# 环论基本概念

# 环

定义：称非空集合 $A$ ，且 $|A|\geq 2$，在其上定义的乘法和加法构成 环 $(A,+,\cdot \ )$，即定义两个二元运算

$$A\times A\to A,\quad (a_1,a_2)\to a_1+a_2$$

和

$$A\times A\to A,\quad (a_1,a_2)\to a_1\cdot a_2$$

如果这两个映射满足

1. $(A,+)$ 是 Abel 群，$0_A$ 是单位元；
2. $(A,\cdot\ )$ 是幺半群，$1_A\neq 0_A$ 是单位元；
3. 乘法 $\cdot$ 对加法 $+$ 满足左右分配律

称 $A$ 为 交换环，如果 $A$ 的乘法可交换。

称 $B\subset A$ 是 $A$ 的 子环，如果 $(B,+)<(A,+)$、$1\in B$ 且 $B$ 对乘法封闭。

称 $A$ 为 可除环，如果 $A^\times =A-\{0\}$，其中 $A^\times$ 是 $A$ 中的乘法可逆元之集，这是一个群。

称 $A$ 为 域，如果 $A$ 是可交换的可除环。

# 环同态

定义：如果环 $A_1$ 和 $A_2$ 之间的映射

$$\varphi:A_1\to A_2$$

保持加法和乘法，并且 $\varphi(1_{A_1})=1_{A_2}$，那么称 $\varphi$ 是 环同态。

用 $\hom(A_1,A_2)$ 表示 $A_1$ 到 $A_2$ 的环同态集合。取 $\varphi\in \hom(A_1,A_2)$，定义环同态的 核 为

$$\ker\varphi:=\{a\in A_1:\varphi(a)=0\}$$

注意，$\ker\varphi$ 不是子环。

# 环同态基本定理

定理：$A,B$ 是环，$I\subset A$ 是理想，$\varphi\in \hom(A,B)$，如果 $I\subset \ker \varphi$，则

$$\exists !\ \bar\varphi:\ ^A/_I\to B$$

使得 $\varphi=\bar\varphi\circ \pi$，其中 $\pi: A\to \ ^A/_I$ 是典范同态，即满足如下交换图

特别地，有环同构

$$\bar\varphi:\ ^A/_{\ker\varphi}\xrightarrow {\simeq}\mathrm{Im} \varphi$$

# 理想

# 定义

定义：$A$ 是环，$I\subset A$ 是 $A$ 的加法子群。称 $I$ 是 $A$ 的 左（右）理想，如果

$$\forall a\in A,x\in I,\quad a\cdot x\in I\ \ (x\cdot a\in I)$$

如果 $I$ 既是左理想也是右理想，则称为 （双边）理想。

对于同态，$\varphi\in \hom(A_1,A_2)$，则 $\ker \varphi$ 是 $A_1$ 的理想。

对于陪集，$\forall a\in A$，$(a)=A\cdot a=\{a'\cdot a:a'\in A\}$ 是 $A$ 的左理想。

给出一个判据，$A$ 是交换环，则 $A$ 是域当且仅当 $A$ 只有平凡理想。

定义：给定环 $A$ 的双边理想 $I$ ，则可以构造 商环

$$^A/_I=\{a+I:a\in A\}$$

并且满足运算

$$(a+I)+(b+I)=a+b+I,\quad (a+I)(b+I)=ab+I$$

# 理想的性质

# 理想的集合运算

性质：$A$ 是环，$I_i,i\in \Lambda$ 是理想，定义如下集合

1. \displaystyle \sum I_i=\
2. \displaystyle \prod I_i=\
3. \displaystyle \bigcap I_i=\

它们都是 $A$ 的理想，并且

$$\prod I_i\subset \sum I_i$$

注意前两项都是有限和、有限积

# 有限生成理想

特别地，考虑 \displaystyle \bigcap_{\alpha\in \Lambda} I_

定义：给定 $A$ 的非空子集 $S\subset A$，包含 $S$ 的所有理想之交是包含 $S$ 的最小理想，记为 $(S)$，称之为 由 $A$ 所生成的理想。显然它形如

$$\sum_{<\infty}a\cdot s,\quad a\in A,s\in S$$

如果理想 $I$ 为有限集 $\{a_1,...,a_n\}$ 生成，则称 $I$ 是 有限生成的 并记作

$$I=(a_1,...,a_n)$$

如果 $I=(a)$，称之为 主理想。

沿用上述的运算，设 $I_1=(a_1,...,a_n),I_2=(b_1,...,b_m)$，有

$$I_1+I_2=(a_i,b_j),\quad I_1\cdot I_2=(a_ib_j)$$

定义：整环 $A$ 的所有理想都是主理想，则称为 主理想整环。

# 特殊的环

# 素理想与整环

# 素理想

# 定义

定义：$\mathfrak p$ 是 素理想，如果 $A\neq \mathfrak p\subset A$ 是理想，且

$$\forall a,b\in A,\ a\cdot b\in \mathfrak p\implies (a\in \mathfrak p) \ \lor \ (b\in \mathfrak p)$$

这等价于

推论：$\mathfrak p$ 是环 $A$ 的素理想当且仅当

$$\forall a,b\in A-\mathfrak p\implies a\cdot b\notin\mathfrak p$$

# 素理想的商环刻画

性质：交换环 $A$ 的理想 $\mathfrak p$，则 $\mathfrak p$ 是素理想当且仅当 $\ ^A/_{\mathfrak p}$ 是整环。

# 整环

# 定义

定义：无非平凡零因子的交换环 $A$ 称为 整环。

# 和域的关系

性质：

1. 如果 $A$ 是只有有限个元素的整环，则 $A$ 是域；
2. 如果 $A$ 是域，则 $A$ 是整环；

# 和素理想的关系

性质：交换环 $A$ 是整环当且仅当 $(0)$ 是素理想。

# 分式域

定义：$A$ 是整环，在集合 $A\times(A-\{0\})$ 上定义等价关系

$$(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc$$

记 $\mathrm{Frac}(A)=\ ^{A\times (A-\{0\})}/_\sim$ 是等价类构成的集合。
其上定义的分式加法和乘法是自然的，也易于验证定义良好，规定 $\dfrac11$ 是乘法单位元，$\dfrac 01$ 是加法单位元。
特别地，这是个域，称 $\mathrm{Frac}(A)$ 是 $A$ 的 分式域。