AG1-2:Elementary Facts about Real of Complex Algebraic Sets

记 $\Phi$ 为无限域，$\Phi^m$ 是包含所有 $\Phi$ 的 $m$ 元组 $x=(x_1,\cdots ,x_m)$ 的坐标空间。我们主要研究 $\Phi=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 的情形。

Definition. 子集 $V\subseteq \Phi^m$ 称为 $\Phi^m$ 上的一个代数集，如果 $V$ 是某些多项式 $f_i\in \Phi[x_1,\cdots ,x_m],i\in I$ 的公共零点集。记

$$I(V)\subseteq \Phi[x_1,\cdots ,x_m]$$

为所有在 $V$ 上消失的多项式的集合。

Remark. $I(V)$ 是 $\Phi[x_1,\cdots ,x_m]$ 的一个理想。

Hilbert 基定理指出：$\Phi[x_1,\cdots ,x_m]$ 是 Noether 环，即理想都是有限生成的。

Corollary. 任意代数集都可以表示为有限个多项式的公共零点集。

Hilbert 基定理的一个重要推论是：

Proposition. 降链条件：任意代数集序列 $V_1\supseteq V_2\supseteq \cdots$ 在有限步后稳定，即 $V_i=V_{i+1}=\cdots$.

我们指出两个 $\Phi^m$ 的代数集之并 $V\cup V'$ 仍然是代数集。非空代数集 $V$ 称为不可约代数集或代数簇，如果 $V$ 不能表示为两个真子代数集的并。注意到，非空代数集 $V$ 是不可约的，当且仅当 $I(V)$ 是素理想，当且仅当

$$\Phi[V]=\Phi[x_1,\cdots ,x_m]/I(V)$$

是整环。如果 $V$ 是不可约的，则由 $\Phi[V]$ 上的函数 $f,g$ 的商 $f/g$ 构成的域 $\Phi(V)$ 称为 $V$ 的有理函数域。它在 $\Phi$ 上的超越次数 (transcendence degree)（即最大代数无关子集的基数）称为 $V$ 在 $\Phi$ 上的代数维数 (algebraic dimension)，记为 $\dim V$.

如果 $W$ 是 $V$ 的真子代数簇，注意到 $\dim W<\dim V$.

现在设 $V\subseteq \Phi^m$ 是任意非空代数集，取有限个多项式 $f_1,\cdots,f_k$ 生成 $I(V)$，并且对任意 $x\in V$，考虑在 $x$ 上计算得到的 $k\times m$ 矩阵 $(\partial f_i/\partial x_j(x))$，记 $\rho$ 为该矩阵在 $V$ 上的秩的最大值。

Definition. 点 $x\in V$ 称为 $V$ 的一个简单点 (simple) 或非奇点 (non-singular)，如果 $\operatorname{rank}(\partial f_i/\partial x_j(x))=\rho$ 在 $V$ 上恒成立；称为 $V$ 的一个奇点 (singular point)，如果

$$\operatorname{rank}(\partial f_i/\partial x_j(x))<\rho$$

注意到，简单点的概念与生成 $I(V)$ 的多项式 $\{f_i\}$ 的选取无关。因为如果我们加入一个新的生成元 $f$，则 $\partial f/\partial x_j(x)$ 是现有行的线性组合。