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曲面内蕴几何学是研究曲面由第一基本形式所决定的几何，不依赖于曲面嵌入空间的方式。

# 等距变换

Remark. 等距变换推广了平面几何中合同变换的概念。

Definition. 设 S,S~S,\widetilde S是 R3\mathbb R^3 中的曲面，σ:S→S~\sigma:S\to\widetilde S是双射。如果在 σ\sigma 下，曲面 SS 上任意曲线 CC 的弧长与其在 S~\widetilde S对应的曲线 C~:=σ(C)\widetilde C:=\sigma(C) 的弧长相等，则称 σ\sigma 为 SS 到 S~\widetilde S的等距变换。

Remark. 几何意义上，等距变换通过不伸缩形变将一个曲面弯曲成新的曲面，这个过程不改变曲面上任意曲线的弧长。

Example. 平面和圆柱面之间存在等距变换，直观上就是将平面 “卷” 成柱面。

r(u,v)=(u,v,0),(u,v)∈(0,2π)×R\pmb r(u,v)=(u,v,0),\quad (u,v)\in(0,2\pi)\times \mathbb R

r~(u,v)=(cos⁡u,sin⁡u,v),(u,v)∈(0,2π)×R\widetilde{\pmb r}(u,v)=(\cos u,\sin u,v),\quad (u,v)\in(0,2\pi)\times \mathbb R

直接计算，在这个双射下，任意曲线的弧长函数保持不变。

Example. R3\mathbb R^3 的合同变换是等距变换，等距变换不一定是合同变换。

Remark. 定义中 σ\sigma 是双射，但后一句话指出曲线 CC 的像一定是曲线 C~\widetilde C，因此 σ\sigma 是光滑双射。

# 等距变换与第一基本形式

Proposition. 曲面 S=r(u,v)S=\pmb r(u,v) 和 S~=r~(u~,v~)\widetilde S=\widetilde{\pmb r}(\widetilde u,\widetilde v) 之间的光滑双射 σ:(u,v)↦(u~,v~)\sigma:(u,v)\mapsto(\widetilde u,\widetilde v) 是等距变换，当且仅当第一基本形式系数满足

[EFFG]=JσT[E~F~F~G~]Jσ,Jσ=∂(u~,v~)∂(u,v)=[u~uu~vv~uv~v].\begin{bmatrix}E & F \\[6pt] F & G\end{bmatrix}=J_\sigma^T\begin{bmatrix}\widetilde E & \widetilde F \\[6pt] \widetilde F & \widetilde G\end{bmatrix}J_\sigma,\quad J_\sigma=\dfrac {\partial(\widetilde u,\widetilde v)}{\partial(u,v)}=\begin{bmatrix}\widetilde u_u & \widetilde u_v \\[6pt] \widetilde v_u & \widetilde v_v\end{bmatrix}.

Sketch Proof. 根据定义，σ\sigma 是等距变换，当且仅当保持弧长不变，即

[dudv][EFFG][dudv]=ds2(u,v)=ds~2(u~,v~)=[du~dv~][E~F~F~G~][du~dv~].\begin{bmatrix}\mathrm d u & \mathrm d v\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E & F \\[6pt] F & G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathrm d u \\[6pt] \mathrm d v\end{bmatrix}= \mathrm d s^2(u,v)=\mathrm d\widetilde s^2(\widetilde u,\widetilde v)=\begin{bmatrix}\mathrm d \widetilde u & \mathrm d \widetilde v\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\widetilde E & \widetilde F \\[6pt] \widetilde F & \widetilde G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathrm d \widetilde u \\[6pt] \mathrm d \widetilde v\end{bmatrix}.

