首页 Abstract Algebra

2024 年抽象代数课程笔记，内容基于讲义和板书。
参考（抄书）资料是 2024 年 于品老师群与 Galois 理论讲义。

# 分裂域与正规扩张

定义：（分裂域的定义） KK 是域，{Pi(X)}i∈I\{P_i(X)\}_{i\in I} 是 K[X]K[X] 中一族多项式，L/K^L/_K 是域扩张。如果

  1. 所有多项式 {Pi(X)}i∈I\{P_i(X)\}_{i\in I} 在 LL 中分裂，即 ∀i∈I\forall i\in I，存在 αi,j\alpha_{i,j} 以及 ai∈Ka_i\in K，使得

Pi(X)=ai(X−αi,1)(X−αi,2)⋯(X−αi,ni)P_i(X)=a_i(X-\alpha_{i,1})(X-\alpha_{i,2})\cdots (X-\alpha_{i,n_i})

  1. L=K({αi,j}i∈I,j≤ni)L=K(\{\alpha_{i,j}\}_{i\in I,j\leq n_i})

则称 LL 是 KK 的（由 {Pi}i∈I\{P_i\}_{i\in I} 给出的）一个 分裂域。

Remark
  1. 分裂域 L/K^L/_K 是 KK 的代数扩张。
  2. 不同的多项式给出不同的分裂域，在 K‾\overline K 中考虑，只要且只能把 {Pi(X)}i∈I\{P_i(X)\}_{i\in I} 的根都添加到 KK 中就可以得到一个分裂域 K({αi,j}i∈I,j≤ni)K(\{\alpha_{i,j}\}_{i\in I,j\leq n_i})。
  3. 分裂域的定义不要求多项式族的指标集是有限集。如果是有限集，那么分裂 L/K^L/_K 是有限扩张。

命题：（分裂域的下降、唯一性） KK 是域，{Pi(X)}i∈I\{P_i(X)\}_{i\in I} 是 K[X]K[X] 中一族多项式，LL 和 L′L' 均为 KK 的由 {Pi}i∈I\{P_i\}_{i\in I} 定义的分裂域，并且 L′L' 在某个代数封闭域 Ω\Omega 中。那么

hom⁡K(L,Ω)⊂hom⁡K(L,L′)\hom_K(L,\Omega)\subset \hom_K(L,L')

alt text
特别地，分裂域在 KK - 同构意义下唯一。

定理：（正规性的定义） 给定代数扩张 L/K^L/_K，下面叙述等价：

  1. LL 是 K[X]K[X] 中一族多项式 {Pi}i∈I\{P_i\}_{i\in I} 的分裂域；
  2. 对任意域扩张 Ω/L^\Omega/_L，其中 Ω\Omega 是代数封闭域，成立 hom⁡K(L,Ω)⊂endK(L)\hom_K(L,\Omega)\subset \mathrm{end}_K(L)

alt text

  1. 存在某个域扩张 Ω/L^\Omega/_L，其中 Ω\Omega 是代数封闭域，成立 hom⁡K(L,Ω)⊂endK(L)\hom_K(L,\Omega)\subset \mathrm{end}_K(L)
  2. 对任意不可约多项式 P∈K[X]P\in K[X]，若 P(X)P(X) 在 LL 中有根，则 PP 在 L[X]L[X] 中分裂。

满足以上条件的代数扩张 L/K^L/_K 被称为 正规扩张

Remark

正规扩张是代数扩张。

Proof

2)⟹4)2)\implies 4) ：给定 α∈L\alpha\in L 为 PP 的根，考虑 PP 的另外一个根，β∈Ω⊃L\beta \in\Omega \supset L，只需要证明 β∈L\beta \in L。注意到在 Ω\Omega 中

K(α)≃KP≃K(β)K(\alpha)\simeq K_P\simeq K(\beta)

3)⟹2)3)\implies 2) ：Ω\Omega 由 3)3) 给定，考虑另一个代数封闭 Ω′\Omega'，以及 φ′∈hom⁡K(L,Ω′)\varphi'\in \hom_K(L,\Omega')，有下图，我们想证明虚线成立

alt text

其中的中间域 Ωa′:=Kalg≃K‾=L‾\Omega'_a:=K^{\mathrm {alg}}\simeq \overline K=\overline L。类似地，构造

