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# 向量空间

# 内积

Remark. R\mathbb R 上的 nn 维向量空间 VV，如果给定一组基后，则存在对应使得有同构 V≅RnV\cong \mathbb R^n。默认 VV 是 22 或 33 维空间。

Definition. 向量空间 VV 上的内积是一个双线性函数 ⟨⋅,⋅⟩:V×V→R\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to \mathbb R，满足

  1. ⟨u,v⟩=⟨v,u⟩\langle \pmb u,\pmb v\rangle=\langle \pmb v,\pmb u\rangle；
  2. ⟨u,u⟩≥0\langle \pmb u,\pmb u\rangle\ge 0，且当且仅当 u=0\pmb u=0 时取等号。

Corollary. R3\mathbb R^3 上的一个双线性函数 ⟨⋅,⋅⟩:R3×R3→R\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathbb R^3\times \mathbb R^3\to \mathbb R 是内积：

⟨a,b⟩=12(∣a∣2+∣b∣2−∣a−b∣2)=∣a∣⋅∣b∣⋅cos⁡θ\langle \pmb a,\pmb b\rangle=\dfrac {1}{2}(|\pmb a|^2+|\pmb b|^2-|\pmb a-\pmb b|^2)=|\pmb a|\cdot |\pmb b|\cdot \cos \theta

称其为标准内积，其中 θ\theta 是 a\pmb a 和 b\pmb b 之间的夹角。

# 外积

Definition. R3\mathbb R^3 上的外积是一个双线性函数 ∧:R3×R3→R3\wedge :\mathbb R^3\times \mathbb R^3\to \mathbb R^3，满足

(x1,x2,x3)∧(y1,y2,y3)=∣e1e2e3x1x2x3y1y2y3∣(x^1,x^2,x^3)\wedge (y^1,y^2,y^3)= \left|\begin{matrix}\pmb e_1 & \pmb e_2 & \pmb e_3\\[3pt] x^1 & x^2 & x^3\\ y^1 & y^2 & y^3\end{matrix}\right|

其中 {e1,e2,e3}\{\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\} 是 R3\mathbb R^3 的标准正交基，xi,yix^i,y^i 是这组基下的坐标。

Remark. 外积的结果是一个向量，其方向由右手定则确定，大小等于两个向量所张平行四边形的面积。

Definition. R3\mathbb R^3 上的混合积是一个三线性函数 (⋅,⋅,⋅):R3×R3×R3→R(\cdot,\cdot,\cdot):\mathbb R^3\times \mathbb R^3\times \mathbb R^3\to \mathbb R，满足

(u,v,w)=⟨u,v∧w⟩(\pmb u,\pmb v,\pmb w)=\langle \pmb u,\pmb v\wedge \pmb w\rangle

Remark. 混合积在坐标下等于行列式，表示三个向量所张平行六面体的有向体积。

Proposition. 设 u,v,w,s∈R3\pmb u,\pmb v,\pmb w,\pmb s\in \mathbb R^3，则有

  1. u∧v=−v∧u\pmb u\wedge \pmb v=-\pmb v\wedge \pmb u；
  2. u∧(v∧w)=⟨u,w⟩v−⟨u,v⟩w\pmb u\wedge (\pmb v\wedge \pmb w)=\langle \pmb u,\pmb w\rangle \pmb v -\langle \pmb u,\pmb v\rangle \pmb w；
  3. ⟨u∧v,w∧s⟩=⟨u,w⟩⟨v,s⟩−⟨u,s⟩⟨v,w⟩\langle \pmb u\wedge \pmb v,\pmb w\wedge \pmb s\rangle =\langle \pmb u,\pmb w\rangle \langle \pmb v,\pmb s\rangle -\langle \pmb u,\pmb s\rangle \langle \pmb v,\pmb w\rangle；
  4. (u,v,w)=(w,u,v)=(v,w,u)(\pmb u,\pmb v,\pmb w)=(\pmb w,\pmb u,\pmb v)=(\pmb v,\pmb w,\pmb u)，且 (u,v,w)=−(v,u,w)(\pmb u,\pmb v,\pmb w)= -(\pmb v,\pmb u,\pmb w)。

