ X ] / ( P ( X ) ) ≃ K [ x ] ≃ K ( x )
命题： 给定域扩张 L / K ^L/_K L / K x ∈ L x\in L x ∈ L
K ( x ) / K 代数扩张 ⟺ K ( x ) / K 有限扩张 {^{K(x)}/_K} \text{ 代数扩张 }\iff {^{K(x)}/_K} \text{ 有限扩张 } K ( x ) / K 代数扩张 ⟺ K ( x ) / K 有限扩张
进一步
[ K ( x ) : K ] = d e g P ( X ) [K(x):K]=\mathrm{deg}P(X) [ K ( x ) : K ] = d e g P ( X )
其中，P ( X ) P(X) P ( X ) x x x K ( x ) / K ^{K(x)}/_K K ( x ) / K
1 , x , . . . , x d e g P ( X ) − 1 1,x,...,x^{\mathrm {deg}P(X)-1} 1 , x , . . . , x d e g P ( X ) − 1
推论： 有限扩张是代数扩张。
推论： 给定域扩张 L / K ^L/_K L / K
子集 M ⊂ L M\subset L M ⊂ L K K K K ( M ) / K ^{K(M)}/_K K ( M ) / K M M M K ( M ) / K {K(M)}/_K K ( M ) / K 如下定义 K a l g K^{\mathrm{alg}} K a l g A a l g A^{\mathrm {alg}} A a l g L L L K a l g : = { x ∈ L : x 在 K 上是代数的 } K^{\mathrm{alg}}:=\{x\in L:x\text{ 在 } K \text{ 上是代数的}\} K a l g : = { x ∈ L : x 在 K 上是代数的 }
K a l g / K ^{K^{\mathrm {alg}}}/_K K a l g / K L / K ^L/_K L / K 推论： 给定域扩张 L / K ^L/_K L / K E / K ^E/_K E / K L / K ^L/_K L / K L / E , E / K ^L/_E, {^{E}/_K} L / E , E / K
# 代数闭包命题： K K K P ∈ K [ X ] P\in K[X] P ∈ K [ X ] K P / K ^{K_P}/_K K P / K P P P K P K_P K P
∃ y ∈ K P , P ( y ) = 0 \exists\ y\in K_P,\quad P(y)=0 ∃ y ∈ K P , P ( y ) = 0
常用的有限扩张有
K ↪ K [ X ] → K [ X ] / ( P ) : = K P K\hookrightarrow K[X]\to {^{K[X]}/_{(P)}}:=K_P K ↪ K [ X ] → K [ X ] / ( P ) : = K P
命题： K K K
每个次数至少为 1 1 1 P ∈ K [ X ] P\in K[X] P ∈ K [ X ] K K K K [ X ] K[X] K [ X ] 1 1 1 1 1 1 若 L / K ^L/_K L / K L = K L=K L = K 若 K K K 代数封闭域 。
定义： K K K Ω / K ^\Omega/_K Ω / K Ω \Omega Ω Ω \Omega Ω K K K 代数闭包 。
# 代数闭包的存在性证明域 K K K K K K
引理： K K K P ∈ K [ X ] P\in K[X] P ∈ K [ X ] L / K ^L/_K L / K P P P L L L
P ( X ) = a ( X − α 1 ) ( X − α 2 ) ⋯ ( X − α n ) P(X)=a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)\cdots(X-\alpha_n) P ( X ) = a ( X − α 1 ) ( X − α 2 ) ⋯ ( X − α n )
其中 a ∈ K , α i ∈ L a\in K, \alpha_i\in L a ∈ K , α i ∈ L
引理： K K K L / K ^L/_K L / K 1 1 1 P ∈ K [ X ] P\in K[X] P ∈ K [ X ] P P P L L L
Proof 证明由 Artin 给出。定义由 K K K
