首页 Differential Geometry

封面：https://www.pixiv.net/artworks/137175467

# 参数曲面

# 参数与参数变换

Definition. 从平面区域 DD 到 R3\mathbb R^3 的映射 r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\pmb r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 称为曲面，如果

  1. x,y,z∈C∞(D)x,y,z\in C^\infty (D)；
  2. ru∧rv≠0\pmb r_u\wedge \pmb r_v\ne 0 对任意 (u,v)∈D(u,v)\in D 成立。

同时称 (u,v)(u,v) 为曲面的参数。

Remark. 曲面的定义是局部的，要求曲面光滑且切空间非退化。

Lemma. 曲面的允许参数变换为 σ:(u‾,v‾)↦(u(u‾,v‾),v(u‾,v‾))\sigma:(\overline u,\overline v)\mapsto (u(\overline u,\overline v),v(\overline u,\overline v))，其中 σ\sigma 是 C∞(D‾;D)C^\infty(\overline D;D) 的可微双射，且 Jacobi 行列式

∂(u,v)∂(u‾,v‾)≠0\frac {\partial(u,v)}{\partial(\overline u,\overline v)}\ne 0

Remark. 如果有允许参数变换 σ:D‾→D\sigma:\overline D\to D 使得曲面 r(u,v)=r∘σ(u‾,v‾)\pmb r(u,v)=\pmb r\circ \sigma(\overline u,\overline v)，则称 r\pmb r 和 r‾\overline {\pmb r} 是相同的曲面。如果两种参数变换的 Jacobi 行列式符号相同，则称它们是同向参数变换，否则称为反向参数变换。

# 切向量与切平面

Definition. 由 ru,rv\pmb r_u,\pmb r_v 张成的平面称为曲面 SS 在点 P=r(u,v)P=\pmb r(u,v) 处的切平面，记为 TPST_PS，ru,rv\pmb r_u,\pmb r_v 称为切平面的坐标切向量。过 PP 点且垂直于切平面的直线称为曲面 SS 在点 PP 处的法线。

Remark. {P0;ru,rv,ru∧rv}\{P_0;\pmb r_u,\pmb r_v,\pmb r_u\wedge \pmb r_v\} 构成 R3\mathbb R^3 的一个自然定向标架。

Remark. 某点的切向量只与参数曲线在该点的切向量有关，而与参数曲线的形状无关。

Theorem. 曲面上任意一点 PP，TPST_PS 是曲面上过 PP 点的曲线在 PP 点的切向量的全体。

Proposition. 曲面的切平面和法线与参数选取无关。

# 第一基本形式

曲面的第一基本形式决定了曲面度量，从而可以计算长度、角度和面积。

Definition. 曲面 SS 上曲线 Γ:r=(u(t),v(t))\Gamma:\pmb r=(u(t),v(t)) 的长度为

s(t)=∫t0t∣rt∣dt=∫t0t⟨rt,rt⟩dts(t)=\int_{t_0}^t\left|\pmb r_t\right|dt=\int^t_{t_0}\sqrt{\left\langle \pmb r_t,\pmb r_t\right\rangle}dt

长度公式中，有三个只与曲面本身有关的系数：

Definition. 曲面 SS 的第一基本形式系数为

E=⟨ru,ru⟩,F=⟨ru,rv⟩,G=⟨rv,rv⟩E=\left\langle \pmb r_u,\pmb r_u\right\rangle,\quad F=\left\langle \pmb r_u,\pmb r_v\right\rangle,\quad G=\left\langle \pmb r_v,\pmb r_v\right\rangle

曲面 SS 的第一基本形式为

I=(ds)2=E(du)2+2Fdudv+G(dv)2=⟨dr,dr⟩I=(\mathrm ds)^2=E(\mathrm du)^2+2F\mathrm du\mathrm dv+G(\mathrm dv)^2=\langle \mathrm d\pmb r,\mathrm d\pmb r\rangle

Remark. 第一基本形式是一个微分形式。

Remark. 第一基本形式决定曲面上任意曲线长度：

r(t+Δt)−r(t)=(ruut+rvvt)Δt+o(Δt)=ruΔu+rvΔv+o(Δt)\pmb r(t+\Delta t)-\pmb r(t)=(\pmb r_u u_t+\pmb r_v v_t)\Delta t+o(\Delta t)=\pmb r_u\Delta u+\pmb r_v\Delta v+o(\Delta t)

其中，第二个等号用到了可微性。

Corollary. 对于任意曲线 r(t)\pmb r(t)，有

∣st∣2=∣rt∣2=⟨rt,rt⟩=Eut2+2Futvt+Gvt2|s_t|^2=\left|\pmb r_t\right|^2=\langle \pmb r_t,\pmb r_t\rangle=E u_t^2+2F u_t v_t+G v_t^2