# 向量分析

Proposition. 向量值函数 a(u,v)=(a1(u,v),a2(u,v),a3(u,v))\pmb a(u,v)=(a_1(u,v),a_2(u,v),a_3(u,v)) 的微分为

da=∂a∂udu+∂a∂vdv=(∂a1∂udu+∂a1∂vdv,∂a2∂udu+∂a2∂vdv,∂a3∂udu+∂a3∂vdv)\mathrm d\pmb a=\frac{\partial \pmb a}{\partial u}\mathrm du+\frac{\partial \pmb a}{\partial v}\mathrm dv=\left(\frac{\partial a_1}{\partial u}\mathrm du+\frac{\partial a_1}{\partial v}\mathrm dv,\frac{\partial a_2}{\partial u}\mathrm du+\frac{\partial a_2}{\partial v}\mathrm dv,\frac{\partial a_3}{\partial u}\mathrm du+\frac{\partial a_3}{\partial v}\mathrm dv\right)

Proposition. 向量值函数的微分规律为

  1. d(a+b)=da+db\mathrm d(\pmb a+\pmb b)=\mathrm d\pmb a+\mathrm d\pmb b；
  2. d(fa)=dfa+fda\mathrm d(f\pmb a)=\mathrm df \,\pmb a+f\,\mathrm d\pmb a；
  3. d⟨a,b⟩=⟨da,b⟩+⟨a,db⟩\mathrm d\langle \pmb a,\pmb b\rangle=\langle \mathrm d\pmb a,\pmb b\rangle+\langle \pmb a,\mathrm d\pmb b\rangle；
  4. d(a∧b)=da∧b+a∧db\mathrm d(\pmb a\wedge \pmb b)=\mathrm d\pmb a\wedge \pmb b+\pmb a\wedge \mathrm d\pmb b；
  5. d(a,b,c)=(da,b,c)+(a,db,c)+(a,b,dc)\mathrm d(\pmb a,\pmb b,\pmb c)=(\mathrm d\pmb a,\pmb b,\pmb c)+(\pmb a,\mathrm d\pmb b,\pmb c)+(\pmb a,\pmb b,\mathrm d\pmb c)。

Definition. 定义在 R3\mathbb R^3 一个区域上的向量场是一个向量值函数 F:R3→R3\pmb F:\mathbb R^3\to \mathbb R^3，即对区域内每一点 x\pmb x，都有一个向量 F(x)\pmb F(\pmb x) 与之对应。记为

F(x)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\pmb F(\pmb x)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))

Remark. R3\mathbb R^3 上的函数称为标量场。

Definition. 设 F:R3→R3\pmb F:\mathbb R^3\to \mathbb R^3 是一个向量值函数，F=(P,Q,R)\pmb F=(P,Q,R)，函数 f:R3→Rf:\mathbb R^3\to \mathbb R 是一个标量值函数，则有

  1. ff 的梯度：

gradf=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\mathrm{grad} f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)

  1. F\pmb F 的散度：

divF=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\mathrm{div} \pmb F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}

  1. F\pmb F 的旋度：

rotF=(∂R∂y−∂Q∂z,∂P∂z−∂R∂x,∂Q∂x−∂P∂y)\mathrm{rot} \pmb F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)

Proposition. 记 ∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)\nabla=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)，则有梯度、散度、旋度的记法为

gradf=∇f,divF=∇⋅F,rotF=∇∧F\mathrm{grad} f=\nabla f,\quad \mathrm{div} \pmb F=\nabla \cdot \pmb F,\quad \mathrm{rot} \pmb F=\nabla \wedge \pmb F

Proposition. 设 ff 是标量场，F\pmb F 是向量场，则有

rot(gradf)=0,div(rotF)=0\mathrm{rot}(\mathrm{grad} f)=0,\quad \mathrm{div}(\mathrm{rot} \pmb F)=0

Proposition. 如果记向量场 F=Pdx+Qdy+Rdz\pmb F=P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz，则有

dF=(∂R∂y−∂Q∂z)dy∧dz+(∂P∂z−∂R∂x)dz∧dx+(∂Q∂x−∂P∂y)dx∧dy\mathrm d\pmb F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm dy\wedge \mathrm dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm dz\wedge \mathrm dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx\wedge \mathrm dy

所以

∗(dF)=rotF=(∂R∂y−∂Q∂z)dx+(∂P∂z−∂R∂x)dy+(∂Q∂x−∂P∂y)dz*(\mathrm dF)=\mathrm{rot} \pmb F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm dx+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm dy+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dz

divF=∗[d(∗F)]=∗(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dx∧dy∧dz=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\mathrm{div} \pmb F=*[\mathrm d(*\mathrm F)]=*\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}