A : = K [ X P : P ∈ K [ X ] , deg ( P ) ≥ 1 ] A:=K[X_P:P\in K[X],\deg(P)\geq 1] A : = K [ X P : P ∈ K [ X ] , deg ( P ) ≥ 1 ]
令 J \mathfrak J J P ( X P ) P(X_P) P ( X P )
J = ( P ( X P ) : P ∈ K [ X ] , deg ( P ) ≥ 1 ) \mathfrak J=\left(P(X_P):P\in K[X],\deg(P)\geq 1\right) J = ( P ( X P ) : P ∈ K [ X ] , deg ( P ) ≥ 1 )
再补充说明 J ≠ A \mathfrak J\neq A J = A m ⊃ J \mathfrak m\supset \mathfrak J m ⊃ J
L : = A / m L:={^A/_{\mathfrak m}} L : = A / m
通过前一个引理可以说明 L / K ^L/_K L / K
Remark 上述证明不能保证扩张是代数扩张。给定域 K K K L = A / m L={^A/_{\mathfrak m}} L = A / m E ( K ) E(K) E ( K )
E k + 1 ( K ) = E ( E k ( K ) ) E^{k+1}(K)=E(E^k(K)) E k + 1 ( K ) = E ( E k ( K ) )
容易证明 E ∞ ( K ) : = ⋃ k ≥ 1 E k ( K ) E^{\infty}(K):=\displaystyle\bigcup_{k\geq 1}E^k(K) E ∞ ( K ) : = k ≥ 1 ⋃ E k ( K )
引理： 给定域扩张 L / K ^L/_K L / K L L L
Ω = { x ∈ L : x 在 K 上是代数的 } = K a l g \Omega=\{x\in L:x \text{ 在 } K\text{ 上是代数的}\}=K^{\mathrm{alg}} Ω = { x ∈ L : x 在 K 上是代数的 } = K a l g
是 K K K
# 域同态扩张技术引理引理： 给定域扩张 L / K ^L/_K L / K P ∈ K [ X ] P\in K[X] P ∈ K [ X ] Z P ( L ) Z_P(L) Z P ( L ) P P P L L L
Z P ( L ) = { P ( α ) = 0 : α ∈ L } Z_P(L)=\{P(\alpha)=0:\alpha\in L\} Z P ( L ) = { P ( α ) = 0 : α ∈ L }
那么，有如下一一对应
Z P ( L ) → 1 : 1 hom K ( K P , L ) , α → e v α Z_P(L)\xrightarrow{1:1}\hom_K\left(K_P,L\right),\quad \alpha\to \mathrm{ev}_\alpha Z P ( L ) 1 : 1 hom K ( K P , L ) , α → e v α
特别地
∣ hom K ( K P , L ) ∣ ≤ deg P \left|\hom_K\left(K_P,L\right)\right|\leq \deg P ∣ hom K ( K P , L ) ∣ ≤ deg P
Remark 该引理可以给出 K P K_P K P K K K
∣ a u t K ( K P ) ∣ ≤ ∣ hom K ( K P ) ∣ ≤ Z P ( K P ) ≤ deg P = [ K P : K ] |\mathrm{aut}_K(K_P)|\leq|\hom_K(K_P)|\leq Z_P(K_P)\leq \deg P=[K_P:K] ∣ a u t K ( K P ) ∣ ≤ ∣ hom K ( K P ) ∣ ≤ Z P ( K P ) ≤ deg P = [ K P : K ]
此外给出多项式系数的扩张。给定域同态 σ : K → L \sigma :K\to L σ : K → L K K K P ∈ K [ X ] P\in K[X] P ∈ K [ X ] P σ P^\sigma P σ
P σ ( X ) = ∑ k = 0 n σ ( a k ) X k , P ( X ) = ∑ k = 0 n a k X k P^\sigma(X)=\sum^n_{k=0}\sigma(a_k)X^k,\quad P(X)=\sum^n_{k=0}a_kX^k P σ ( X ) = k = 0 ∑ n σ ( a k ) X k , P ( X ) = k = 0 ∑ n a k X k
