# 参数曲线

从运动学的角度来看，曲线可以看作是一个质点在空间中的运动轨迹。参数曲线刻画了质点的位置随时间变化的规律。

# 曲线

Definition. 映射 $\pmb r:(a,b)\to \mathbb R^n$ 称为 （正则）曲线，如果

1. $r^k\in C^\infty (a,b)$；
2. $|\pmb r'(t)|\ne 0$ 对任意 $t\in (a,b)$ 成立。

Remark. 正则曲线是光滑且切空间非退化的曲线。我们通常只考虑正则曲线。曲线的定义域只要求是开区间。

# 弧长与弧长参数

Definition. 曲线 $\pmb r:(a,b)\to \mathbb R^n$ 的切向量定义为

$$\pmb r'(t)=\dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}=\left(\dfrac{\mathrm dr^1}{\mathrm dt},\dfrac{\mathrm dr^2}{\mathrm dt},\cdots ,\dfrac{\mathrm dr^n}{\mathrm dt}\right).$$

Definition. 曲线的弧长定义为

$$s(t)=\int ^t_{t_0}|\pmb r'(u)|\mathrm du=\int^t_{t_0}\langle \pmb r'(u),\pmb r'(u)\rangle ^{1/2}\mathrm du,$$

其中 $t_0$ 是定义域内的任一点。

Remark. 根据选点的不同，弧长函数族之间差一个常数，这个差异在求导时会被消除。此外，弧长是严格单增的，所以存在反函数，使得 $t=t(s)$。

Lemma. $s$ 称为曲线的弧长参数。如果 $s$ 本身作为参数时，记

$$\dot{\pmb r}(s)=\dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm ds}=\dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}\dfrac {\mathrm dt}{\mathrm ds}$$

则有 $|\dot{\pmb r}(s)|=1$。

Remark. 弧长参数表示下，曲线是匀速率运动的，切向量为单位，则加速度与速度是正交的。用 $\dot x$ 来表示弧长参数下的导数。

Remark. Taylor 展开指的是对分量上进行展开，那么总体形式上会保持 Taylor 展开形式。事实上，还有高阶近似，这里采取弧长参数展开：

$$\pmb r(s)=\pmb r(s_0)+\dot{\pmb r}(s_0)(s-s_0)+\dfrac {\ddot{\pmb r}(s_0)}{2!}(s-s_0)^2+\cdots$$

# R2 上的曲线

# Frenet 标架

Definition. 曲线 $\pmb r(t)$ 的单位法向量是 $\pmb n(t)$，满足 $\{\pmb t,\pmb n\}$ 为正向正交基。即与标准正交基同定向（右手系）。

Notation. 记 $\pmb t(t)$ 是曲线 $\pmb r(t)$ 的单位切向量，即 $\pmb t(t)=\dot {\pmb r}$。

Remark. 即 $\pmb n(t)$ 是 $\pmb t(t)$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 后的向量，写成坐标就是

$$\pmb n=\begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\end{pmatrix}\pmb t.$$

Definition. 称 $\{\pmb r;\pmb t,\pmb n\}$ 为曲线 $\pmb r(t)$ 的 Frenet 标架。

Theorem. 在弧长参数下，Frenet 标架满足 Frenet 方程：

$$\begin{pmatrix}\dot{\pmb t}\\ \dot{\pmb n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\kappa \\ -\kappa &0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\pmb t\\ \pmb n\end{pmatrix}$$

其中 $\kappa$ 称为曲线的曲率，由上式确定。

# 几何意义

# 切线角度

Remark. 曲率 $\kappa$ 描述了曲线偏离切线的程度。因为

$$\pmb r(s)=\pmb r(s_0)+\pmb t(s_0)(s-s_0)+\dfrac {\kappa (s_0)\pmb n(s_0)}{2!}(s-s_0)^2+\cdots$$

如果 $\kappa(s_0)>0$，则在该点处曲线向内（法方向）弯曲；$\kappa(s_0)<0$ 时向外弯曲。

# 法线角度

Remark. 从 Gauss 映射角度，曲率反映了法向量变化的快慢。因为

$$\pmb n(s)=\pmb n(s_0)-\kappa (s_0)\pmb t(s_0)(s-s_0)+\cdots$$

如果 $\kappa(s_0)>0$，则法向量向切线反方向（逆时针）转动；$\kappa(s_0)<0$ 时向切线方向（顺时针）转动。

上面两种观点，当 $\kappa(s_0)=0$ 时都不能确定曲线的弯曲性质。

# R3 上的曲线

# Frenet 标架

Definition. 曲线 $\pmb r(t)$ 的曲率向量定义为 $\dot{\pmb t}(s)$，其模长称为曲线的曲率 $\kappa(s)$；当 $\kappa(s)>0$ 时，主法向量和副法向量定义为

$$\pmb n(s)=\dfrac {\dot{\pmb t}(s)}{|\dot{\pmb t}(s)|}=\dfrac {\dot{\pmb t}(s)}{\kappa(s)},\quad \pmb b(s)=\pmb t(s)\wedge \pmb n(s)$$

从而正交标架 $\{\pmb r;\pmb t,\pmb n,\pmb b\}$ 称为空间曲线的 Frenet 标架。

Remark. Frenet 标架的三根坐标轴分别是曲线的切线、主法线和副法线，三个坐标平面分别是切法平面、密切平面（以 $\pmb b$ 为法向量）和从切平面（以 $\pmb n$ 为法向量）。

