# 自然标架的运动方程

# 活动标架

Definition. $\{\pmb r(u,v); \pmb x_1,\pmb x_2,\pmb x_3\}$ 称为 $S$ 的活动标架，如果 $(\pmb x_1,\pmb x_2,\pmb x_3)\neq 0$。

Remark. Schmidt 正交化保证正交标架的存在性。

Remark. 通过研究曲面上的任意标架来研究曲面与标架无关的几何性质，是微分几何的一个基本方法。

# 自然标架的运动方程

# 张量记号

通过曲面 $S$ 上的自然标架 $\{\pmb r;\pmb r_u,\pmb r_v,\pmb n\}$ 研究曲面性质。

Notation. 采用如下张量记法

$$\pmb r=\pmb r(u^1,u^2);\quad \displaystyle \pmb r_\alpha=\frac{\partial \pmb r}{\partial u^\alpha};\quad \pmb r_{\alpha\beta}=\dfrac {\partial^2\pmb r}{\partial u^\beta\partial u^\alpha};\quad \pmb{n}_\alpha=\dfrac {\partial \pmb n}{\partial u^\alpha}$$

$$g_{\alpha\beta}=\langle\pmb r_\alpha , \pmb r_\beta\rangle\ ;\quad g=\det (g_{\alpha\beta});\quad (g_{\alpha\beta})=\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}$$

$$b_{\alpha\beta}=\langle \pmb r_{\alpha\beta},\pmb n\rangle=-\langle \pmb{r}_\alpha,\pmb{n}_\beta\rangle\ ;\quad b=\det(b_{\alpha\beta});\quad (b_{\alpha\beta})=\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}$$

$$(g^{\alpha\beta})=(g_{\alpha\beta})^{-1};\quad (b^\beta_\alpha)=(b_{\alpha\gamma})(g^{\gamma \beta})$$

Notation. Einstein 求和约定：上下重复指标表示求和。

# Christoffel 符号

将 $\pmb r_{\alpha\beta}$ 和 $\pmb n_\alpha$ 在自然标架下展开。

Lemma. 记 $\pmb r_{\alpha\beta},\pmb n_\alpha$ 在自然标架下展开式为

$$\pmb r_{\alpha\beta}=\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\pmb r_\gamma +b_{\alpha\beta}\pmb n;\quad \pmb n_\alpha =-b^\beta_\alpha \pmb r_\beta$$

其中系数 $\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}$ 称为第一类 Christoffel 符号，满足

$$\Gamma_{\alpha\beta}^\mu=\frac 12g^{\mu\gamma}\left(\frac{\partial g_{\beta\gamma}}{\partial u^\alpha}+\frac{\partial g_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}-\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}\right)$$

记 $\Gamma_{\gamma\alpha\beta}$ 为第二类 Christoffel 符号，满足

$$\Gamma_{\gamma\alpha\beta}=\Gamma_{\alpha\beta}^\xi g_{\xi\gamma}=\langle \pmb r_{\alpha\beta},\pmb r_\gamma\rangle =\frac 12\left(\frac{\partial g_{\beta\gamma}}{\partial u^\alpha}+\frac{\partial g_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}-\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}\right)$$

# 曲面的结构方程 I

Definition. 运动方程的可积条件是指向量场 $\pmb r(u,v),\pmb n(u,v)$ 满足如下方程组

$$\pmb r_{\alpha\beta}=\pmb r_{\beta\alpha};\quad \pmb r_{\alpha\beta\gamma}=\pmb r_{\alpha\gamma\beta};\quad \pmb n_{\alpha\beta}=\pmb n_{\beta\alpha}$$

Remark. 运动方程的可积条件要求 $\pmb r,\pmb r_\alpha,\pmb n$ 的混合偏导数交换。

Theorem. 运动方程的可积条件等价于

$$\begin{cases} \Gamma^\gamma_{\alpha\beta}=\Gamma^\gamma_{\beta\alpha},\quad b_{\alpha\beta}=b_{\beta\alpha}\\ \\ \dfrac {\partial b_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}+\Gamma^\xi_{\alpha\beta}b_{\xi\gamma}=\dfrac {\partial b_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}+\Gamma^\xi_{\alpha\gamma}b_{\xi\beta}\\ \\ \dfrac {\partial \Gamma^\sigma_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\Gamma^\sigma_{\mu\gamma}-b^\sigma_{\gamma}=\dfrac {\partial \Gamma^\sigma_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}+\Gamma^\mu_{\alpha\gamma}\Gamma^\sigma_{\mu\beta}-b^\sigma_{\beta}\end{cases}$$

