# Galois 对应

定义 给定正规扩张 $^L/_K$，记 $\mathrm{Gal}({^L/_K})=\mathrm{aut}_K(L)$ 并称之为 $^L/_K$ 的 Galois 群。如果域扩张 $^L/_K$ 是正规的也是可分的，就称 $^L/_K$ 是 Galois 扩张。对任意的子群 $H<\mathrm{Gal}(^L/_K)$，定义

$$L^H:=\{x\in L:g(x)=x,\forall g\in H\}$$

引理 $^L/_K$ 是有限正规扩张，则

$$[L:K]_s=|\mathrm{Gal}(^L/_K)|$$

特别地，若 $^L/_K$ 是 Galois 扩张，那么

$$[L:K]=|\mathrm{Gal}(^L/_K)|$$

命题 $^L/_K$ 是正规扩张，$G=\mathrm{Gal}({^L/_K})$。那么 $^{L^G}/_K$ 是纯不可分的， $^L/_{L^G}$ 是 Galois 扩张并且

$$\mathrm{Gal}(^L/_{L^G})=G$$

进一步，有 $\overline L^s\cdot L^G=L$，$\overline L^s\cap L^G=K$

定理（Galois 对应定理）$^L/_K$ 是有限 Galois 扩张，定义中间域的集合和子群的集合：

$$\mathcal M=\{K\subset M\subset L:M\text{ 是中间域}\}$$

$$\mathcal S=\{H<\mathrm{Gal}({^L/_K})\text{ 是子群}\}$$

并用包含关系作为 $\mathcal M$ 和 $\mathcal S$ 上的偏序。那么，有如下反转偏序关系的 Galois 对应（以下映射互为逆）

$$\mathcal M\xrightarrow{1:1} S,\quad M\to \mathrm {Gal}(^L/_M),\ \ L^H\leftarrow H$$

进一步，扩张 $^M/_K$ 是正规扩张当且仅当 $\mathrm{Gal}({^L/_M})\triangleleft \mathrm{Gal}({^L/_K})$ 是正规子群，在此情形下

$$\mathrm {Gal}({^M/_K})={^{\mathrm{Gal}({^L/_K})}/_{\mathrm{Gal}({^L/_M})}}$$

命题 如果 $^L/_K$ 是有限正规扩张，则

$$[L:L^G]=[L:K]_s=\mathrm{Gal}({^L/_{K}}),\quad [L^G:K]=\dfrac{[L:K]}{[L:K]_s}={^L/_K}\text{ 的不可分次数}$$

命题（Galois 下降）给定有限维 Galois 扩张 $^L/_K$ 和 $n$ - 维 $L$ - 线性空间 $L^n$，其中 $e_1,...,e_n$ 是标准基。对任意的 $x\in (x_1,...,x_n)\in L^n$ 和 $\sigma\in\mathrm {Gal}({^L/_K})$，定义

$$\sigma(x)=(\sigma(x_1),\sigma(x_2),...,\sigma(x_n))$$

假设 $V\subset L^n$ 是 $V$ 的 $d$ - 维 $L$ - 线性子空间并且在 $\mathrm {Gal}({^L/_K})$ 作用下不变。那么，存在 $V$ 的基 $v_1=(v_{11},...,v_{1n}),...,v_d$，使得 $v_{ij}\in K$。

# Galois 群在根上的作用

定理 $K$ 是域，$P\in K[X]$ 为可分的多项式，$L$ 是 $P$ 的分裂域。那么 $\mathrm{Gal}({^L/_K})$ 在根的集合上的作用 $\mathrm Z_P(L)$ 是忠实的

$$1\to \mathrm{Gal}({^L/_K})\to\mathfrak S_{\mathrm Z_P(L)}$$

这个作用是传递的当且仅当 $P$ 是不可约多项式。