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曲面内蕴几何学是研究曲面由第一基本形式所决定的几何，不依赖于曲面嵌入空间的方式。

# 等距变换

Remark. 等距变换推广了平面几何中合同变换的概念。

Definition. 设 S,S~S,\widetilde S是 R3\mathbb R^3 中的曲面，σ:S→S~\sigma:S\to\widetilde S是双射。如果在 σ\sigma 下，曲面 SS 上任意曲线 CC 的弧长与其在 S~\widetilde S对应的曲线 C~:=σ(C)\widetilde C:=\sigma(C) 的弧长相等，则称 σ\sigma 为 SS 到 S~\widetilde S的等距变换。

Remark. 定义中 σ\sigma 是双射，但后一句话指出曲线 CC 的像一定是曲线 C~\widetilde C，因此 σ\sigma 是光滑双射。

几何意义上，等距变换通过不伸缩形变将一个曲面弯曲成新的曲面，这个过程不改变曲面上任意曲线的弧长。

Example. 平面和圆柱面之间存在等距变换，直观上就是将平面 “卷” 成柱面。

r(u,v)=(u,v,0),(u,v)∈(0,2π)×R\pmb r(u,v)=(u,v,0),\quad (u,v)\in(0,2\pi)\times \mathbb R

r~(u,v)=(cos⁡u,sin⁡u,v),(u,v)∈(0,2π)×R\widetilde{\pmb r}(u,v)=(\cos u,\sin u,v),\quad (u,v)\in(0,2\pi)\times \mathbb R

直接计算，在这个双射下，任意曲线的弧长函数保持不变。

# 由第一基本形式及其系数矩阵刻画

Proposition. 等距变换保持弧长不变，则保持对应的第一基本形式不变，即

I(u,v)=I~(u~,v~)I(u,v)=\tilde I(\tilde u,\tilde v)

Proof. 因为等距变换保持弧长不变，所以

I(u,v)=⟨dr,dr⟩=⟨dσ(r),dσ(r)⟩=⟨dr~,dr~⟩=I~(u~,v~)I(u,v)=\langle \mathrm d\pmb r,\mathrm d\pmb r\rangle=\langle \mathrm d\sigma(\pmb r),\mathrm d\sigma(\pmb r)\rangle=\langle \mathrm d{\tilde{\pmb r}},\mathrm d{\tilde {\pmb r}}\rangle=\tilde I(\tilde u,\tilde v)

Proposition. 曲面 S=r(u,v)S=\pmb r(u,v) 和 S~=r~(u~,v~)\widetilde S=\widetilde{\pmb r}(\widetilde u,\widetilde v) 之间的光滑双射 σ:(u,v)↦(u~,v~)\sigma:(u,v)\mapsto(\widetilde u,\widetilde v) 是等距变换，当且仅当第一基本形式系数满足

[EFFG]=JσT[E~F~F~G~]Jσ,Jσ=∂(u~,v~)∂(u,v)=[u~uu~vv~uv~v].\begin{bmatrix}E & F \\[6pt] F & G\end{bmatrix}=J_\sigma^T\begin{bmatrix}\widetilde E & \widetilde F \\[6pt] \widetilde F & \widetilde G\end{bmatrix}J_\sigma,\quad J_\sigma=\dfrac {\partial(\widetilde u,\widetilde v)}{\partial(u,v)}=\begin{bmatrix}\widetilde u_u & \widetilde u_v \\[6pt] \widetilde v_u & \widetilde v_v\end{bmatrix}.

Proof. 根据定义，σ\sigma 是等距变换，当且仅当保持弧长不变，即

[dudv][EFFG][dudv]=ds2(u,v)=ds~2(u~,v~)=[du~dv~][E~F~F~G~][du~dv~].\begin{bmatrix}\mathrm d u & \mathrm d v\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E & F \\[6pt] F & G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathrm d u \\[6pt] \mathrm d v\end{bmatrix}= \mathrm d s^2(u,v)=\mathrm d\widetilde s^2(\widetilde u,\widetilde v)=\begin{bmatrix}\mathrm d \widetilde u & \mathrm d \widetilde v\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\widetilde E & \widetilde F \\[6pt] \widetilde F & \widetilde G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathrm d \widetilde u \\[6pt] \mathrm d \widetilde v\end{bmatrix}.