Theorem. 第一基本形式与曲面参数无关。

证明

Proof. 考虑

(ru‾ru‾rv‾rv‾)=(uu‾vu‾uv‾vv‾)(rururvrv);(du‾,dv‾)=(du,dv)(uu‾vu‾uv‾vv‾)\begin{pmatrix}\pmb r_{\overline u}&\pmb r_{\overline u}\\ \pmb r_{\overline v}&\pmb r_{\overline v}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_{\overline u}&v_{\overline u}\\ u_{\overline v}&v_{\overline v}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\pmb r_u&\pmb r_u\\ \pmb r_v&\pmb r_v\end{pmatrix};\quad (\mathrm d\overline u,\mathrm d\overline v)= ( \mathrm du,\mathrm dv)\begin{pmatrix}u_{\overline u}&v_{\overline u}\\ u_{\overline v}&v_{\overline v}\end{pmatrix}

或者注意到

dr(u,v)=dr(u‾,v‾)\mathrm d\pmb r(u,v)=\mathrm d\pmb r(\overline u,\overline v)

Theorem. 第一基本形式在 R3\mathbb R^3 合同变换下不变。

证明

Proof. 注意到合同变换保持内积。所以考虑合同变换 r~=T(r)=rT+p\tilde {\pmb r}=\mathcal T(\pmb{r})=\pmb r\pmb T+\pmb p 有

⟨dr~,dr~⟩=⟨d(rT),d(rT)⟩=⟨(dr)T,(dr)T⟩=⟨dr,dr⟩\langle \mathrm d\tilde {\pmb r},\mathrm d\tilde{\pmb r}\rangle=\langle \mathrm d(\pmb r\pmb T),\mathrm d(\pmb r\pmb T)\rangle=\langle \mathrm (d\pmb r)\pmb T,(\mathrm d\pmb r)\pmb T\rangle=\langle \mathrm d\pmb r,\mathrm d\pmb r\rangle

# 第二基本形式

曲面的第二基本形式决定了曲面弯曲程度，但事实上这是曲面的内蕴量。

# 概念与性质

Definition. 曲面 SS 的单位法向量为

n=ru∧rv∣ru∧rv∣=ru∧rvEG−F2\pmb n=\dfrac{\pmb r_u\wedge \pmb r_v}{|\pmb r_u\wedge \pmb r_v|}=\dfrac{\pmb r_u\wedge \pmb r_v}{\sqrt{EG-F^2}}

Definition. 曲面 SS 的第二基本形式系数为

L=⟨ruu,n⟩,M=⟨ruv,n⟩,N=⟨rvv,n⟩L=\left\langle \pmb r_{uu},\pmb n\right\rangle,\quad M=\left\langle \pmb r_{uv},\pmb n\right\rangle,\quad N=\left\langle \pmb r_{vv},\pmb n\right\rangle

曲面 SS 的第二基本形式为

II=−⟨dr,dn⟩=L(du)2+2Mdudv+N(dv)2II=-\langle \mathrm d\pmb r,\mathrm d\bold n\rangle=L(\mathrm du)^2+2M\mathrm du\mathrm dv+N(\mathrm dv)^2

Remark. 指标轮换下，第二基本形式系数满足

⟨ruv,n⟩=−⟨ru,nv⟩=−⟨rv,nu⟩\langle \pmb r_{uv},\pmb n\rangle=-\langle \pmb r_u,\pmb n_v\rangle=-\langle \pmb r_v,\pmb n_u\rangle

Remark. 第二基本形式反映曲面的形状。这里的 “形状” 之后会详细讨论。从 PP 点处沿曲面任意方向的前进，其偏离切平面的程度为

⟨n,Δr⟩=⟨ruu,n⟩(Δu)2+2⟨ruv,n⟩ΔuΔv+⟨rvv,n⟩(Δv)2)2+o((Δu)2+(Δv)2)\langle \pmb n,\Delta \pmb r\rangle=\dfrac {\langle \pmb r_{uu},\pmb n\rangle(\Delta u)^2+2\langle \pmb r_{uv},\pmb n\rangle\Delta u\Delta v+\langle \pmb r_{vv},\pmb n\rangle(\Delta v)^2)}2+o((\Delta u)^2+(\Delta v)^2)

其中，对 Δr\Delta \pmb r 作了二阶 Taylor 展开，这用到可微性。

Definition. IIII 是关于 (du,dv)(\mathrm du,\mathrm dv) 的二次型，可分为

  1. 正定的，如果 LN−M2>0LN-M^2>0 且 L>0L>0；
  2. 负定的，如果 LN−M2>0LN-M^2>0 且 L<0L<0；
  3. 不定的，如果 LN−M2<0LN-M^2<0；
  4. 退化的，如果 LN−M2=0LN-M^2=0。