结合变换的微分关系，即可得到所需结论。

[du~dv~]=Jσ[dudv],\begin{bmatrix}\mathrm d \widetilde u \\[6pt] \mathrm d \widetilde v\end{bmatrix}=J_\sigma\begin{bmatrix}\mathrm d u \\[6pt] \mathrm d v\end{bmatrix},

Remark. 保持弧长不变等价于保持第一基本形式不变，等价于第一基本形式系数有如上关系。保持第一基本形式不变的双射一定是等距变换。内蕴几何之后的所有讨论都在等距变换下进行。

Example. 特殊螺旋面和悬链面之间存在等距变换。

{r(u,v)=(ucos⁡v,usin⁡v,v),(u,v)∈(0,∞)×(0,2π);r(ρ,θ)=(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,arcoshρ),(ρ,θ)∈(1,∞)×(0,2π).\begin{cases}\pmb r(u,v)=(u\cos v,u\sin v,v),&(u,v)\in (0,\infty)\times (0,2\pi);\\ \\ \pmb r(\rho,\theta)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,\mathrm{arcosh} \rho),&(\rho,\theta)\in (1,\infty)\times (0,2\pi ).\end{cases}

# 等距变换与正交标架

Proposition. 设 σ:S→S~\sigma:S\to\widetilde S是曲面 SS 到 S~\widetilde S的可微双射，则 σ\sigma 是等距变换，当且仅当在对应点上存在正交标架 {e1,e2,e3}\{\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\} 和 {e~1,e~2,e~3}\{\widetilde{\pmb e}_1,\widetilde{\pmb e}_2,\widetilde{\pmb e}_3\}，使得

ω1=ω~1,ω2=ω~2\omega_1=\widetilde\omega_1,\quad \omega_2=\widetilde\omega_2

Sketch Proof. 充分性：σ\sigma 保持第一基本形式不变，即保持弧长不变。

I=ω12+ω22=ω~12+ω~22=I~I=\omega_1^2+\omega_2^2=\widetilde\omega_1^2+\widetilde\omega_2^2=\widetilde I

必要性：若 σ\sigma 是等距变换，则由线性无关性，不妨设

[ω~1ω~2]=[a11a12a21a22][ω1ω2]\begin{bmatrix}\widetilde\omega_1 \\[6pt] \widetilde\omega_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12} \\[6pt] a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega_1 \\[6pt] \omega_2\end{bmatrix}

由于等距变换保持第一基本形式不变，所以上述矩阵是正交矩阵，所以通过调整正交标架，就可以调整上述矩阵为单位阵。

# 等距变换与切映射

回顾曲面在某点的切平面是 ru,rv\pmb r_u,\pmb r_v 所张成的平面，等价于曲面在该点切向量全体的集合。

Definition. 设 v=aru+brv∈TPS\pmb v=a\pmb r_u+b\pmb r_v\in T_PS，光滑双射 σ:S→S~\sigma:S\to \widetilde S在点 PP 处的切映射定义为

σ∗:TPS→Tσ(P)S~;σ∗(v)=r~u~(a∂u~∂u+b∂u~∂v)∣t=0+r~v~(a∂v~∂u+b∂v~∂v)∣t=0\sigma_{*}:T_PS\to T_{\sigma (P)}\widetilde S;\quad \sigma_*(\pmb v)=\widetilde{\pmb r}_{\widetilde u}\left(a\dfrac {\partial \widetilde u}{\partial u}+b\dfrac {\partial \widetilde u}{\partial v}\right)\Big|_{t=0}+\widetilde{\pmb r}_{\widetilde v}\left(a\dfrac {\partial \widetilde v}{\partial u}+b\dfrac {\partial \widetilde v}{\partial v}\right)\Big|_{t=0}

Remark. 曲面间的光滑双射 σ\sigma 诱导了切平面之间的映射，且是良定义的。

具体而言，切映射处理切向量的过程可以拉回到光滑双射处理曲线的过程。对于选定的切向量 v∈TPS\pmb v\in T_PS，存在曲线 r:(−ε,ε)→S\pmb r:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S，使得

r(0)=P,drdt(0)=rududt(0)+rvdvdt(0)=v\pmb r(0)=P,\quad \dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}(0)=\pmb r_u \dfrac {\mathrm du}{\mathrm dt}(0)+\pmb r_v \dfrac {\mathrm dv}{\mathrm dt}(0)=\pmb v