其中 ∗* 是 Hodge 对偶算子，将 kk - 形式映为 (3−k)(3-k)- 形式。

# 坐标变换与标架

# 标架与定向

Definition. {O;v1,v2,v3}\{O;\pmb v_1,\pmb v_2,\pmb v_3\} 是 R3\mathbb R^3 的一组以 OO 为原点的标架，如果它是 R3\mathbb R^3 的一组基。如果 ⟨vi,vj⟩=δij\langle \pmb v_i,\pmb v_j\rangle=\delta _{ij}，则称为正交标架。

Remark. 正交标架是单位正交基。

Definition. 在 R3\mathbb R^3 中一个标架给定一个定向作为等价关系，两个标架的变换矩阵行列式为正则称为同定向，否则是不同定向。

Remark. R3\mathbb R^3 中的正交标架分为两类：右手系和左手系。

# 合同变换

Definition. R3\mathbb R^3 中点之间一一对应的映射称为变换。如果变换保持点间欧氏距离不变，则称为合同变换或欧氏变换。

d(T(X),T(Y))=d(X,Y),∀X,Y∈R3d(\mathcal T(\pmb X),\mathcal T(\pmb Y))=d(\pmb X,\pmb Y),\quad \forall \pmb X,\pmb Y\in \mathbb R^3

Proposition. 保距变换等价于保内积变换。

Corollary. R3\mathbb R^3 上的合同变换 T\mathcal T 满足

⟨TX,TY⟩=⟨X,Y⟩,∀X,Y∈R3\langle \mathcal TX,\mathcal TY\rangle =\langle \pmb X,\pmb Y\rangle ,\quad \forall \pmb X,\pmb Y\in \mathbb R^3

Theorem. 设 T\mathcal T 是 R3\mathbb R^3 上的合同变换，则存在唯一一组 T∈O(3)\pmb T\in O(3) 和 P∈R3\pmb P\in \mathbb R^3，使得

T(X)=XT+P,∀X∈R3\mathcal T(\pmb X)=\pmb X\pmb T +\pmb P,\quad \forall \pmb X\in \mathbb R^3

Remark. 定理中没有指定坐标系，如果指定了坐标系（正交标架），则在坐标形式下

(e1,e2,e3)T(x)=(e1,e2,e3)xT+(e1,e2,e3)p(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)\mathcal T(\pmb x)=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)\pmb x\pmb T+(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)\pmb p

其中 x=(x1,x2,x3)′,p\pmb x=(x^1,x^2,x^3)',\pmb p 是坐标列向量。T(x)\mathcal T(\pmb x) 定义为

T(x)=(x1T(e1),x2T(e2),x3T(e3))′\mathcal T(\pmb x)=(x^1\mathcal T(\pmb e_1),x^2\mathcal T(\pmb e_2),x^3\mathcal T(\pmb e_3))'

Proof. 合同变换保持距离不变，所以保持内积不变，不妨设 T(0)=0\mathcal T(\pmb 0)=\pmb 0，证明 T(tX)=tT(X)\mathcal T(t\pmb X)=t\mathcal T(\pmb X)，再考虑 T\mathcal T 将标准正交基映为另一个正交标架，求变换矩阵（是正交矩阵）即可。

Corollary. 设 T\mathcal T 是 R3\mathbb R^3 上的合同变换，则对于外积：

(TX)∧(TY)=(det⁡T)(X∧Y)T,∀X,Y∈R3(\mathcal TX)\wedge (\mathcal TY)=(\det \pmb T)(\pmb X\wedge \pmb Y)\pmb T,\quad \forall \pmb X,\pmb Y\in \mathbb R^3

Corollary. 合同变换

X↦XT+P,T∈O(3),P∈R3\pmb X\mapsto \pmb X\pmb T +\pmb P,\quad \pmb T\in O(3),\pmb P\in \mathbb R^3

全体构成一个群，称为三维合同变换群或三维欧氏变换群。当 det⁡T=1\det \pmb T=1 时，称为刚体运动；当 det⁡T=−1\det \pmb T=-1 时，称为反向刚体运动。

Remark. 合同变换群是平移、旋转、反射的复合，刚体运动是平移和旋转的复合。

Theorem. R3\mathbb R^3 的标架全体和 R3\mathbb R^3 的合同变换群有一一对应关系。