Corollary. 曲面 SS 在点 PP 处的第二基本形式的正定性、负定性、不定性与曲面在该点处的局部形状有关：

  1. 若 IIII 正定或负定，则 SS 在 PP 点处局部类似于椭球面，称为椭圆点；
  2. 若 IIII 不定，则 SS 在 PP 点处局部类似于马鞍面，称为马鞍点或双曲点；
  3. 若 IIII 退化，则 SS 在 PP 点处局部类似于圆柱面，称为抛物点；
    特别地，如果 II=0II=0，则称 PP 点为平坦点。

Remark. 正定点取局部最大值，负定点取局部最小值，可以以此来确定局部凹凸性。

证明

Proof. 考虑高度函数

f(u,v)=⟨r(u,v)−r(u0,v0),n(u0,v0)⟩f(u,v)=\langle \pmb r(u,v)-\pmb r(u_0,v_0),\pmb n(u_0,v_0)\rangle

讨论 Hessian 矩阵的正定性、负定性、不定性。

Theorem. 第二基本形式在同向（反向）参数变换下不变（变号）。

证明

Proof. 注意到

dr(u,v)=dr(u‾,v‾),ru∧rv=∂(u‾,v‾)∂(u,v)ru‾∧rv‾\mathrm d\pmb r(u,v)=\mathrm d\pmb r(\overline u,\overline v),\quad \pmb r_{u}\wedge \pmb r_v=\dfrac {\partial(\overline u,\overline v)}{\partial(u,v)}\pmb r_{\overline u}\wedge \pmb r_{\overline v}

Theorem. 第二基本形式在（反向）刚体运动下不变（变号）。

证明

Proof. 对于刚体运动 T(r)=rT+p\mathcal T(\pmb r)=\pmb r\pmb T+\pmb p，有

(uT)∧(vT)=(det⁡T)(u∧v)T(\pmb u\pmb T)\wedge (\pmb v\pmb T)=(\det \pmb T)(\pmb u\wedge \pmb v)\pmb T

# 法曲率与 Weingarten 变换

# 法曲率

仿照平面曲线的思路，对于曲面上的曲线 r(s)\pmb r(s)，采用弧长参数，则其单位切向量为

t=r˙=ruu˙+rvv˙\pmb t=\dot{\pmb r}=\pmb r_u \dot u+\pmb r_v \dot v

Definition. 曲面上以弧长为参数的曲线 r(s)\pmb r(s) 的曲率向量为

r¨=ruuu˙2+2ruvu˙v˙+rvvv˙2+ruu¨+rvv¨\ddot{\pmb r}=\pmb r_{uu}\dot u^2+2\pmb r_{uv}\dot u\dot v+\pmb r_{vv}\dot v^2+\pmb r_u \ddot u+\pmb r_v \ddot v

曲线 r(s)\pmb r(s) 的法曲率为

κn=⟨r¨,n⟩=Lu˙2+2Mu˙v˙+Nv˙2\kappa_n=\langle \ddot{\pmb r},\pmb n\rangle=L\dot u^2+2M\dot u\dot v+N\dot v^2

Remark. 法曲率是曲率向量在单位法向量上的投影。

Remark. 曲面在某切方向的法曲率只与该方向有关，只与曲线在该点的切方向有关，而与曲线的形状无关。进一步

κn=III=L(du)2+2Mdudv+N(dv)2E(du)2+2Fdudv+G(dv)2=Lt2+2Mt+NEt2+2Ft+G\kappa_n=\dfrac{II}{I}=\dfrac {L(\mathrm du)^2+2M\mathrm du\mathrm dv+N(\mathrm dv)^2}{E(\mathrm du)^2+2F\mathrm du\mathrm dv+G(\mathrm dv)^2}=\dfrac {Lt^2+2Mt +N}{Et^2+2Ft +G}

其中 t=(du:dv)t=(\mathrm du:\mathrm dv)，即 κn\kappa_n 只与切方向 tt 有关，记作 κn(t)\kappa_n(t)。

Remark. 法曲率将空间性质投影到平面性质。可以看作给定曲面上的曲线后，曲线切向量和法向量张成的平面叫作这个方向的法截面，法曲率就是法截面和曲面相交得到的曲线在该点的曲率。

Corollary. 设 t=λru+μrv\pmb t=\lambda \pmb r_u+\mu \pmb r_v 为曲面 SS 上点 PP 处的单位切向量，则该方向的法曲率为