则 σ\sigma 作用在曲线 α\alpha 上，得到曲线 r~=σ∘r:(−ε,ε)→S~\widetilde {\pmb r}=\sigma\circ \pmb r:(-\varepsilon,\varepsilon)\to \widetilde S，其在 t=0t=0 处的切向量为

v~=dr~dt(0)=r~u~du~dt(0)+r~v~dv~dt(0)=r~u~(∂u~∂u⋅dudt(0)+∂u~∂v⋅dvdt(0))+r~v~(∂v~∂u⋅dudt(0)+∂v~∂v⋅dvdt(0))=σ∗(v)\begin{array}{ll}\widetilde {\pmb v}&=\dfrac {\mathrm d\widetilde{\pmb r}}{\mathrm dt}(0)=\widetilde{\pmb r}_{\widetilde u}\dfrac {\mathrm d\widetilde u}{\mathrm dt}(0)+\widetilde{\pmb r}_{\widetilde v}\dfrac {\mathrm d\widetilde v}{\mathrm dt}(0)\\ \\\displaystyle&=\widetilde{\pmb r}_{\widetilde u}\left(\dfrac {\partial \widetilde u}{\partial u}\cdot \dfrac {\mathrm du}{\mathrm dt}(0)+\dfrac {\partial \widetilde u}{\partial v}\cdot \dfrac {\mathrm dv}{\mathrm dt}(0)\right)+\widetilde{\pmb r}_{\widetilde v}\left(\dfrac {\partial \widetilde v}{\partial u}\cdot \dfrac {\mathrm du}{\mathrm dt}(0)+\dfrac {\partial \widetilde v}{\partial v}\cdot \dfrac {\mathrm dv}{\mathrm dt}(0)\right)=\sigma_*(\pmb v)\end{array}

这个过程只与曲线在点 PP 处的切向量有关，和曲线的选取无关。

Corollary. 设 σ:S→S~\sigma:S\to \widetilde S是曲面间的光滑双射，则对任意 P∈SP\in S，切映射 σ∗:TPS→Tσ(P)S~\sigma_*:T_PS\to T_{\sigma(P)}\widetilde S是线性同构，并且在自然标架下

[σ∗(ru)σ∗(rv)]=[r~u~r~v~]Jσ\begin{bmatrix}\sigma_*(\pmb r_u) & \sigma_*(\pmb r_v)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\widetilde{\pmb r}_{\widetilde u} & \widetilde{\pmb r}_{\widetilde v}\end{bmatrix}J_\sigma

将一般切向量写成这组基的线性组合形式，就有如下推论。

Proposition. 设 σ:S→S~\sigma:S\to \widetilde S是曲面间的光滑双射，则 σ\sigma 是等距变换，当且仅当对任意 P∈SP\in S，切映射 σ∗:TPS→Tσ(P)S~\sigma_*:T_PS\to T_{\sigma(P)}\widetilde S是保内积的线性同构。

⟨σ∗(v),σ∗(w)⟩=⟨v,w⟩,∀v,w∈TPS\langle \sigma_*(\pmb v),\sigma_*(\pmb w)\rangle=\langle \pmb v,\pmb w\rangle,\quad \forall \pmb v,\pmb w\in T_PS

Sketch Proof. 不妨设系数矩阵

[vw]=[rurv]B,(gαβ)=[vTwT][vw]=[vTvvTwwTvwTw]\begin{bmatrix}\pmb v & \pmb w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pmb r_u & \pmb r_v\end{bmatrix}B,\quad (g_{\alpha\beta})=\begin{bmatrix}\pmb v^T \\[6pt] \pmb w^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\pmb v & \pmb w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}v^T v & v^T w \\[6pt] w^T v & w^T w\end{bmatrix}

