微分几何作业 9

Problem.1. 已知曲面的第一基本形式，求 Gauss 曲率：

1. $I

Question.[Peng.Sec5.15]. 求旋转曲面 $\pmb r(u,v)=(u\cos v,u\sin v,f(u))$ 的测地线。

直接计算

$$\pmb r_u=(\cos v,\sin v,f'(u)),\quad \pmb r_v=(-u\sin v,u\cos v,0)$$

第一基本形式为

$$I=(1+f'^2)\mathrm du^2+u^2\mathrm dv^2$$

所以 $(u,v)$ 是正交参数，对于任意弧长参数曲线 $C:\pmb r(u(s),v(s))$，其中 $s$ 是弧长参数，则由 Liouville 定理可知，设 $C$ 与 $u$ 线的夹角为 $\theta$，其测地曲率为

$$\begin{array}{ll}0=k_g&=\dfrac {\mathrm d\theta}{\mathrm ds}-\dfrac 1{2\sqrt G}\dfrac {\partial \ln E}{\partial v}\cos\theta+\dfrac 1{2\sqrt E}\dfrac {\partial \ln G}{\partial u}\sin \theta \\ \\ &=\dfrac {\mathrm d\theta}{\mathrm ds}+\dfrac 1{2\sqrt {1+f'^2}}\dfrac {\partial \ln (u^2)}{\partial u}\sin \theta \\ \\ &=\dfrac {\mathrm d\theta}{\mathrm ds}+\dfrac {\sin \theta}{u\sqrt {1+f'^2}}\end{array}$$

所以积分得到

Question.[Peng.Sec5.16]. 设曲面的第一基本形式为 $I=\mathrm du\mathrm du+G(u,v)\mathrm dv\mathrm dv$，且 $G(0,v)=1$，$G_u(0,v)=0$。证明：

$$G(u,v)=1-u^2K(0,v)+o(u^2)$$

Question.[Peng.Sec5.18]. 设曲面 $S$ 上以点 $P$ 为中心、$r$ 为半径的测地圆的周长为 $L(r)$，所围区域的面积为 $A(r)$，证明：点 $P$ 的 Gauss 曲率

$$K(P)=\lim_{r\to 0}\dfrac 3\pi \dfrac {2\pi r-L(r)}{r^3}=\lim_{r\to 0}\dfrac {12}\pi \dfrac {\pi r^2-A(r)}{r^4}$$

Question.[Peng.Sec5.20]. 证明：若曲面上有两族测地线相互交成定角，则曲面是可展曲面。

Question.[Peng.Sec5.21]. 设 $\pmb r:D\to \mathbb R^3$ 是一张曲面，$D$ 是单连通区域，$\pmb r$ 的 Gauss 曲率 $K<0$。证明：从 $D$ 内一点出发的两条测地线不会相交于 $D$ 内的另一点。

Question.[Peng.Sec5.22]. 设 $A$ 是曲面 $S$ 上的一个四边形，$P_i$ 是顶点，$\alpha_i$ 是相应的内角，其中 $i=1,2,3,4$。证明：

$$\int_A K\mathrm d\sigma+\int_{\partial A}k_g\mathrm ds=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4-2\pi$$

Question.[Peng.Sec5.23]. 求下述两个曲面间的等距变换：

$$\begin{cases}D=\{(u,v)|u>0\},&\mathrm ds^2=\dfrac {a^2}{v^2}(\mathrm du^2+\mathrm dv^2)\\ \\ D=\mathbb R^2,&\mathrm ds^2=\mathrm du^2+e^{\frac {2u}a}\mathrm dv^2\end{cases}$$

Question.[Peng.Sec5.24]. 设 $\mathrm ds^2$ 是参数区域 $D=\{(u,v)\}$ 的一个 Riemann 度量，$C:(u(t),v(t))$ 是 $D$ 的一条正则参数曲线。

$$\pmb v=u'(t)\dfrac {\partial }{\partial u}+v'(t)\dfrac {\partial }{\partial v}$$

是 $C$ 的切向量场。证明：$C$ 是测地线当且仅当存在函数 $\lambda=\lambda (t)$ 使得沿 $C$，有

$$\dfrac {\mathrm D\pmb v}{\mathrm dt}+\lambda \pmb v=\pmb 0$$

Question.[Peng.Sec5.25]. 在区域 $D$ 上给定 Riemann 度量，求它的测地线：

1. $D=\{(u,v)|v>0\}$，$\mathrm ds^2= v(\mathrm du^2+\mathrm dv^2)$；
2. $D=\mathbb R^2$，$\mathrm ds^2=\dfrac {\mathrm du^2+\mathrm dv^2}{(1+u^2+v^2)^2}$。