κn=Lλ2+2Mλμ+Nμ2\kappa_n=L\lambda ^2+2M\lambda \mu +N\mu ^2

Remark. 对于一般切向量 w=ξru+ηrv\pmb w=\xi \pmb r_u+\eta \pmb r_v，则沿 w\pmb w 方向的法曲率为

κn(w):=κn(w∣w∣)=Lξ2+2Mξη+Nη2∣w∣2=Lξ2+2Mξη+Nη2Eξ2+2Fξη+Gη2\kappa_n(\pmb w):=\kappa_n\left(\dfrac {\pmb w}{|\pmb w|}\right)=\dfrac{L\xi ^2+2M\xi \eta +N\eta ^2}{|\pmb w|^2}=\dfrac{L\xi ^2+2M\xi \eta +N\eta ^2}{E\xi ^2+2F\xi \eta +G\eta ^2}

Corollary. 法曲率在同向（反向）参数变换下不变（变号）。

Corollary. 法曲率在（反向）刚体运动下不变（变号）。

Example. 二次曲面 z=12(ax2+by2)z=\frac 12(ax^2+by^2) 的法曲率为

κn=11+a2x2+b2y2a(dx)2+b(dy)2(1+a2x2)(dx)2+2abxydxdy+(1+b2y2)(dy)2\kappa_n=\dfrac 1{\sqrt {1+a^2x^2+b^2y^2}}\dfrac {a(\mathrm dx)^2+b(\mathrm dy)^2}{(1+a^2x^2)(\mathrm dx)^2+2abxy\mathrm dx\mathrm dy+(1+b^2y^2)(\mathrm dy)^2}

可见符号只与 a(dx)2+b(dy)2a(\mathrm dx)^2+b(\mathrm dy)^2 有关，因此有以下三种情况：

  1. 当 ab>0ab>0 时，曲面为椭圆抛物面，κn\kappa_n 恒为正或恒为负；
  2. 当 ab<0ab<0 时，曲面为双曲抛物面，κn=0\kappa_n=0 有两个线性无关的解；
  3. 当 ab=0ab=0 时（不全为零），曲面为抛物柱面，κn=0\kappa_n=0 有唯一解。

# 渐进方向与渐进曲线

Definition. 如果 κn(v)=0\kappa_n(\pmb v)=0，则称 v\pmb v 为曲面 SS 上点 PP 处的渐进方向。若曲线 r(s)\pmb r(s) 在每一点处的切向量均为渐进方向，则称 r(s)\pmb r(s) 为曲面 SS 上的渐进曲线。

Remark. 渐进曲线不一定存在。渐进方向的存在性取决于第二基本形式的符号。

Corollary. 渐进方向的存在性与第二基本形式的符号有关：

  1. 若 IIII 正定或负定，则不存在渐进方向；
  2. 若 IIII 不定，则存在两个线性无关的渐进方向

dudv=−M±M2−LNL\dfrac {\mathrm du}{\mathrm dv}=\dfrac{-M\pm \sqrt{M^2-LN}}L

这两个渐进方向将切平面分割为四个象限，在对角的象限内法曲率符号相同，在相邻的象限内法曲率符号相反；

  1. 若 IIII 退化，则存在唯一渐进方向

dudv=−NM\dfrac {\mathrm du}{\mathrm dv}=-\dfrac N M

这个渐进方向将切平面分割为两个区域，在两个区域内法曲率符号相同。

Theorem. 曲面上的参数曲线网是渐进曲线网，当且仅当 L=N=0L=N=0。

# Gauss 映射

Definition. 曲面 SS 上的 Gauss 映射 gg 定义为

g:S→S2,r(u,v)↦n(u,v)g:S\to \mathbb S^2,\quad \pmb r(u,v)\mapsto \pmb n(u,v)

Remark. Gauss 映射将曲面上每一点的单位法向量映射到单位球面上对应的点。相当于平移。

Definition. 曲面 SS 的 Gauss 映射在 PP 点的 Gauss 切映射为

g∗:TPS→Tg(P)S2≅TPS,w↦dn(w)g_*:T_PS\to T_{g(P)}\mathbb S^2\cong T_PS,\quad \pmb w\mapsto \mathrm d\pmb n(\pmb w)

Remark. g∗g_* 将切向量映到切向量，具体作用在一个切向量上时，可以先将该切向量视为曲面上一条曲线的切向量，不妨对应参数 t=0t=0，则

g∗(w)=g∗(dr(u(t),v(t))dt∣t=0)=dn(u(t),v(t))dt∣t=0g_*(\pmb w)=g_*\left(\left.\dfrac{\mathrm d\pmb r(u(t),v(t))}{\mathrm dt}\right|_{t=0}\right)=\left.\dfrac{\mathrm d\pmb n(u(t),v(t))}{\mathrm dt}\right|_{t=0}