则根据切映射的定义

[σ∗(v)σ∗(w)]=[r~u~r~v~]JσB,(g~αβ)=[σ∗(v)Tσ∗(w)T][σ∗(v)σ∗(w)]\begin{bmatrix}\sigma_*(\pmb v) & \sigma_*(\pmb w)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\widetilde{\pmb r}_{\widetilde u} & \widetilde{\pmb r}_{\widetilde v}\end{bmatrix}J_\sigma B,\quad ( \widetilde g_{\alpha\beta})=\begin{bmatrix}\sigma_*(\pmb v)^T \\[6pt] \sigma_*(\pmb w)^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sigma_*(\pmb v) & \sigma_*(\pmb w)\end{bmatrix}

再应用等距变换保持第一基本形式不变的性质，即可得到所需结论。

Remark. 等距变换保持第一基本形式不变，也保持切平面上切向量的内积、夹角不变。

# 保角变换

Definition. 设 σ:S→S~\sigma:S\to \widetilde S是曲面间的光滑双射，如果在 σ\sigma 下，曲面 SS 上任意两条相交曲线的夹角与其在 S~\widetilde S对应的曲线的夹角相等，则称 σ\sigma 为 SS 到 S~\widetilde S的保角变换。

Remark. 合同变换 —— 等距变换 —— 保角变换，这三者的关系是从小到大的包含关系。

# 保角变换与第一基本形式

Proposition. 设 σ:S→S~\sigma:S\to \widetilde S是曲面间的光滑双射，则 σ\sigma 是保角变换，当且仅当存在正函数 λ:S→R+\lambda:S\to \mathbb R^+，使得在对应点上的第一基本形式满足

I~=λ2I\widetilde I=\lambda^2 I

Sketch Proof. σ\sigma 是保角变换，当且仅当对任意切向量 v,w∈TPS\pmb v,\pmb w\in T_PS，有

⟨σ∗(v),σ∗(w)⟩∥σ∗(v)∥∥σ∗(w)∥=⟨v,w⟩∥v∥∥w∥\dfrac {\langle \sigma_*(\pmb v),\sigma_*(\pmb w)\rangle}{\|\sigma_*(\pmb v)\|\|\sigma_*(\pmb w)\|}=\dfrac {\langle \pmb v,\pmb w\rangle}{\|\pmb v\|\|\pmb w\|}

充分性，因为第一基本形式满足 I~=λ2I\widetilde I=\lambda^2 I，所以

[dudv]JσT[E~F~F~G~]Jσ[dudv]=λ2[dudv][EFFG][dudv]\begin{bmatrix}\mathrm du & \mathrm dv\end{bmatrix}J_\sigma^T\begin{bmatrix}\widetilde E & \widetilde F \\[6pt] \widetilde F & \widetilde G\end{bmatrix} J_\sigma \begin{bmatrix}\mathrm du \\[6pt] \mathrm dv\end{bmatrix}=\lambda^2 \begin{bmatrix}\mathrm du & \mathrm dv\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E & F \\[6pt] F & G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathrm du \\[6pt] \mathrm dv\end{bmatrix}

所以设 v=aru+brv,w=cru+drv\pmb v=a\pmb r_u+b\pmb r_v,\ \pmb w=c\pmb r_u+d\pmb r_v，则

⟨σ∗(v),σ∗(w)⟩=[ab][σ∗(ru)Tσ∗(rv)T][σ∗(ru)σ∗(rv)][cd]=[ab]JσT[E~F~F~G~]Jσ[cd]=λ2[ab][EFFG][cd]=λ2⟨v,w⟩\begin{array}{ll}\langle \sigma_*(\pmb v),\sigma_*(\pmb w)\rangle&=\begin{bmatrix}a & b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sigma_*(\pmb r_u)^T \\[6pt] \sigma_*(\pmb r_v)^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sigma_*(\pmb r_u) & \sigma_*(\pmb r_v)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c \\[6pt] d\end{bmatrix}\\ \\&=\begin{bmatrix}a & b\end{bmatrix}J_\sigma^T\begin{bmatrix}\widetilde E & \widetilde F \\[6pt] \widetilde F & \widetilde G\end{bmatrix} J_\sigma \begin{bmatrix}c \\[6pt] d\end{bmatrix}\\ \\&=\lambda^2 \begin{bmatrix}a & b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E & F \\[6pt] F & G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c \\[6pt] d\end{bmatrix}\\ \\&=\lambda^2 \langle \pmb v,\pmb w\rangle\end{array}