Remark. 后两个式子左右是 $\beta,\gamma$ 交换的结果。它们分别叫做曲面的 Codazzi 方程和 Gauss 方程，合称为曲面的结构方程或 Gauss-Codazzi 方程。

Definiton. Riemann 记号定义为

$$R^\sigma_{\alpha\beta\gamma}=\dfrac {\partial \Gamma^\sigma_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}-\dfrac {\partial \Gamma^\sigma_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\Gamma^\sigma_{\mu\gamma}-\Gamma^\mu_{\alpha\gamma}\Gamma^\sigma_{\mu\beta}$$

$$R_{\delta\alpha\beta\gamma}=R^\sigma_{\alpha\beta\gamma}g_{\sigma\delta}$$

\\\\\\

Theorem.

# 正交活动标架法

Definition. 对曲面 $S$ 任意一点 $P$，取单位正交的切向量

$$\pmb e_1,\pmb e_2\in T_P(S);\quad \langle \pmb e_i,\pmb e_j\rangle=\delta_{ij}$$

以及单位法向量 $\pmb e_3=\pmb e_1\wedge \pmb e_2$，则 $\{\pmb r;\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\}$ 称为沿曲面 $S$ 的（单位）正交标架场。

Remark. $\pmb e_3$ 可能与曲面的法向量 $\pmb n$ 反向。

# 微分形式

# 正交标架的运动方程

Definition. 令 $\omega_i$ 为 $S$ 上的微分 $1$ - 形式，满足

$$\mathrm d\pmb r=\omega_1\pmb e_1+\omega_2\pmb e_2$$

# 基变换矩阵与 Weingarten 变换矩阵

Remark. 同法向的单位正交标架之间的变换为 $SO(2)$ 旋转变换，因此

$$\begin{pmatrix}\pmb e_1\\ \pmb e_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\tilde {\pmb e_1}\\ \tilde{\pmb e_2}\end{pmatrix}$$

# 相关推论

# 曲面正交标架

研究自然标架和一般正交标架之间的关系。

Remark. $\omega_i$ 也被称为 $e_i$ 的对偶形式。根据展开式

$$\mathrm d\pmb r=(a_{11}\mathrm du +a_{12}\mathrm dv)\pmb e_1 +(a_{21}\mathrm du +a_{22}\mathrm dv)\pmb e_2$$

知道小位移 $\mathrm d\pmb r$ 在 $e_1,e_2$ 方向上的投影分别为 $\omega_1,\omega_2$。所以 $\mathrm d\pmb r$ 如果与 $\pmb e_i$ 平行，则 $\omega_j=0(j\neq i)$，这就说明了对偶关系（理解为投影）

$$\omega_i(\pmb e_j)=\delta_{ij}$$

Remark. $\omega_i,\omega_{ij}$ 都是曲面 $S$ 上的微分 $1$ - 形式。$\mathrm d\pmb r$ 称为平移形式，$\mathrm d\pmb e_i$ 称为旋转形式，$\omega_{ij}$ 称为联络形式。

Lemma. $B$ 是对称矩阵。

# 曲面的结构方程 II

通过微分，正交标架不依赖于曲面的参数。

# 外微分法

Definition. 定义平面区域 $D$ 上的微分形式：

1. $0$ 次微分形式是 $D$ 上的光滑函数；
2. $2$ 次微分形式形如

$$\lambda(u,v)\mathrm du\wedge \mathrm dv,\quad \lambda \in C^\infty(D)$$

3. $1$ 次微分形式形如

$$\theta(u,v)=f(u,v)\mathrm du+g(u,v)\mathrm dv,\quad f,g\in C^\infty(D)$$

Definition. 定义外积 $\wedge$ 为二元运算，满足线性性和反称性。对 $1$ 次微分形式 $\theta_i$：

$$(f\theta_1+g\theta_2)\wedge \theta =f(\theta_1\wedge \theta)+g(\theta_2\wedge \theta)$$

$$\theta_1\wedge \theta_2=-\theta_2\wedge \theta_1$$

Remark. $0$ 次微分形式与其他微分形式的外积运算就是乘积运算；$1$ 次微分形式和 $2$ 次微分形式的外积运算在 $\mathbb R^3$ 上是 $0$，因为 $\mathrm du\wedge \mathrm du=\mathrm dv\wedge \mathrm dv=0$。

Definition. 定义微分形式的外微分 $\mathrm d$ 为

1. 对 $0$ 次微分形式 $f\in C^\infty(D)$：

$$\mathrm d f=\frac{\partial f}{\partial u}\mathrm du+\frac{\partial f}{\partial v}\mathrm dv$$