K−L−Ωa−ΩK-L-\Omega_a-\Omega

证明 φ‾′:Ωa→Ωa′\overline \varphi':\Omega_a\to \Omega_a' 是 LL - 同构，进而 φ′:L→Ωa′(∼Ωa⊂Ω)\varphi': L\to \Omega_a'(\sim \Omega_a\subset \Omega)，所以 θ∘φ′:L→L\theta \circ\varphi':L\to L 是域同构，在差一个 LL 上的同构的意义下。

例子： L/K^L/_K 是域扩张并且 [L:K]=2[L:K]=2，那么，L/K^L/_K 是正规扩张。

命题： L/K^L/_K 是正规扩张，那么对任意的中间域 MM，L/M^L/_M 也是正规扩张。

Remark
  1. M/K^M/_K 未必是正规的。考虑

Q−Q(24)−Q(24,i)\mathbb Q-\mathbb Q(\sqrt[4]2)-\mathbb Q(\sqrt[4]2,i)

  1. 如果 L/M,M/K^L/_M,{^M/_K} 是正规的，L/K^L/_K 未必是正规的。考虑

Q−Q(2)−Q(24)\mathbb Q-\mathbb Q(\sqrt 2)-\mathbb Q(\sqrt [4]2)

例子： K=Q(2i,24(1−i))K=\mathbb Q(\sqrt 2i,\sqrt[4]2(1-i))，K/Q^K/_{\mathbb Q} 不是正规扩张。

Proof

考虑 Q\mathbb Q 的关于 X4−8X^4-8 的正规扩张 L⊃KL\supset K，证明 [L:Q]>[K:Q][L:\mathbb Q]>[K:\mathbb Q]

定义： LL 是域，K1,K2K_1,K_2 是其子域，记 K1⋅K2:=K1(K2)=K2(K1)K_1\cdot K_2:=K_1(K_2)=K_2(K_1) 并称之为 K1K_1 和 K2K_2 在 LL 中的 复合域。

命题： 给定域扩张 E/K^E/_K，L1,L2L_1,L_2 是中间域。若 L1/K,L2/K^{L_1}/_K,{^{L_2}/_K} 是正规扩张，则 L1⋅L2/K^{L_1\cdot L_2}/_K 是正规扩张。

alt text

命题： 给定域扩张 L/K^L/_K 以及其一族中间域 {Mi}i∈I\{M_i\}_{i\in I}。如果对每个 i∈Ii\in I，Mi/K^{M_i}/_K 为正规扩张，则 ⋃i∈IMi\bigcup_{i\in I} M_i 也是 KK 的正规扩张。

定理： L/K^L/_K 是代数扩张，Ω\Omega 是代数封闭域并且 Ω⊃L\Omega\supset L。那么，在 Ω\Omega 中存在最小的、包含 LL 的、KK 的正规扩张 NN。另外，如果 Ω′\Omega' 是另一个代数封闭域并且 Ω′⊃L\Omega'\supset L，N′N' 类似构造，那么有 KK - 同构 N≃N′N\simeq N'

在同构的意义下，称 NN 为 L/K^L/_K 的 正规闭包。

Proof

只证明唯一性。考虑

alt text

其中，φ\varphi 由 Ωa−L−Ω′\Omega_a-L-\Omega' 的代数扩张同态延拓给出。后面利用 N′,NN',N 的最小性。

Remark

由于 L/K^L/_K 是代数的，所以 LL 是 KK 添加上 KK - 系数多项式 {Pi}\{P_i\} 的某些根得到的。为了得到正规闭包 NN，我们需要把 {Pi}\{P_i\} 的所有根都添加到 KK 中。

# 可分扩张

定义 4.2.3.1 KK 是域，P∈K[X]P\in K[X] 是 KK - 系数多项式。给出对于不同对象的可分性的定义：

  1. 如果 PP 在 K‾\overline K 中没有重根，就称 PP 是 可分的；否则称之为 不可分的。
  2. L/K^L/_K 是代数扩张，对于 x∈Lx\in L，如果其在 KK 中的极小多项式是可分的，就称 xx 是 可分的；否则称之为 不可分的。
  3. 如果每个 x∈Lx\in L 均可分，则称代数扩张 L/K^L/_K 是 可分的；否则称之为 不可分的。

命题：（多项式的可分性） 以下三条叙述等价

  1. 多项式 PP 可分
  2. Res(P,P′):=Disc(P)≠0\mathrm{Res}(P,P'):=\mathrm{Disc}(P)\neq 0
  3. (P,P′)=1(P,P')=1