必要性，取 v,w\pmb v,\pmb w 为切平面的正交基 e1,e2\pmb e_1,\pmb e_2，就有 σ∗(e1),σ∗(e2)\sigma_*(\pmb e_1),\sigma_*(\pmb e_2) 也是正交的，但不是单位向量，设

λ2=⟨σ∗(e1),σ∗(e1)⟩=⟨σ∗(e2),σ∗(e2)⟩\lambda ^2=\langle \sigma_*(\pmb e_1),\sigma_*(\pmb e_1)\rangle=\langle \sigma_*(\pmb e_2),\sigma_*(\pmb e_2)\rangle

对于任意曲线 r⊆S\pmb r\subseteq S，有

⟨dσ∘rdt,dσ∘rdt⟩=⟨σ∗(drdt),σ∗(drdt)⟩=λ2⟨drdt,drdt⟩\left\langle \dfrac {\mathrm d\sigma \circ \pmb r}{\mathrm dt},\dfrac {\mathrm d\sigma \circ \pmb r}{\mathrm dt}\right\rangle=\left\langle \sigma_*\left(\dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}\right),\sigma_*\left(\dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}\right)\right\rangle=\lambda^2 \left\langle \dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt},\dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}\right\rangle

由于曲线是任意选取的，所以对于各个方向的切向量都成立，因此有

⟨dr~,dr~⟩=λ2⟨dr,dr⟩\langle \mathrm d\widetilde {\pmb r},\mathrm d\widetilde{\pmb r}\rangle=\lambda^2 \langle \mathrm d\pmb r,\mathrm d\pmb r\rangle

# 保角变换与正交标架

这是保角变换与第一基本形式关系的推论。

Proposition. 设 σ:S→S~\sigma:S\to \widetilde S是曲面间的光滑双射，则 σ\sigma 是保角变换，当且仅当在对应点上存在正交标架 {e1,e2}\{\pmb e_1,\pmb e_2\} 和 {e~1,e~2}\{\widetilde{\pmb e}_1,\widetilde{\pmb e}_2\}，使得 σ\sigma 的切映射满足

σ∗=λ⋅idTPS\sigma_*=\lambda\cdot \mathrm{id}_{T_PS}

其中 λ:S→R+\lambda:S\to \mathbb R^+ 是正函数。

# 协变微分

Remark. 协变微分是曲面内蕴几何学对平面几何学中微分概念的推广。

# 联络形式

由曲面结构定理可知，曲面需要满足如下结构方程组

{dω1=ω12∧ω2dω2=ω21∧ω1dω13=ω12∧ω23dω23=ω21∧ω13dω12=ω13∧ω32=−Kω1∧ω2\begin{cases}\mathrm d\omega_1=\omega_{12}\wedge \omega_2\\[6pt] \mathrm d\omega_2=\omega_{21}\wedge \omega_1\\[6pt] \mathrm d\omega_{13}=\omega_{12}\wedge \omega_{23}\\[6pt] \mathrm d\omega_{23}=\omega_{21}\wedge \omega_{13}\\[6pt] \mathrm d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}=-K\omega_1\wedge \omega_2\end{cases}

内蕴几何学中，我们关注正交标架 {e1,e2,e3}\{\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\} 中的前两个分量，即在曲面切平面内的分量，这反映了曲面的内蕴性质。而第三分量是法向的，依赖于曲面在空间中的嵌入方式，因此我们忽略第三分量，并且只考虑标架 {e1,e2}\{\pmb e_1,\pmb e_2\} 的运动。