继续展开

g∗:rududt∣t=0+rvdvdt∣t=0↦nududt∣t=0+nvdvdt∣t=0g_*:\quad \pmb r_u\left.\dfrac {\mathrm du}{\mathrm dt}\right|_{t=0}+\pmb r_v\left.\dfrac {\mathrm dv}{\mathrm dt}\right|_{t=0}\mapsto \pmb n_u\left.\dfrac {\mathrm du}{\mathrm dt}\right|_{t=0}+\pmb n_v\left.\dfrac {\mathrm dv}{\mathrm dt}\right|_{t=0}

Corollary. 特别地

g∗(ru)=nu,g∗(rv)=nvg_*(\pmb r_u)=\pmb n_u,\quad g_*(\pmb r_v)=\pmb n_v

# Weingarten 变换

Definition. 曲面 SS 的 Weingarten 变换为

W:TPS→TPS,w↦−g∗(w)=−dn(w)\mathcal W:T_PS\to T_PS,\quad \pmb w\mapsto -g_*(\pmb w)=-\mathrm d\pmb n(\pmb w)

Corollary. 由于 ru,rv\pmb r_u,\pmb r_v 是 TPST_PS 的一组基，因此

W(λru+μrv)=−λnu−μnv\mathcal W(\lambda \pmb r_u+\mu \pmb r_v)=-\lambda \pmb n_u-\mu \pmb n_v

特别地

W(ru)=−nu,W(rv)=−nv,W(dr)=−dn\mathcal W(\pmb r_u)=-\pmb n_u,\quad \mathcal W(\pmb r_v)=-\pmb n_v,\quad \mathcal W(\mathrm d\pmb r)= -\mathrm d\bold n

Corollary. Weingarten 变换在同向参数变换下不变。

证明

Proof. 因为 W(dr)=−dn\mathcal W(\mathrm d\pmb r)=-\mathrm d\bold n，但它们与同向参数选取无关。

Corollary. 对曲面 SS 上 PP 点处任一单位切向量 v∈TPS\pmb v\in T_PS，法曲率

κn(v)=⟨W(v),v⟩\kappa_n(\pmb v)=\langle \mathcal W(\pmb v),\pmb v\rangle

证明

Proof. 设 v=λru+μrv\pmb v=\lambda \pmb r_u+\mu \pmb r_v，则

κn(v)=Lλ2+2Mλμ+Nμ2=⟨−(λnu+μnv),λru+μrv⟩=⟨W(v),v⟩\kappa_n(\pmb v)=L\lambda ^2+2M\lambda \mu +N\mu ^2=\langle -(\lambda \pmb n_u+\mu \pmb n_v),\lambda \pmb r_u+\mu \pmb r_v\rangle=\langle \mathcal W(\pmb v),\pmb v\rangle

Corollary. Weingarten 变换是自伴随的，即

⟨W(u),v⟩=⟨u,W(v)⟩,∀u,v∈TPS\langle \mathcal W(\pmb u),\pmb v\rangle=\langle \pmb u,\mathcal W(\pmb v)\rangle,\quad \forall \pmb u,\pmb v\in T_PS

证明

Proof. 设 u=λ1ru+μ1rv\pmb u=\lambda _1 \pmb r_u+\mu _1 \pmb r_v，v=λ2ru+μ2rv\pmb v=\lambda _2 \pmb r_u+\mu _2 \pmb r_v，则

⟨W(u),v⟩=⟨−(λ1nu+μ1nv),λ2ru+μ2rv⟩=−λ1λ2⟨nu,ru⟩−(λ1μ2+μ1λ2)⟨nu,rv⟩−μ1μ2⟨nv,rv⟩=λ1λ2L+(λ1μ2+μ1λ2)M+μ1μ2N\begin{array}{ll}\langle \mathcal W(\pmb u),\pmb v\rangle&=\langle -(\lambda _1 \pmb n_u+\mu _1 \pmb n_v),\lambda _2 \pmb r_u+\mu _2 \pmb r_v\rangle\\ \\&=-\lambda _1 \lambda _2 \langle \pmb n_u,\pmb r_u\rangle-(\lambda _1 \mu _2+\mu _1 \lambda _2)\langle \pmb n_u,\pmb r_v\rangle -\mu _1 \mu _2 \langle \pmb n_v,\pmb r_v\rangle\\ \\&=\lambda _1 \lambda _2 L+(\lambda _1 \mu _2+\mu _1 \lambda _2)M+\mu _1 \mu _2 N\end{array}