特别地，如果 P∈K[X]P\in K[X] 是不可约多项式，则 PP 可分等价于 P′≠0P'\neq 0。

例子：（不可分的不可约多项式）假设 P∈K[X]P\in K[X] 是不可约多项式，如果它是不可分的，那么

char(K)=p∣deg⁡(P)\mathrm{char}(K)=p\mid \deg(P)

其中 pp 是素数。同时

P(X)=∑p∣kakXk=Q(Xp)P(X)=\sum_{p\mid k}a_kX^k=Q(X^p)

其中 Q(X)Q(X) 不可约

Q(X):=∑p∣kakXkpQ(X):=\sum_{p\mid k}a_kX^{\tfrac kp}

Remark
  1. 特别地，如果 PP 不可约且不可分，则

deg⁡P≥p\deg P\geq p

  1. 当 char(K)=0\mathrm{char}(K)=0 时，不可约多项式都是可分多项式。特别地，此时任意的代数扩张 L/K^L/_K 均为可分扩张。所以不可分的不可约多项式只能在有限域中出现。
  2. 当 char(K)=p\mathrm{char}(K)=p 时，形如 Q(Xp)Q(X^p) 的多项式的导数为 00。

例子： 令 K=Fp(T)=Frac(Fp[T])K=\mathbb F_p(T)=\mathrm{Frac}(\mathbb F_p[T])。利用 Eisenstein 判别法，多项式

P(X)=Xp2+TXp+TP(X)=X^{p^2}+TX^p+T

在 Fp[T][X]\mathbb F_p[T][X] 中不可约。根据 Gauss 引理，P(X)P(X) 在 K[X]K[X] 中也不可约。此时，P(X)=Q(Xp)P(X)=Q(X^p)，其中

Q(X)=Xp+TX+TQ(X)=X^p+TX+T

并且 Q′(X)≠0Q'(X)\neq 0。这说明 QQ 是可分多项式。

+++

# 完美域

定义： KK 是域，若每个不可约多项式 P(X)∈K[X]P(X)\in K[X] 均可分，则称 KK 是 完美的。

Remark
  1. 特征为 00 的域都是完美域。
  2. 如果 KK 是完美的，L/K^L/_K 是代数扩张，那么 L/K^L/_K 是可分扩张。

下面讨论的特殊情况都是在有限域上。

定义： 当 char(K)=p\mathrm{char}(K)=p 时，定义 Frobenius 同态：

Frob:K→K,x→xp\mathrm{Frob}: K\to K,\ x\to x^p

特别地，∀x,y∈K\forall x,y\in K

(x+y)p=xp+yp(x+y)^p=x^p+y^p

引理： 若 char(K)=p\mathrm{char}(K)=p，记 Kp:={ap:a∈K}K^p:=\{a^p:a\in K\}。给定多项式

P(X)=Xp−aP(X)=X^p-a

它在 K‾\overline K 中只有 11 个根（pp - 重），所以 PP 是不可分的。

  1. 对任意的 a∈K−Kpa\in K-K^p，PP 在 K[X]K[X] 中不可约。
  2. 对任意的 a∈Kpa\in K^p，PP 在 K[X]K[X] 中可约。
Proof

只证明 1) 不可约。如果 PP 可约，那么设有分解 P=P1⋅P2P=P_1\cdot P_2，其中 Pi∈K[X]P_i\in K[X]。上述在 K‾[X]\overline K[X] 中的分解给出

Xp−a=(X−b)k⋅(X−b)l:=P1(X)⋅P2(X)X^p-a=(X-b)^{k}\cdot (X-b)^l:=P_1(X)\cdot P_2(X)

推出 k,l≠1k,l\neq 1，这推出 P1,P2P_1,P_2 都有重根，不可分。
所以 deg⁡(P)≥2p\deg(P)\geq 2p 矛盾！

引理： 若 char(K)=p\mathrm{char}(K)=p，P∈K[X]P\in K[X] 且 deg⁡(P)≥2\deg(P)\geq2，PP 不可约。若 PP 在 K‾\overline K 中只有一个根，则

P(X)=Xpn−a,a∉Im(Frob)=KpP(X)=X^{p^n}-a,\ a\notin \mathrm{Im}(\mathrm{Frob})=K^p

Proof

在 K‾\overline K 中，我们可以分解 PP

P(X)=Q(Xpn),Q(X):=(X−bpn)lP(X)=Q(X^{p^n}),\quad Q(X):=(X-b^{p^n})^l

我们知道 PP 在 K‾\overline K 中只有一个根，所以 QQ 也只有一个根。讨论 QQ 的不可约性。推出

P(X)=Xpn−bpn=Xpn−aP(X)=X^{p^n}-b^{p^n}=X^{p^n}-a

显然 a∉Im(Frob)a\notin \mathrm{Im}(\mathrm{Frob}).