Definition. 曲面的内蕴结构方程为

{dω1=ω12∧ω2dω2=ω21∧ω1dω12=−Kω1∧ω2=−dω21\begin{cases}\mathrm d\omega_1=\omega_{12}\wedge \omega_2\\[6pt] \mathrm d\omega_2=\omega_{21}\wedge \omega_1\\[6pt] \mathrm d\omega_{12}=-K\omega_1\wedge \omega_2=-\mathrm d\omega_{21}\end{cases}

其中，一阶微分形式 ω12\omega_{12} 称为曲面 SS 上的联络形式。

Proposition. 联络形式 ω12\omega_{12} 是唯一的。

Sketch Proof. 这个证明也给出了联络形式的计算方法。设

{dω1=aω1∧ω2dω2=bω1∧ω2\begin{cases}\mathrm d\omega_1=a\omega_1\wedge \omega_2\\[6pt] \mathrm d\omega_2=b\omega_1\wedge \omega_2\end{cases}

则 ω12=aω1+bω2\omega_{12}=a\omega_1+b\omega_2。唯一性通过 du,dv\mathrm du,\mathrm dv 是线性无关的来证明。

Proposition. 在旋转的正交标架下

[e~1e~2]=[cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ][e1e2]\begin{bmatrix}\widetilde{\pmb e}_1 \\[6pt] \widetilde{\pmb e}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\[6pt] -\sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\pmb e_1 \\[6pt] \pmb e_2\end{bmatrix}

则联络形式的变化为

ω~12=ω12+dθ\widetilde \omega_{12}=\omega_{12}+\mathrm d\theta

Remark. 联络形式 ω12\omega_{12} 只依赖于第一基本形式，是内蕴的；但依赖于正交标架的选取，不是几何的。

# Gauss 曲率

Theorem. 曲面的 Gauss 曲率 KK 只与曲面的第一基本形式有关。

Sketch Proof. 在给定正交标架后，由微分形式的定义和结构方程，有

ω1=⟨dr,e1⟩;ω2=⟨dr,e2⟩;dω12=−Kω1∧ω2\omega_1=\langle \mathrm d\pmb r,\pmb e_1\rangle;\quad \omega_2=\langle \mathrm d\pmb r,\pmb e_2\rangle;\quad \mathrm d\omega_{12}=-K\omega_1\wedge \omega_2

ω1,ω2,ω12=aω1+bω2\omega_1,\omega_2,\omega_{12}=a\omega_1+b\omega_2 只与第一基本形式有关，所以 ω1∧ω2\omega_1\wedge \omega_2 和 dω12\mathrm d\omega_{12} 只与第一基本形式有关。在正交标架变动时，即旋转角度时，ω1∧ω2\omega_1\wedge \omega_2 和 dω12\mathrm d\omega_{12} 都不变：

{dω~12=d(ω12+dθ)=dω12ω~1∧ω~2=⟨dr,cos⁡θe1+sin⁡θe2⟩∧⟨dr,−sin⁡θe1+cos⁡θe2⟩=ω1∧ω2\begin{cases}\mathrm d\widetilde \omega_{12}=\mathrm d(\omega_{12}+\mathrm d\theta)=\mathrm d\omega_{12}\\[6pt] \widetilde \omega_1\wedge \widetilde \omega_2=\langle \mathrm d\pmb r,\cos\theta \pmb e_1+\sin\theta \pmb e_2\rangle \wedge \langle \mathrm d\pmb r,-\sin\theta \pmb e_1+\cos\theta \pmb e_2\rangle=\omega_1\wedge \omega_2\end{cases}