结合变换的微分关系，即可得到所需结论。

[du~dv~]=Jσ[dudv],\begin{bmatrix}\mathrm d \widetilde u \\[6pt] \mathrm d \widetilde v\end{bmatrix}=J_\sigma\begin{bmatrix}\mathrm d u \\[6pt] \mathrm d v\end{bmatrix},

# 合同变换是等距变换

Example. 设曲面 S:r=r(u,v)S:\pmb r=\pmb r(u,v)，T:R3→R3\mathcal T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 为合同变换，即 T(P)=PT+P0\mathcal T(P)=PT+P_0，其中 P0∈R3P_0\in \mathbb R^3，T∈O(3)T\in O(3)。设 T\mathcal T 变换下的曲面为 S~:r~(u,v)=r(u,v)T+P0\tilde S:\tilde {\pmb r}(u,v)=\pmb r(u,v)T+P_0，由于合同变换不改变曲面的第一基本形式，所以曲面 SS 和 S~\tilde S 等距。

特别地，R3\mathbb R^3 中刚体运动是曲面的等距变换。

Example. 平面矩形

S:r=r(x,y)=(x,y,0),(x,y)∈(0,π2)×(0,1)S:\pmb r=\pmb r(x,y)=(x,y,0),\quad (x,y)\in (0,\frac \pi2)\times (0,1)

和圆柱面

S~:r~=r~(u,v)=(cos⁡u,sin⁡u,v),(u,v)∈(0,π2)×(0,1)\tilde S:\tilde {\pmb r}=\tilde{\pmb r}(u,v)=(\cos u,\sin u,v),\quad (u,v)\in (0,\frac \pi2)\times (0,1)

的第一基本形式分别为

{I=(dx)2+(dy)2I~=(du)2+(dv)2\begin{cases}I=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2\\[6pt] \tilde I=(\mathrm du)^2+(\mathrm dv)^2\end{cases}

考虑等距变换

σ:S→S~,(x,y)↦(u,v),I↦I~\sigma:S\to \tilde S,\quad (x,y)\mapsto (u,v),\quad I\mapsto \tilde I

其 Jacobi 矩阵为单位阵，所以平面矩形与圆柱面等距。

两个不同参数的第一基本形式相等，指的是通过参数变换后化为同参数的第一基本形式的系数相等。上面的例子在比较时，考虑了参数变换 (x,y)↦(u,v)(x,y)\mapsto (u,v) 之后才能比较 I,I~I,\tilde I。此外，S,S~S,\tilde S 不能通过 R3\mathbb R^3 中的刚体运动重叠，因为刚体运动至多只改变第二基本形式的符号，而不改变系数的绝对值，在这里平面矩形和圆柱面的第二基本形式为

II=0≠−(du)2=II~II=0\neq -(\mathrm du)^2=\widetilde {II}

# 等距变换而非合同变换的例子

Example. 正螺面和悬链面之间存在等距变换。

{r(u,v)=(ucos⁡v,usin⁡v,v),(u,v)∈(0,∞)×(0,2π);r~(ρ,θ)=(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,arcoshρ),(ρ,θ)∈(1,∞)×(0,2π).\begin{cases}\pmb r(u,v)=(u\cos v,u\sin v,v),&(u,v)\in (0,\infty)\times (0,2\pi);\\[6pt] \tilde{\pmb r}(\rho,\theta)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,\mathrm{arcosh} \rho),&(\rho,\theta)\in (1,\infty)\times (0,2\pi ).\end{cases}

先计算第一基本形式

I=(du)2+(1+u2)(dv)2;I~=ρ2ρ2−1(dρ)2+ρ2(dθ)2I=(\mathrm du)^2+(1+u^2)(\mathrm dv)^2;\quad \tilde I=\dfrac {\rho^2}{\rho^2-1}(\mathrm d\rho)^2+\rho^2(\mathrm d\theta)^2

考虑等距变换

σ:S→S~,(u,v)↦(1+u2,v)=(ρ,θ)\sigma:S\to\tilde S,\quad (u,v)\mapsto (\sqrt {1+u^2},v)=(\rho,\theta)

则

I↦u21+u2(du)2+(1+u2)(dv)2=I~I\mapsto \dfrac {u^2}{1+u^2}(\mathrm du)^2+(1+u^2)(\mathrm dv)^2=\tilde I

# 由正交标架刻画

Proposition. 设 σ:S→S~\sigma:S\to\widetilde S是曲面 SS 到 S~\widetilde S的可微双射，则 σ\sigma 是等距变换，当且仅当在对应点上存在正交标架 {e1,e2,e3}\{\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\} 和 {e~1,e~2,e~3}\{\widetilde{\pmb e}_1,\widetilde{\pmb e}_2,\widetilde{\pmb e}_3\}，使得

