# 11 月 28 日

# 极端原理

Problem. 对于数列 $A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，定义其 k - 平均值集合为

$$S(A,k)=\left\{\frac{a_{i_1}+a_{i_2}+\cdots+a_{i_k}}{k}\Big|\forall 1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n\right\}$$

当 $a_i\in S(A,n-1)$ 对所有 $1\leq i\leq n$ 成立时，证明 $A$ 中的元素相等。

Remark. 在上述组合问题中，极端原理是一个常用的技巧。它的核心思想是通过考虑问题中的极端情况（如最大值或最小值）来推导出一般结论。在本题中，我们可以假设 $A$ 中存在一个最大元素和一个最小元素，然后通过分析这些极端元素在 $k$ - 平均值集合中的表现，来证明所有元素必须相等。

极端原理的应用通常包括以下步骤：

1. 假设存在极端元素：存在一个最大（小）元素 $a$；
2. 分析极端元素的影响：考虑关于 $a$ 的情形，推导出对其他元素的限制；
3. 归纳或反证法：通过对极端情况的分析，得出普遍规律。一般来说可以先从极端情形出发，逐步缩小范围或者摸索规律；或者可以通过极端情形说明假设不成立，从而达到反证的目的。

极端原理的好处是为我们提供了入手方向，并且附加了一个 “边界条件”，使得问题更易于分析和解决。下面是一道思考题。

Problem. 在单循环比赛中，如果没有平局，且没有队伍全胜，则

1. 一定存在三个队 $A,B,C$，满足 $A$ 胜 $B$，$B$ 胜 $C$，$C$ 胜 $A$；
2. 一定存在一个队 $A$，对于其余任一队 $B$，要么 $A$ 胜 $B$，要么存在一个队 $C$，使得 $A$ 胜 $C$ 且 $C$ 胜 $B$。

# 几何直观

几何直观可以避免繁琐的计算。

Problem.[周末作业一.T13] 已知 $\triangle ABC$ 满足 $a=2,b\sin B-c\sin C-2\sin A=b\sin C$，则 $\triangle ABC$ 的中线 $AD$ 的最大值为多少？

可以解出 $A=\pi/3$，这是定弦对定角，所以 $A$ 的轨迹是圆弧，进而得到结果。

这类定长或定角问题，都和圆有关。下面作为复习题，可以思考其几何上的思路。

Problem.[2003 北京春季] 设 $A(-c,0),B(c,0),c>0$ 为两定点，动点 $P$ 到点 $A$ 的距离与到点 $B$ 的距离之比为定值 $a>0$，求点 $P$ 的轨迹。

作为结论，我们可以依靠这个直观来解决以下问题

Problem.[2008 江苏] 满足 $AB=2,AC=\sqrt 2 BC$ 的 $\triangle ABC$ 的面积最大值为多少？

Remark. 总结一下，常用的和圆以及一般的圆锥曲线有关的几何性质包括

1. 三角形的一组边和角是确定的，则这个角的顶点在一个圆弧上；
2. 到两定点距离比为定值的点的轨迹是圆；
3. 到两定点距离和为定值的点的轨迹是椭圆；
4. 到两定点距离差为定值的点的轨迹是双曲线；
5. 到两定点距离之积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线（不要求掌握）；
6. 到定点距离与到定直线距离比为定值的点的轨迹是抛物线、椭圆或双曲线；
7. 圆幂定理；
8. 弦切角定理。

在立体几何中也可以用到几何直观。此外，在数列问题中，也可以用几何直观来辅助理解。比如等差数列就是直线，等比数列就是指数函数。极值问题中提到的平均数也可以用几何的观点来看，平均数一定要落在数列的最大值和最小值之间。

可以通过图像来理解下面的问题

Problem. $n$ 项等差数列 $\{a_n\}$ 和 $n$ 项等比数列 $\{b_n\}$ 满足 $a_1=b_1,a_n=b_n$，则讨论这两个数列和的大小关系。

# 函数图像

绘制函数图像的时候，可以考虑以下几点

1. 定义域与值域；
2. 奇偶性；
3. 单调性；
4. 极值与拐点；
5. 渐近线；
6. 周期性；
7. 对称性。
8. 特殊点。

拐点就是该点左右两侧的凹凸性不同的点。二阶导数大于零表示函数在该点是 U 形的，小于零表示函数在该点是倒 U 形的。在研究零点问题 $f(x)=0$ 时，可以看作 $y=f(x)$ 与 $y=0$ 的交点问题。所以可以通过代数变形，转化为 $g(x)=h(x)$ 的形式，从而考虑 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的图像关系，这个分离过程常常体现为参变分离。一般容易处理的都是直线和某个函数图像，那么去判断它们的交点，需要我们特别分析这个函数图像的单调性和凹凸性。

单调性是通过一阶导数判断的，凹凸性是通过二阶导数判断的。前者决定函数图像和直线的交点个数，后者决定函数图像的弯曲方向，也影响了交点个数。

Problem. 需要说明 $f(x)=(x-1)e^x-\dfrac 12ax^2+1$ 在区间 $(-\infty,\ln a]$ 上至少有一个零点，其中 $a\in (0,1)$。

这个取点过程可以看作是对函数图像的分析。先考虑参变分离

$$g(x)=\dfrac {2(x-1)e^x+2}{x^2}$$

问题转变为 $g(x)<a$ 在区间 $(-\infty,\ln a]$ 上有解。为了能写出一个点，而不是直接用极限分析，我们需要细致分析每一项。首先直观上看，当 $x$ 足够小时，分子趋近于 $2$，分母趋近于无穷大，事实上 $e^x$ 是可有可无的，因为 $x^2$ 已经可以控制住 $x-1$，即

$$\dfrac {2(x-1)e^x+2}{x^2}<\dfrac {2|x-1|+2}{x^2}<\dfrac {2(2-x)}{x^2}<\dfrac {4}{-x},\quad x<-2$$

所以当 $x$ 足够小时，成立，选取 $x<- \max\{2,\dfrac 4a\}$ 即可，因为此时有

$$g(x)<\dfrac {4}{-x}<a$$

我们是先有直观，再去找点的。