因此 KK 只与第一基本形式有关。

Corollary. 互为等距的曲面，在对应点处的 Gauss 曲率相等。

Sketch Proof. 因为等距变换不改变第一基本形式，而 Gauss 曲率只与第一基本形式有关。

# 协变微分

在空间中正交标架场，曲面运动方程给出了

{de1=ω12e2+ω13e3de2=ω21e1+ω23e3de3=ω31e1+ω32e2\begin{cases}\mathrm d\pmb e_1=\omega_{12}\pmb e_2+\omega_{13}\pmb e_3\\[6pt] \mathrm d\pmb e_2=\omega_{21}\pmb e_1+\omega_{23}\pmb e_3\\[6pt] \mathrm d\pmb e_3=\omega_{31}\pmb e_1+\omega_{32}\pmb e_2\end{cases}

在曲面内蕴几何学中，我们只关注切平面内的分量，所以对上述运动方程做投影。

Remark. 标架切向量的微分在法向量的投影 ω13,ω23\omega_{13},\omega_{23} 决定了曲面的第二基本形式：

II=ω13ω1+ω23ω2II=\omega_{13}\omega_1+\omega_{23}\omega_2

在切平面的投影则与第二基本形式无关，只与第一基本形式有关。

Definition. 标架微分落在切平面的部分称为协变微分，记为 De1,De2\mathrm D\pmb e_1,\mathrm D\pmb e_2，即

De1=ω12e2,De2=ω21e1\mathrm D\pmb e_1=\omega_{12}\pmb e_2,\quad \mathrm D\pmb e_2=\omega_{21}\pmb e_1

设 v=f1e1+f2e2\pmb v=f_1\pmb e_1+f_2\pmb e_2 是曲面 SS 上的切向量场，则 v\pmb v 的协变微分定义为

Dv=(df1+f2ω21)e1+(df2+f1ω12)e2\mathrm D\pmb v=(\mathrm df_1+f_2\omega_{21})\pmb e_1+(\mathrm df_2+f_1\omega_{12})\pmb e_2

Proposition. 协变微分 Dv\mathrm D\pmb v 是切向量场 v\pmb v 的微分在切平面的投影，与正交标架的选取无关。

Dv=⟨dv,e1⟩e1+⟨dv,e2⟩e2\mathrm D\pmb v=\langle \mathrm d\pmb v,\pmb e_1\rangle \pmb e_1+\langle \mathrm d\pmb v,\pmb e_2\rangle \pmb e_2

Sketch Proof. 考虑到

⟨dv,e1⟩=⟨df1e1+df2e2+f1de1+f2de2,e1⟩=df1+f2ω21\langle \mathrm d\pmb v,\pmb e_1\rangle=\langle \mathrm df_1\pmb e_1+\mathrm df_2\pmb e_2+f_1\mathrm d\pmb e_1+f_2\mathrm d\pmb e_2,\pmb e_1\rangle=\mathrm df_1+f_2\omega_{21}

同理可得 ⟨dv,e2⟩=df2+f1ω12\langle \mathrm d\pmb v,\pmb e_2\rangle=\mathrm df_2+f_1\omega_{12}，这就是协变微分的表达式系数，并且与正交标架的选取无关。

Proposition. 协变微分和微分有相似之处。对 v,w∈TPS\pmb v,\pmb w\in T_PS，有

  1. D(v+w)=Dv+Dw\mathrm D(\pmb v+\pmb w)=\mathrm D\pmb v+\mathrm D\pmb w；
  2. D(fv)=dfv+fDv\mathrm D(f\pmb v)=\mathrm df \pmb v+f\mathrm D\pmb v；
  3. D⟨v,w⟩=⟨Dv,w⟩+⟨v,Dw⟩\mathrm D\langle \pmb v,\pmb w\rangle=\langle \mathrm D\pmb v,\pmb w\rangle+\langle \pmb v,\mathrm D\pmb w\rangle。

# Levi-Civita 平移

在平面上，将向量 v\pmb v 沿曲线 CC 平行移动到另一点 QQ，曲线上的每一个点都给出了向量 v\pmb v 平移到该点时的向量场 v(t)\pmb v(t)。平移的过程满足

dvdt=0\dfrac {\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}=0

Remark. Levi-Civita 平移是曲面内蕴几何学中平行移动的概念。

Definition. 设 S:r(u,v)S:\pmb r(u,v) 是 R3\mathbb R^3 中的曲面，P,QP,Q 为其上两点。设

γ:r(u(t),v(t)),t∈[0,1]\gamma:\pmb r(u(t),v(t)),\quad t\in [0,1]