对称性显然。

Remark. 据此，可以定义双线性形式 II(⋅,⋅)II(\cdot,\cdot)

II(u,v):=⟨W(u),v⟩,∀u,v∈TPSII(\pmb u,\pmb v):=\langle \mathcal W(\pmb u),\pmb v\rangle,\quad \forall \pmb u,\pmb v\in T_PS

这满足 II(u,v)=II(v,u)II(\pmb u,\pmb v)=II(\pmb v,\pmb u)，且 II(v,v)=κn(v)II(\pmb v,\pmb v)=\kappa_n(\pmb v) 是第二基本形式。

# 主曲率与 Gauss 曲率

# 主曲率与 Gauss 曲率

因为 Weingarten 变换是自伴随的线性变换，所以有实特征值 kk，以及特征向量。

Definition. 存在 k∈R,v≠0k\in \mathbb R,\pmb v\neq 0 使得

W(v)=kv\mathcal W(\pmb v)=k\pmb v

则称 kk 为曲面 SS 在点 PP 处的主曲率，v\pmb v 为对应的主方向。

Remark. 不同主曲率的主方向是正交的。两个主曲率相等时，曲面在该点为脐点，任意切向都是主方向。

Theorem. 主曲率满足特征方程

k2−(LG−2MF+NEEG−F2)k+LN−M2EG−F2=0k^2-\left(\dfrac{LG-2MF+NE}{EG-F^2}\right)k+\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}=0

所以主曲率（可重）k1,k2k_1,k_2 满足

k1+k2=2H,k1k2=Kk_1+k_2=2H,\quad k_1k_2=K

其中，HH 为曲面 SS 在点 PP 处的平均曲率，KK 为曲面 SS 在点 PP 处的 Gauss 曲率。

Corollary. 曲面 SS 在点 PP 处的主曲率为

k1,2=H±H2−Kk_{1,2}=H\pm \sqrt{H^2-K}

Remark. 虽然 H,KH,K 都是光滑函数，但主曲率 k1,k2k_1,k_2 不一定是光滑函数，例如在脐点处，即 H2−K=0H^2-K=0 处。

Theorem. 曲面 SS 在点 PP 处的主方向 (du:dv)(\mathrm du:\mathrm dv) 满足特征方程

∣(dv)2−dudv(du)2EFGLMN∣=0\left|\begin{matrix}(\mathrm dv)^2 & -\mathrm du\mathrm dv & (\mathrm du)^2\\ E & F & G\\ L& M & N\end{matrix}\right|=0

证明思路

Proof. 设 v=λru+μrv\pmb v=\lambda \pmb r_u+\mu \pmb r_v 为主方向，则

W(v)=−λnu−μnv=k(λru+μrv)\mathcal W(\pmb v)=-\lambda \pmb n_u-\mu \pmb n_v=k(\lambda \pmb r_u+\mu \pmb r_v)

做内积运算，得到连等式

λL+μMλE+μF=λM+μNλF+μG=k\dfrac {\lambda L+\mu M}{\lambda E+\mu F}=\dfrac {\lambda M+\mu N}{\lambda F+\mu G}=k

这是齐次式，消去 kk 即得特征方程。

Corollary. 在切平面 TPST_PS 的基 {ru,rv}\{\pmb r_u,\pmb r_v\} 下，Weingarten 变换的矩阵表示为

W=(LMMN)(EFFG)−1=1EG−F2(LG−MFME−LFMG−NFNE−MF)W=\begin{pmatrix}L&M\\ M&N\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E&F\\ F&G\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac 1{EG-F^2}\begin{pmatrix}LG- MF& ME-LF\\ MG-NF& NE-MF\end{pmatrix}

即

W(rurv)=(−nu−nv)=W(rurv)\mathcal W\begin{pmatrix}\pmb r_u\\ \pmb r_v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\pmb n_u\\ -\pmb n_v\end{pmatrix}=W\begin{pmatrix}\pmb r_u\\ \pmb r_v\end{pmatrix}

证明思路

Proof. 对形式矩阵作 ru,rv\pmb r_u,\pmb r_v 的内积即可。

W(rurv)=(−nu−nv)=W(rurv)\mathcal W\begin{pmatrix}\pmb r_u\\ \pmb r_v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\pmb n_u\\ -\pmb n_v\end{pmatrix}=W\begin{pmatrix}\pmb r_u\\ \pmb r_v\end{pmatrix}