Theorem. 在弧长参数下，空间曲线的 Frenet 标架满足 Frenet 方程：

$$\begin{pmatrix}\dot{\pmb t}\\ \dot{\pmb n}\\ \dot{\pmb b}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\kappa &0\\ -\kappa &0&\tau \\ 0&-\tau &0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\pmb t\\ \pmb n\\ \pmb b\end{pmatrix}$$

其中 $\tau$ 称为曲线的挠率，由上式确定。

# 几何意义

# 渐进展开角度

Remark. 考虑在 $s_0=0$ 处的 Taylor 展开：

$$\pmb r(s)=\pmb r(s_0)+s\dot{\pmb r}(s_0)+\dfrac {s^2}{2!}\ddot{\pmb r}(s_0)+\dfrac {s^3}{3!}\dot{\ddot{\pmb r}}(s_0)+\pmb {o}(s^3)$$

所以

$$\pmb r(s)=\pmb r(s_0)+\left(s-\dfrac {\kappa^2s^3}6\right)\pmb t+\left(\dfrac {\kappa s^2}{2!}+\dfrac {\dot\kappa s^3}{3!}\right)\pmb n+\dfrac {\kappa\tau s^3}{3!}\pmb b+\pmb {o}(s^3)$$

当 $s\to s_0$ 时，曲线在该点处的三阶近似由切线、主法线和副法线的分量给出。由于 $\kappa$ 的符号是确定的，所以 $\tau$ 的符号决定了曲线穿越密切平面的方向。当 $\tau(s_0)>0$ 时，曲线沿 $\pmb b$ 穿越 $\pmb r(s_0)$ 的密切平面；当 $\tau(s_0)<0$ 时，曲线沿 $\pmb b$ 反向穿越密切平面。

# 投影角度

Remark. 曲率 $\kappa$ 描述了曲线偏离切线的程度。考虑上述的渐进展开，将曲线在密切平面上投影，得到的平面曲线的曲率即为 $\kappa$。因为在密切平面的投影曲线满足

$$\pmb r(s)=\pmb r(s_0)+s\pmb t(s_0)+\dfrac {\kappa (s_0)s^2}{2!}\pmb n(s_0)+\pmb o(s^2)$$

曲率 $\kappa$ 描述了曲线在密切平面内的弯曲程度，和 $\pmb b$ 方向无关。

Remark. 挠率 $\tau$ 描述了曲线偏离密切平面的程度。同样地，有在副法向量的投影：

$$\langle \pmb r(s)-\pmb r(s_0),\pmb b(s_0)\rangle =\dfrac {\kappa (s_0)\tau (s_0)s^3}{3!}+\pmb o(s^3)$$

# 曲线论基本定理

# ODE 存在唯一性定理

Theorem. Picard-Lindelof/ Cauchy-Lipschitz 定理指的是，考虑初值问题

$$\dfrac {\mathrm d\pmb y}{\mathrm dt}=f(t,\pmb y),\quad \pmb y(t_0)=\pmb y_0$$

其中 $\pmb y\in\mathbb R^n,t\in\mathbb R$，假设

1. $f$ 在 $\mathbb R\times \mathbb R^n$ 中 $(t_0,\pmb y_0)$ 某个闭域内连续；
2. $f$ 关于 $\pmb y$ 满足 Lipschitz 条件，即存在常数 $L>0$，使得对该闭域的任意 $(t,\pmb y_1),(t,\pmb y_2)$ 有

$$\|f(t,\pmb y_1)-f(t,\pmb y_2)|\le L|\pmb y_1-\pmb y_2|$$

则存在局部唯一解 $\pmb y(t)$。

Remark. 光滑函数是 Lipschitz 连续的。

# R3 上的曲线

# 唯一性

Theorem. 定义在相同弧长参数区间上的空间曲线，如果它们的曲率和挠率函数相同，则它们在刚体运动下是等价的。反之亦然。

# 存在性

Theorem. 给定区间上的可微函数 $\kappa(s)>0,\tau(s)$，则存在 $\mathbb R^3$ 的弧长参数空间曲线 $\pmb r(s),s\in (a,b)$，它以 $s$ 为弧长参数，以 $\kappa(s),\tau(s)$ 分别为曲率和挠率。

Remark. 需要用到常微分方程解对初值的唯一性和存在性定理。

# 特殊曲线分类

Remark. 圆柱螺旋线是绕某直线等速旋转并沿该直线等速平移的曲线，具体地

$$(a\cos t,a\sin t,bt),a>0:\quad \kappa=\dfrac {a}{a^2+b^2},\quad \tau =\dfrac {b}{a^2+b^2}$$

如果 $a<0$，则为（反向）圆柱螺旋线。

# R2 上的曲线

# 存在性和唯一性

Theorem. 设 $\kappa(s)$ 是连续可微函数，则

1. 存在平面 $\mathbb R^2$ 的曲线 $\pmb r(s)$，以 $s$ 为弧长参数，以 $\kappa(s)$ 为曲率；
2. 定义在相同弧长参数区间上的平面曲线，如果它们的曲率相同，则它们在刚体运动下是等价的。反之亦然。

# 特殊曲线分类

# 计算

# 隐式曲线

对于难以找到参数化的曲线，我们可以通过隐式方程来刻画曲线的局部性质。

# 基于隐函数定理

# 基于水平集

# 一般参数下曲率和挠率的计算