是 SS 上连接 PP 和 QQ 的曲线。设 v=v(t)\pmb v=\pmb v(t) 是沿曲线 γ\gamma 的切向量场，若 v\pmb v 满足在曲面切平面上不变，即

Dvdt=(df1dt+f2ω21dt)e1+(df2dt+f1ω12dt)e2=0\dfrac {\mathrm D\pmb v}{\mathrm dt}=\left(\dfrac {\mathrm d f_1}{\mathrm dt}+f_2\dfrac {\omega_{21}}{\mathrm dt}\right)\pmb e_1+\left(\dfrac {\mathrm d f_2}{\mathrm dt}+f_1\dfrac {\omega_{12}}{\mathrm dt}\right)\pmb e_2=0

则称 v\pmb v 沿曲线 γ\gamma Levi-Civita 平行。

其中指出，若 ω12=adu+bdv\omega_{12}=a\mathrm du+b\mathrm dv，则

ω12dt=adudt+bdvdt\dfrac {\omega_{12}}{\mathrm dt}=a\dfrac {\mathrm du}{\mathrm dt}+b\dfrac {\mathrm dv}{\mathrm dt}

Corollary. 切向量场 v(t)=f1(t)e1+f2(t)e2\pmb v(t)=f_1(t)\pmb e_1+f_2(t)\pmb e_2 沿曲线 γ\gamma Levi-Civita 平行，当且仅当其系数满足如下微分方程组

{df1dt+f2ω21dt=0df2dt+f1ω12dt=0\begin{cases}\dfrac {\mathrm d f_1}{\mathrm dt}+f_2\dfrac {\omega_{21}}{\mathrm dt}=0\\[10pt] \dfrac {\mathrm d f_2}{\mathrm dt}+f_1\dfrac {\omega_{12}}{\mathrm dt}=0\end{cases}

# 存在唯一性

Remark. 对于任意切向量，都可以沿曲线 Levi-Civita 平行移动，这个过程是唯一的。

Proposition. 对于 SS 上任意的参数曲线 r(t)=r(u(t),v(t))\pmb r(t)=\pmb r(u(t),v(t)) 和初始切向量 v0∈Tr(0)S\pmb v_0\in T_{\pmb r(0)}S，存在唯一沿曲线 γ\gamma Levi-Civita 平行的切向量场 v(t)\pmb v(t)，使得 v(0)=v0\pmb v(0)=\pmb v_0。

Sketch Proof. 设切向量场 v(t)=f1(t)e1+f2(t)e2\pmb v(t)=f_1(t)\pmb e_1+f_2(t)\pmb e_2，在给定 t=0t=0 处的初始条件 v(0)=v0\pmb v(0)=\pmb v_0 下，系数 f1(t),f2(t)f_1(t),f_2(t) 满足 Levi-Civita 平行的微分方程组，有唯一解。

# 与平面平移的异同

# 测地曲率

# Laplace 算子

# Riemann 度量

Remark. 第一基本形式本质是定义在参数域上的正定二次微分式。Riemann 度量推广了曲面第一基本形式的概念。

Definition. 参数区域 D={(u,v)}D=\{(u,v)\} 上的正定二次微分式

Edudu+2Fdudv+GdvdvE\mathrm du\mathrm du+2F\mathrm du\mathrm dv+G\mathrm dv\mathrm dv

满足 E>0,EG−F2>0E>0,EG-F^2>0 时，称为是 DD 上的 Riemann 度量。

Remark. Riemann 度量要求系数矩阵非退化，但不要求 G>0G>0，因此不一定是第一基本形式。

# 度量与结构方程

# 切向量场与协变微分

# 测地曲率与测地线

# 等温坐标