Corollary. Gauss 曲率满足

nu∧nv=Kru∧rv\pmb n_u\wedge \pmb n_v=K \pmb r_u\wedge \pmb r_v

# 曲率线

Definition. 曲面 SS 上的一条曲线 CC 在每一点的切向量都是曲面在该点的主方向，则称 CC 为曲面 SS 上的曲率线。

Theorem. 曲线 r(t)\pmb r(t) 是曲面 SS 上的曲率线，当且仅当

drdt∥dndt\dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}\parallel \dfrac {\mathrm d\pmb n}{\mathrm dt}

证明思路

Proof. 观察

−dndt=W(drdt)=λdrdt-\dfrac {\mathrm d\pmb n}{\mathrm dt}=\mathcal W\left(\dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}\right)=\lambda \dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}

Corollary. 在非脐点邻域内，曲面的参数曲线网是曲率线网，当且仅当 F=M=0F=M=0。

Lemma. 设曲面 SS 有两个线性无关的 C∞C^\infty 切向量场 a(u,v),b(u,v)\pmb a(u,v),\pmb b(u,v)，则对每一点 P∈SP\in S，都存在点 PP 的邻域 U⊆SU\subseteq S 使得 UU 上存在新参数系 (u‾,v‾)(\overline u,\overline v) 满足

ru‾=a(u,v),rv‾=b(u,v)\pmb r_{\overline u}=\pmb a(u,v),\quad \pmb r_{\overline v}=\pmb b(u,v)

///////////////////////
/////////////////

////////////////////////////

/////////////////////////////////////////////

# Euler 公式

Proposition. 设 k1,k2k_1,k_2 为曲面 SS 在点 PP 处的两个主曲率，e1,e2\pmb e_1,\pmb e_2 为对应的单位（正交）主方向，则任意单位切向量 v∈TPS\pmb v\in T_PS 在该方向的法曲率为

κn(v)=k1cos⁡2θ+k2sin⁡2θ\kappa_n(\pmb v)=k_1\cos^2 \theta +k_2\sin^2 \theta

其中，θ\theta 为 v\pmb v 与 e1\pmb e_1 之间的夹角。

Remark. 主曲率不等时，法曲率极值在主方向上取得；相等时，法曲率在各个方向上都相等。

# 特殊曲面

# 旋转曲面

Definition. xzxz 平面上与 zz 轴不交的参数曲线 x=f(u),z=g(u)x=f(u),z=g(u) 绕 zz 轴旋转一周生成的曲面称为旋转曲面，其参数表示为

r(u,v)=(f(u)cos⁡v,f(u)sin⁡v,g(u)),f>0\pmb r(u,v)=(f(u)\cos v,f(u)\sin v,g(u)),\quad f>0

Lemma. 在取弧长参数 f′2+g′2=1f'^2+g'^2=1 时，旋转曲面的曲率量为：

K=−f′′f,H=12(g′f−f′′g′),k1=−f′′g′,k2=g′fK=-\dfrac{f''}f,\quad H=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{g'}f-\dfrac{f''}{g'}\right),\quad k_1=-\dfrac {f''}{g'},\quad k_2=\dfrac {g'}{f}

Proposition. 常 Gauss 曲率的旋转曲面：

  1. 如果 K=c2>0K=c^2>0，则包含特殊情况为半径为 c−1c^{-1} 的球面；
  2. 如果 K=0K=0，则为圆柱面、平面或圆锥面；
  3. 如果 K=−c2<0K=-c^2<0，则包含特殊情况为伪球面。

Proposition. 常平均曲率的旋转曲面：

  1. 如果 H=0H=0，则为旋转极小曲面，包含特殊情况为悬链面，由 x=acosh⁡z/ax=a\cosh z/a 绕 zz 轴旋转一周生成；
  2. 如果 H≠0H\ne 0，则为 Delaunay 曲面。

# 直纹面与可展曲面

Definition. 直纹面是由单参数直线族构成的曲面，参数表达为

r(u,v)=a(u)+vb(u)\pmb r(u,v)=\pmb a(u)+v\pmb b(u)

其中，当 uu 固定时，称 r(u,v)\pmb r(u,v) 为直母线。

Corollary. 直纹面的 Gauss 曲率恒为非正值。

Remark. Gauss 曲率为零的直纹面称为可展曲面。

Lemma. 直纹面 r(u,v)=a(u)+vb(u)\pmb r(u,v)=\pmb a(u)+v\pmb b(u) 为可展曲面的充分必要条件为

  1. (a′,b,b′)=0(\pmb a',\pmb b,\pmb b')=0；
  2. 沿着直母线，直纹面的法向量不变，即 n(u,v1)=n(u,v2)\pmb n(u,v_1)=\pmb n(u,v_2)。

Definition. 空间正则曲线的切线全体构成的直纹面称为切线面。

Proposition. 可展曲面分类，首先 r(u,v)=a(u)+vb(u)\pmb r(u,v)=\pmb a(u)+v\pmb b(u) 为可展曲面，当且仅当成立

