# 滤链

定义： $G$ 是群，假设 $G$ 的子群序列 $(G_i)_{0\leq i\leq n}$ 满足

$$1=G_n\triangleleft G_{n-1}\triangleleft\cdots \triangleleft G_1\triangleleft G_0=G$$

就称该子群序列为 $G$ 的一个 滤链。给定滤链，将商群序列

$$\left(\mathrm{gr}_i(G):={^{G_i}/_{G_{i+1}}}\right)_{i\leq n-1}$$

称作是该滤链的 分次化，并记作 $\mathrm{gr}(G)$，其中，每个 $\mathrm{gr}_i(G)$ 都被称作是该滤链的一个 因子群。将整数 $n$ 称作是该滤链的 长度。

定义： 给定群 $G$ 的滤链 $(G_i)_{0\leq i\leq n}$，如果每个 $\mathrm{gr}_i(G)$ 都是单群，则称这个滤链为 Jordan-Hölder 滤链。

命题： 有限群 $G$ 必有 Jordan0-Hölder 滤链。

例子： 无限群未必有 Jordan-Hölder 滤链，例如 $(\mathbb Z,+)$。

定理：（Jordan-Hölder）任意给定群 $G$ 的 Jordan-Hölder 滤链 $(G_i)_{0\leq i\leq n}$，其因子群集合 $\{\mathrm{gr}_i(G)\}$（可以有重复，在同构的意义下）在不计顺序的意义下与滤链的选取无关。

特别地，Jordan-Hölder 滤链（如果存在）的长度 $n$ 与滤链的选取无关，我们将 $n$ 称作是群 $G$ 的 长度 并记作 $l(G)$。如果一个群没有 Jordan-Hölder 滤链，则约定其长度为 $\infty$ 。

推论： 对任意的正规子群 $N\triangleleft G$，有

$$l(G)=l(N)+l({^G/_N})$$

例子： Jordan-Hölder 定理的唯一性部分可以给出算术基本定理的唯一性部分的证明：利用整数 $n=p_1^{h_1}\cdots p_k^{h_k}$，可以构造群 $G={^\Z/_{n\Z}}$ 的 Jordan-Hölder 滤链

$${^\Z/_{n\Z}}\triangleright {^{p_1\Z}/_{n\Z}}\triangleright \cdots\triangleright{^{p_1^{h_1}}}/_{n\Z}\triangleright {^{p_1^{h_1}p_2\Z}/_{n\Z}}\triangleright\cdots$$

作为因子群，$^{\Z}/_{p_i\Z}$ 在 $\mathrm{gr}(G)$ 中出现的次数恰好是 $h_i$。

例子：（$\mathfrak S_3$ 的滤链）$\mathfrak A_3\triangleleft \mathfrak S_3$，$\mathfrak S_3$ 有且仅有一个 Jordan-Hölder 滤链：

$$1\triangleleft \mathfrak A_3\triangleleft \mathfrak S_3$$

滤链长度为 $2$，因子群为 $2$ 阶和 $3$ 阶的循环群。

例子：（$\mathfrak S_4$ 的滤链）$\mathfrak S_4$ 的 Jordan-Hölder 滤链的取法为：

$$1\triangleleft\{1,\sigma\}\triangleleft K_4\triangleleft \mathfrak A_4\triangleleft \mathfrak S_4$$

其中，$\sigma$ 可以是 $(1,2)(3,4);(1,3)(2,4);(1,4)(2,3)$。其长度为 $4$，因子群为 $3$ 个 $2$ 阶循环群和 $1$ 个 $3$ 阶循环群。

例子：（$\mathfrak S_n$ 的滤链，$n\geq 5$）$\mathfrak S_n$ 只有唯一一个 Jordan-Hölder 滤链：

$$1\triangleleft \mathfrak A_n\triangleleft \mathfrak S_n$$

滤链长度为 $2$，因子群为 $2$ 阶循环群和 $\mathfrak A_n$。

# 可解群

定义： $G$ 是群。对 $x,y\in G$，定义它们的 交换子 或者 换位子 为

$$(x,y)=x^{-1}y^{-1}xy$$

$H,K<G$，用 $(H,K)$ 表示由所有 $(x,y)$ 所生成的子群，其中 $x\in H,y\in K$。将子群 $(G,G)$ 称为 $G$ 的 换位子群 或 导出子群，记作 $\mathbf D(G)$。