据此得到环同态
K [ X ] → L [ X ] , P → P σ K[X]\to L[X],\quad P\to P^\sigma K [ X ] → L [ X ] , P → P σ
实际上，P σ ∈ σ ( K ) [ X ] ⊂ L [ X ] P^\sigma\in \sigma(K)[X]\subset L[X] P σ ∈ σ ( K ) [ X ] ⊂ L [ X ]
上述引理可以重新表述为
Z P σ ( L ) → 1 : 1 hom σ ( K P , L ) Z_{P^\sigma}(L)\xrightarrow{1:1}\hom_\sigma\left(K_P,L\right) Z P σ ( L ) 1 : 1 hom σ ( K P , L )
其中 ∀ φ ∈ hom σ ( K P , L ) \forall \varphi\in \hom_\sigma(K_P,L) ∀ φ ∈ hom σ ( K P , L ) k ∈ K k\in K k ∈ K y ∈ K P y\in K_P y ∈ K P
φ ( k ⋅ y ) = σ ( k ) φ ( y ) \varphi(k\cdot y)=\sigma(k)\varphi(y) φ ( k ⋅ y ) = σ ( k ) φ ( y )
实际上，给定域扩张 L / K , L ′ / K ′ ^L/_K,{^{L'}/_{K'}} L / K , L ′ / K ′ σ : K → K ′ , φ : L → L ′ \sigma:K\to K',\varphi:L\to L' σ : K → K ′ , φ : L → L ′
∀ x ∈ K , φ ( x ) = σ ( x ) \forall x\in K,\ \varphi (x)=\sigma(x) ∀ x ∈ K , φ ( x ) = σ ( x )
这称 φ \varphi φ σ \sigma σ hom σ ( L , L ′ ) \hom_\sigma(L,L') hom σ ( L , L ′ ) σ \sigma σ
命题： （代数扩张的同态延拓）给定代数扩张 L / K ^L/_K L / K E E E φ : K → E \varphi:K\to E φ : K → E φ ˉ : L → E \bar \varphi:L\to E φ ˉ : L → E φ ˉ ∣ K = φ \bar \varphi|_K=\varphi φ ˉ ∣ K = φ
Proof 考虑 Zorn 引理，构造集合
X : = { ( F , ϕ ) : F 是 L / K 的中间域， ϕ : F → E 是域同态并且 ϕ ∣ K = φ } \mathfrak X:=\{(F,\phi):F\text{ 是 } {^L/_K}\text{ 的中间域，}\phi:F\to E\text{ 是域同态并且 }\phi|_K=\varphi\} X : = { ( F , ϕ ) : F 是 L / K 的中间域， ϕ : F → E 是域同态并且 ϕ ∣ K = φ }
证明极大元 ( F , ϕ ) = ( L , ϕ ) (F,\phi)=(L,\phi) ( F , ϕ ) = ( L , ϕ )
# 代数闭包的唯一性引理： L / K ^L/_K L / K e n d K ( L ) = a u t K ( L ) \mathrm{end}_K(L)=\mathrm{aut}_K(L) e n d K ( L ) = a u t K ( L ) K K K
Proof 限制在多项式上，域同态将多项式的根映到多项式的根。
定理： 对任意域 K K K K K K K K K K ‾ \overline K K
例子： 对于域扩张 C / Q ^{\mathbb C}/_{\mathbb Q} C / Q Q ‾ \overline {\mathbb Q} Q C \mathbb C C
Q ‾ = { z ∈ C : ∃ P ∈ Q [ X ] , P ( z ) = 0 } \overline {\mathbb Q}=\{z\in\mathbb C:\exists P\in \mathbb Q[X], \ P(z)=0\} Q = { z ∈ C : ∃ P ∈ Q [ X ] , P ( z ) = 0 }