命题： 若 char(K)=p\mathrm{char}(K)=p，那么

K是完美的⟺Frob:K→K是满射K\text{ 是完美的}\iff \mathrm{Frob}:K\to K\text{ 是满射}

Proof

只证明充分性，如果 Frob\mathrm{Frob} 是满射，那么如果 P∈K[X]P\in K[X] 不可分，则推出可约的矛盾

P(X)=∑p∣mamXm=(∑p∣mbmXmp)pP(X)=\sum_{p\mid m}a_mX^m=\left(\sum_{p\mid m} b_mX^{\tfrac mp}\right)^p

例子： Fp(T)=Frac(Fp[T])\mathbb F_p(T)=\mathrm{Frac}(\mathbb F_p[T]) 不是完美域。

# 可分次数

定义 4.2.5.1 对任意的代数扩张 L/K^L/_K，任意选定域同态 φ:K→E\varphi:K\to E，其中 EE 是代数封闭域。定义 L/K^L/_K 的 可分次数 为

[L:K]s:=∣ExtL/K(E,φ)∣[L:K]_s:=|\mathrm{Ext}_{^L/_K}(E,\varphi)|

Remark
  1. 可分次数用来刻画代数扩张是否可分。
  2. 给定代数扩张 L/K^L/_K，任选域同态 φ:K→E\varphi:K\to E，其中，EE 是代数封闭域。令

ExtL/K(E,φ):={ψ∈hom⁡(L,E):ψ∣K=φ}\mathrm{Ext}_{^L/_K}(E,\varphi):=\{\psi\in \hom(L,E):\psi|_K=\varphi\}

这是 φ\varphi 到 LL 上所有可能得扩张构成的集合。

alt text

而考虑另一个域同态 φ′:K→E′\varphi':K\to E'，其中 E′E' 也是代数封闭域。我们能得到集合之间的双射

ExtL/K(E,φ)→1:1ExtL/K(E′,φ′)\mathrm{Ext}_{^L/_K}(E,\varphi)\xrightarrow{1:1}\mathrm{Ext}_{^L/_K}(E',\varphi')

实际上，通过选取 φ(K)\varphi(K) 在 EE 中的代数闭包 φ(K)‾\overline{\varphi(K)}，由于 ψ(L)⊂φ(K)‾\psi(L)\subset \overline{\varphi(K)}，我们不妨假设 E=φ(K)‾E=\overline{\varphi(K)}；类似地，不妨设 E′=φ′(K)‾E'=\overline{\varphi'(K)}。根据代数闭包的唯一性，存在 KK - 同构 σ:E→E′\sigma: E\to E'，使得 ψ′=ψ∘σ\psi'=\psi \circ \sigma

alt text

所以可以构造双射

ExtL/K(E,φ)→1:1ExtL/K(E′,φ′),φ‾→σ∘φ‾\mathrm{Ext}_{^L/_K}(E,\varphi)\xrightarrow{1:1}\mathrm{Ext}_{^L/_K}(E',\varphi'),\quad \overline \varphi\to \sigma\circ\overline\varphi

特别地， ∣ExtL/K(E,φ)∣|\mathrm{Ext}_{^L/_K}(E,\varphi)| 只依赖于 L/K^L/_K，这说明是良定义的，与任意取的域同态和代数封闭域无关。

  1. 如果选取 E=K‾E=\overline K，[L:K]s[L:K]_s 就是把 LL 嵌入到 K‾\overline K 的同态个数。

例子： [C,R]s=2[\mathbb C,\mathbb R]_s=2.