定义： $G$ 是群，$A$ 是 $G$ 的子群。$A$ 是 $G$ 的 特征子群，指的是对任意的 $\varphi\in \mathrm{Aut}(G)$，有

$$\varphi(A)=A$$

命题： $H<G$ 是子群。那么如下叙述等价：

1. $H\supset \mathbf D(G)$
2. $H\triangleleft G$ 并且 $^G/_H$ 是交换群

命题：（交换化及其泛性质）要得到群 $G$ 的一个交换商群，至少要商掉 $\mathbf D(G)$，因此 $^G/{\mathbf D(G)}$ 是 $G$ 的 极大交换商群。称 $^G/_{\mathbf D(G)}$ 是群 $G$ 的 交换化 并记为 $G^{\mathrm{ab}}$。
群的交换化有如下泛性质：每个从 $G$ 到某个交换群的群同态必然可以下降到 $G\to G^{\mathrm{ab}}$ 上，即

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例子： 假设 $n\geq 2$，那么 $\mathfrak S_n^{\mathrm {ab}}\simeq{^{\mathfrak S_n}/_{\mathfrak A_n}}\simeq {^\Z/_{2\Z}}$。

例子： 假设 $n\geq 2$，$K$ 是域

1. $\mathbf{D}(\mathbf{GL}(n;K))=\mathbf{SL}(n;K)$
2. $\mathbf{GL}(n;K)^{\mathrm{ab}}\simeq K^\times$

定义： 对导出子群函子 $G\leadsto\mathbf DG$ 进行迭代，可以定义滤链 \

$$\mathbf D^0G=G,\mathbf D^1G=\mathbf DG,\mathbf D^nG=\mathbf D(\mathbf D^{n-1}G)=(\mathbf D^{n-1}G,\mathbf D^{n-1}G),n\geq 1$$

显然有

$$G\triangleright \mathbf D^1G\triangleright \mathbf D^2G\triangleright \cdots$$

这个序列未必在有限步停止，即使停止最后的群也未必是 $1$。但是总是可以定义

$$\mathbf D^\infty G=\bigcap _{n\geq 1}\mathbf D^nG$$

定义： 如果存在正整数 $n$，使得 $\mathbf D^nG=1$，我们就称 $G$ 为 可解群。以下，用 $dl(G)$ 表示使得 $\mathbf D^nG=1$ 的最小正整数 $n$，它被称作是 $G$ 的 可解类数 或者 导出长度。

命题： 可解群的子群和商群都是可解的，且导出长度不超过可解群的导出长度。

命题： $G$ 是群，$N\triangleleft G$ 是正规子群。如果 $N$ 和 $^G/_N$ 可解，那么 $G$ 也可解。进一步，我们有

$$dl(G)\leq dl(N)+dl({^G/_N})$$

定理： 给出两个关于可解群的大定理：

1. （Burnside 定理）$p^aq^b$ 阶的群可解，其中 $p,q$ 是素数
2. （Feit-Thompson 定理）奇数阶的群可解

命题： 给定群 $G$ 和正整数 $n$，如下命题等价：

1. $G$ 是可解群并且 $dl(G)\leq n$
2. $G$ 有特征子群列 $G=G_0>G_1>\cdots>G_n=1$，使得 $^{G_i}/_{G_{i+1}}$ 交换
3. $G$ 有滤链 $G=G_0\triangleright G_1\triangleright \cdots\triangleright G_n=1$，并且 $^{G_i}/_{G_{i+1}}$ 交换
4. $G$ 有交换的特征子群 $A$，使得 $^G/_A$ 可解并且 $dl({^G/_A})\leq n-1$