(a′,b,b′)=0(\pmb a',\pmb b,\pmb b')=0

  1. 若 b∧b′≡0\pmb b\wedge \pmb b'\equiv 0，则曲面为柱面；
  2. 若 b∧b′≠0\pmb b\wedge \pmb b'\ne 0，则存在表达

a′~(u)=[λ(u)−μ′(u)]b(u)\tilde {\pmb a'}(u)=[\lambda (u)-\mu'(u)]\pmb b(u)

2.1. 若 a′≡0\pmb a'\equiv 0，则曲面为锥面；
2.2. 否则，曲面为切线面。

# 全脐点曲面

Definition. 曲面 SS 上的每一点均为脐点，则称 SS 为全脐点曲面，这当且仅当

II=λ(u,v)III=\lambda (u,v)I

其中，λ(u,v)\lambda (u,v) 为某标量函数。

Theorem. 曲面是全脐点曲面，当且仅当曲面为球面（的部分）或平面（的部分）。

# 柱面

柱面的基本形式

# 平面与球面

# 球面的参数表示

Theorem. 曲面是平面，当且仅当其第二基本形式恒为零。

证明思路

Proof. 证明 n\pmb n 为常向量即可。考虑证明 nu=nv=0\pmb n_u=\pmb n_v=0。从而

⟨r−r0,n0⟩=0\langle \pmb r-\pmb r_0,\pmb n_0\rangle=0

Theorem. 曲面是球面（的部分），当且仅当 λ−1(P)II(P)=I(P)\lambda^{-1} (P)II(P)=I(P) 恒成立。

Remark. 因为 I≠0I\neq 0，所以 II(P),λ(P)≠0II(P),\lambda (P)\neq 0 恒成立。

证明思路

必要性。考虑对以下式子微分

⟨r−r0,r−r0⟩=R2\langle \pmb r-\pmb r_0,\pmb r-\pmb r_0\rangle=R^2

因此 r−r0\pmb r-\pmb r_0 是垂直于 ru\pmb r_u 和 rv\pmb r_v 的向量。充分性。证明 r−λ−1n\pmb r-\lambda^{-1} \pmb n 是常向量即可。关键是注意到

nu+λru=0,nv+λrv=0;λu=λv=0\pmb n_u+\lambda \pmb r_u=0,\quad \pmb n_v+\lambda \pmb r_v=0;\quad \lambda _u=\lambda _v=0

Example. 将 xzxz 平面上一条曲线 (f(u),g(u)),f(u)>0(f(u),g(u)),f(u)>0 绕 zz 轴旋转一周生成旋转曲面 SS，其参数表示为

r(u,v)=(f(u)cos⁡v,f(u)sin⁡v,g(u))\pmb r(u,v)=(f(u)\cos v,f(u)\sin v,g(u))

其中 uu - 曲线叫经线，vv - 曲线叫纬线。

Example. 第一基本形式相同的曲面称为等距曲面。例如平面 r=(u,v,0)\pmb r=(u,v,0) 和圆柱面 r∗=(cos⁡u,sin⁡u,v)\pmb r^*=(\cos u,\sin u,v)。但它们的第二基本形式不同。

Remark. 第一基本形式不能区分等距曲面。

Example. 第一基本形式相差标量函数因子的曲面互为共形，与 du2+dv2\mathrm du^2+\mathrm dv^2 共形的曲面称为共形平坦曲面。例如，球面之间是共形的，球面是共形平坦曲面。

# 二次曲面

# 隐式曲面

# 基于隐函数定理

Example. 设 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0，当 Fz(x0,y0,z0)≠0F_z(x_0,y_0,z_0)\ne 0 时，隐函数定理保证在 (x0,y0)(x_0,y_0) 的某个邻域上存在 z=z(x,y)z=z(x,y)，使得

F(x,y,z(x,y))=0F(x,y,z(x,y))=0

因此可以将隐式曲面表示为参数曲面

r(x,y)=(x,y,z(x,y))\pmb r(x,y)=(x,y,z(x,y))

# 基于水平集

Example. 设 F(x,y,z)F(x,y,z) 是 R3\mathbb R^3 上开区域的一个光滑函数，考虑等值面

Sc={(x,y,z)∈R3:F(x,y,z)=c}S_c=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3:F(x,y,z)=c\}

ScS_c 在每一点处都是一个光滑曲面，称为 FF 的水平集曲面，如果

∇F(x0,y0,z0)≠0,∀P∈Sc\nabla F(x_0,y_0,z_0)\ne 0,\quad \forall P\in S_c