例子： K=QK=\mathbb Q，L=Q[X]/(X3−2)L={^{\mathbb Q[X]}/_{(X^3-2)}}。此时，L/Q^L/_{\mathbb Q} 是 33 次扩张并且 [L:K]s=3[L:K]_s=3。

Proof

考虑域（环）同态定理

alt text

例子： L=Fp(T)=Frac(Fp[T])L=\mathbb F_p(T)=\mathrm{Frac}(\mathbb F_p[T])，K=Fp(Tp)=Lp=Frob(L)K=\mathbb F_p(T^p)=L^p=\mathrm{Frob}(L)。此时 KK 是 LL 的子域并且 [L:K]=p[L:K]=p。同时 L/K^L/_K 是纯不可分扩张。

命题： 给定代数扩张 L/K^L/_K 和中间域 MM

[L:K]s<∞⟺[L:M]s+[M:K]s<∞[L:K]_s<\infty\iff [L:M]_s+[M:K]_s<\infty

进一步，成立公式

[L:K]s=[L:M]s[M:K]s[L:K]_s=[L:M]_s[M:K]_s

命题：（纯不可分的刻画） L/K^L/_K 是代数扩张，对 x∈Lx\in L，若 [K(x):K]s=1[K(x):K]_s=1，即 K‾(x)/K^{\overline K(x)}/_K 到 K‾\overline K 只有唯一的 KK - 同态，就称 xx 是 纯不可分的。若每个 x∈Lx\in L 均为纯不可分的，就称 L/K^L/_K 是 纯不可分的。那么

L/K纯不可分⟺[L:K]s=1^L/_K\text{ 纯不可分 }\iff [L:K]_s=1

推论： 给定代数扩张 L/K^L/_K 和中间域 MM。那么

[L:K]s=1⟺[L:M]s=[M:K]s=1[L:K]_s=1\iff [L:M]_s=[M:K]_s=1

命题： 给定代数扩张 L/K^L/_K 和中间域 MM，那么

L/M正规,M/K纯不可分⟹L/K正规^L/_M\text{ 正规 }, {^M/_K}\text{ 纯不可分 }\implies {^L/_K}\text{ 正规}

推论： 纯不可分扩张是正规扩张。

命题： L/K^L/_K 是代数扩张，M⊂LM\subset L 是子集并且 MM 中的元素均为纯不可分的，那么 K(M)/K^{K(M)}/_K 是纯不可分的。

# 单扩张

定义： 给定域扩张 L/K^L/_K，如果存在 x∈Lx\in L，使得 L=K(x)L=K(x)。称 L/K^L/_K 是 单扩张，并称 xx 是一个 本原元素。

命题： L/K^L/_K 是有限扩张。那么

L/K单扩张⟺L/K只有有限个中间域^L/_K \text{ 单扩张 }\iff {^L/_K}\text{ 只有有限个中间域}

Proof

有限域情形考虑：L×L^\times 是循环群。

无限域情形考虑：Dirichlet 原理；在单扩张 L=K(x)L=K(x) 下，中间域 MM 完全由其上关于 xx 的极小多项式的系数决定：

PM=Xm+am−1Xm−1+⋯+a1X+a0,ai∈MP_M=X^m+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_1X+a_0,\ a_i\in M

容易得到下面的结果

  1. K(a0,...,am)⊂MK(a_0,...,a_m)\subset M
  2. [K(x):K(a0,...,am−1)]≥[L:M][K(x):K(a_0,...,a_{m-1})]\geq [L:M]
  3. [K(x):K(a0,...,am−1)]≤deg⁡(PM)=[L:M][K(x):K(a_0,...,a_{m-1})]\leq \deg(P_M)=[L:M]

推论：（本原元素定理） 有限可分扩张是单扩张。

Proof

可分扩张 L/K^L/_K 有 ∣ExtL/K(E,φ)∣<∞|\mathrm{Ext}_{^L/_K}(E,\varphi)|<\infty，所以取 P\mathcal P 为 hom⁡K(L,K‾)\hom_K(L,\overline K) 的子集组成的集合，取 M\mathcal M 为 L/K^L/_K 的中间域组成的集合。只需要证明单射：

Φ:M→P,M→hom⁡M(L,K‾)\Phi:\mathcal M\to \mathcal P, \quad M\to \hom_M(L,\overline K)

例子： 若 char(K)=p\mathrm{char}(K)=p，域扩张 K(X,Y)/K(Xp,Yp)^{K(X,Y)}/_{K(X^p,Y^p)} 是纯不可分的，同时也不是单扩张。（这说明可分性在本原元素定理中是必要的。）

Proof

考虑一系列中间域

Mn:=K(Xp,Yp,X+Ypn+1),n=1,2,...M_n:=K(X^p,Y^p,X+Y^{pn+1}),\ n=1,2,...