2. 对 $1$ 次微分形式 $\theta=f\mathrm du+g\mathrm dv$：

$$\mathrm d\theta=\mathrm df\wedge \mathrm du+\mathrm dg\wedge\mathrm dv=\left(\frac{\partial g}{\partial u}-\frac{\partial f}{\partial v}\right)\mathrm du\wedge \mathrm dv$$

3. 对 $2$ 次微分形式 $\varphi=\lambda \mathrm du\wedge \mathrm dv$，定义

$$\mathrm d\varphi=\mathrm d\lambda \wedge \mathrm du\wedge \mathrm dv=0$$

Remark. $0$ 次微分形式应当放在 $1$ 微分形式的左侧。

# 曲面的结构方程

通过对曲面正交标架的运动方程取外微分，可以证明

Theorem. Gauss-Codazzi 方程，即曲面的结构方程等价于

$$\left\{\begin{array}{ll}\mathrm d\omega_1=\omega_{12}\wedge \omega_2\\ \\ \mathrm d\omega_2=\omega_{21}\wedge \omega_1\\ \\ \mathrm d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}\\ \\ \mathrm d\omega_{13}=\omega_{12}\wedge \omega_{23}\\ \\ \mathrm d\omega_{23}=\omega_{21}\wedge \omega_{13}\end{array}\right.$$

Proof. 对运动方程两边取外微分，注意到

$$\mathrm d\mathrm df=0\iff \dfrac {\partial}{\partial u^\beta}\dfrac {\partial f}{\partial u^\alpha}=\dfrac {\partial}{\partial u^\alpha}\dfrac {\partial f}{\partial u^\beta}$$

所以方程组等于 $0$ 等价于对 $\pmb r,\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3$ 的混合偏导数交换，即运动方程的可积条件，即曲面的结构方程。而

1. $\mathrm d\mathrm d\pmb r=0$ 等价于

$$\left\{\begin{array}{ll}\mathrm d\omega_1=\omega_{12}\wedge \omega_2\\ \\ \mathrm d\omega_2=\omega_{21}\wedge \omega_1\end{array}\right.$$

以及 $\omega_1\wedge \omega_{13}+\omega_2\wedge \omega_{23}=0$，这一条等价于 Weingarten 变换矩阵 $B$ 对称。

1. $\mathrm d\mathrm d\pmb e_{1,2}=0$ 等价于

$$\mathrm d\omega_{\alpha k}=\sum ^3_{j=1}\omega_{\alpha j}\wedge \omega_{j k},\quad \alpha=1,2;k=1,2,3$$

其中有三个独立方程，前者等价于 Gauss 方程，后两个等价于 Codazzi 方程。

$$\left\{\begin{array}{ll}\mathrm d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}=-K\omega_1\wedge \omega_2\\ \\ \mathrm d\omega_{13}=\omega_{12}\wedge \omega_{23}\\ \\ \mathrm d\omega_{23}=\omega_{21}\wedge \omega_{13}\end{array}\right.$$

1. $\mathrm d\mathrm d\pmb e_3=0$ 的等价方程已经蕴含于 $\mathrm d\mathrm d\pmb e_{1,2}=0$ 中，没有新方程。得证。

Remark. 上述五条称为曲面的结构方程。在 $\mathrm d\mathrm d\pmb r$ 中的第三条方程 $\omega_1\wedge \omega_{13}+\omega_2\wedge \omega_{23}=0$，这等价于 $h_{12}=h_{21}$。在后续的曲面结构定理中，我们对矩阵的对称要求已经暗含了这一条。

# 可积

Remark. 曲面的结构方程就是运动方程的可积条件。根据 Pfaff 系统的可积条件，说明曲面上的路径积分是路径无关的。基于这个性质，我们可以通过运动方程反解曲面。

# 特殊情况的方程、例子

# Christoffel 符号在正交参数下的表达

Christoffel 符号在一般参数下可以展开，不过过于复杂，且不便于记忆。

Remark. 记忆方法。上指标确定分母，下指标根据指标容斥和杂合情况确定符号和分子：指标相斥，符号相斥、分子相斥；指标杂合，偏导杂合。这里的偏导杂合是相对于分母和偏导指标而言的。

$$\Gamma_{\alpha\beta}^\alpha=\dfrac 12\dfrac {g_{\alpha\alpha,\beta}}{g_{\alpha\alpha}};\quad \Gamma_{\beta\beta}^\alpha=-\dfrac 12\dfrac {g_{\beta\beta,\alpha}}{g_{\alpha\alpha}}$$

# 微分形式在正交参数下的表达

# Gauss-Codazzi 方程在正交参数下的表达

# 无脐点时取主方向为正交标架