证明以下结果，即可说明中间域有无限个

M=K(Xp,Yp,X+Ypn+1,X+Ypm+1)=K(X,Y)M=K(X^p,Y^p,X+Y^{pn+1},X+Y^{pm+1})=K(X,Y)

当然，用单扩张的定义也可以证明。

# 迹与范数映射

定义： 对于有限扩张 L/K^L/_K，对于任意的 x∈Lx\in L，考虑乘法映射：

mx:L→L,y→x⋅ym_x:L\to L,\ y\to x\cdot y

这是 KK - 线性空间 LL 上的 KK - 线性映射，定义它的 迹、行列式和特征多项式：

TrL/K(x)=Tr(mx),NL/K(x)=det⁡(mx),PL/K,x(X)=det⁡(X⋅I−mx)\mathrm{Tr}_{^L/_K}(x)=\mathrm{Tr}(m_x),\ \mathrm N_{^L/_K}(x)=\det (m_x),\ P_{^L/_K,x}(X)=\det(X\cdot I-m_x)

Remark

xx 为 mxm_x 在域 LL 上的特征值（x⋅1=xx\cdot 1=x），从而 PL/K,x(x)=0P_{^L/_K,x}(x)=0

命题： x∈Lx\in L，令 P(X)P(X) 是 xx 在 KK 上的极小多项式，那么

PL/K,x(X)=P(X)[L:K(x)]P_{^L/_K,x}(X)=P(X)^{[L:K(x)]}

Proof

选取 e1,...,eme_1,...,e_m 为 K(x)/K^{K(x)}/_K 的基， f1,...fnf_1,...f_n 为 L/K(x)^L/_{K(x)} 的基。那么，{eifj}\{e_if_j\} 是 L/K^L/_K 的基。考虑 mx:K(x)→K(x)m_x:K(x)\to K(x) 的矩阵表示 MM，有 det⁡(X⋅I−M)=P(X)\det(X\cdot I-M)=P(X)。至此，在 LL 上，由 fif_i 划分为 nn 个子空间，mxm_x 的矩阵表示可以写成

[MM⋱M]\begin{bmatrix}M\\&M\\&&\ddots \\&&&M\end{bmatrix}

共计 n=[L:K(x)]n=[L:K(x)] 个分块。

命题： 以下映射为群同态

TrL/K:(L,+)→(K,+)\mathrm{Tr}_{^L/_K}:(L,+)\to (K,+)

NL/K:(L×,⋅)→(K×,⋅)\mathrm N_{^L/_K}:(L^\times,\cdot )\to (K^\times ,\cdot)

如果 M⊂LM\subset L 是中间域，那么

TrL/M∘TrM/K=TrL/K\mathrm {Tr}_{^L/_M}\circ \mathrm{Tr}_{^M/_K}=\mathrm{Tr}_{^L/_K}

NL/M∘NM/K=NL/K\mathrm N_{^L/_M}\circ \mathrm N_{^M/_K}=\mathrm N_{^L/_K}

定理： L/K^L/_K 是有限可分扩张，E/K^E/_K 为域扩张并且 ∣hom⁡K(L,E)∣=∣L:K∣|\hom_K(L,E)|=|L:K|。那么，对任意的 x∈Lx\in L

TrL/K(x)=∑σ∈hom⁡K(L,E)σ(x)\mathrm {Tr}_{^L/_K}(x)=\sum_{\sigma \in \hom_K(L,E)}\sigma(x)

NL/K(x)=∏σ∈hom⁡K(L,E)σ(x)\mathrm N_{^L/_K}(x)=\prod _{\sigma \in \hom_K(L,E)}\sigma(x)

PL/K,x(X)=∏σ∈hom⁡K(L,E)(X−σ(x))P_{^L/_K,x}(X)=\prod _{\sigma\in \hom_K(L,E)}(X-\sigma (x))

定理：（迹与可分性）L/K^L/_K 是有限扩张。那么 L/K^L/_K 是可分的等价于二次型非退化

L×L→K,(x,y)→TrL/K(x⋅y)L\times L\to K,\ (x,y)\to \mathrm{Tr}_{^L/_K}(x\cdot y)