ω1=ω~1,ω2=ω~2\omega_1=\widetilde\omega_1,\quad \omega_2=\widetilde\omega_2

Proof. 充分性：只需要说明 σ\sigma 保持第一基本形式不变，即保持弧长不变。

I=ω12+ω22=ω~12+ω~22=I~I=\omega_1^2+\omega_2^2=\widetilde\omega_1^2+\widetilde\omega_2^2=\widetilde I

必要性：若 σ\sigma 是等距变换。取对应点上的正交标架 {e1,e2,e3},{e1~,e2~,e3~}\{\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\},\{\tilde {\pmb e_1},\tilde {\pmb e_2},\tilde {\pmb e_3}\}，因为微分形式 ω~1,ω~2\tilde \omega_1,\tilde \omega_2 可由 du~,dv~\mathrm d\tilde u,\mathrm d\tilde v 线性表出，而后者通过等距变换由 du,dv\mathrm du,\mathrm dv 线性表出，所以不妨设

[ω~1ω~2]=[a11a12a21a22][ω1ω2]\begin{bmatrix}\widetilde\omega_1 \\[6pt] \widetilde\omega_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12} \\[6pt] a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega_1 \\[6pt] \omega_2\end{bmatrix}

因为等距变换保持第一基本形式不变，所以由上式推出系数矩阵是正交矩阵，即

[ω~1ω~2][ω~1ω~2]=[ω1ω2][ω1ω2]=[ω1ω2][a11a12a21a22]T[a11a12a21a22][ω1ω2]\begin{bmatrix}\widetilde \omega_1 & \widetilde \omega_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\widetilde \omega_1 \\[6pt] \widetilde \omega_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\omega_1 & \omega_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega_1 \\[6pt] \omega_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\omega_1 & \omega_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12} \\[6pt] a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12} \\[6pt] a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega_1 \\[6pt] \omega_2\end{bmatrix}

这是通过展开比较 ω12,ω22,ω1ω2\omega_1^2,\ \omega_2^2,\ \omega_1\omega_2 的系数得到的。如果系数不相等，那么可以解出 ω1,ω2\omega_1,\ \omega_2 线性相关，矛盾。考虑 SS 上该点新的标架 {e1∗,e2∗,e3∗}\{\pmb e_1^*,\pmb e_2^*,\pmb e_3^*\}，满足

[e1∗e2∗e3∗]=[a11a120a21a220001][e1e2e3]\begin{bmatrix}\pmb e_1^* \\[6pt] \pmb e_2^* \\[6pt] \pmb e_3^*\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&0 \\[6pt] a_{21}&a_{22}&0 \\[6pt] 0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\pmb e_1 \\[6pt] \pmb e_2 \\[6pt] \pmb e_3\end{bmatrix}

所以

[ω1∗ω2∗]=[⟨e1∗,ru⟩⟨e1∗,rv⟩⟨e2∗,ru⟩⟨e2∗,rv⟩][dudv]=[a11a12a21a22][⟨e1,ru⟩⟨e1,rv⟩⟨e2,ru⟩⟨e2,rv⟩][dudv]=[ω~1ω~2]\begin{bmatrix}\omega^*_1 \\[6pt] \omega^*_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\langle \pmb e^*_1,\pmb r_u\rangle & \langle \pmb e^*_1,\pmb r_v\rangle \\[6pt] \langle \pmb e^*_2,\pmb r_u\rangle & \langle \pmb e^*_2,\pmb r_v\rangle\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathrm du \\[6pt] \mathrm dv\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12} \\[6pt] a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\langle \pmb e_1,\pmb r_u\rangle & \langle \pmb e_1,\pmb r_v\rangle \\[6pt] \langle \pmb e_2,\pmb r_u\rangle & \langle \pmb e_2,\pmb r_v\rangle\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathrm du \\[6pt] \mathrm dv\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tilde \omega_1 \\[6pt] \tilde \omega_2\end{bmatrix}

因此在对应点上存在标架 {e1∗,e2∗,e3∗}\{\pmb e_1^*,\pmb e_2^*,\pmb e_3^*\} 和正交标架 {e~1,e~2,e~3}\{\widetilde{\pmb e}_1,\widetilde{\pmb e}_2,\widetilde{\pmb e}_3\}，使得

ω1=ω~1,ω2=ω~2\omega_1=\widetilde\omega_1,\quad \omega_2=\widetilde\omega_2

# 由切映射刻画

回顾曲面在某点的切平面是 ru,rv\pmb r_u,\pmb r_v 所张成的平面，等价于曲面在该点切向量全体的集合。

Definition. 设 v=aru+brv∈TPS\pmb v=a\pmb r_u+b\pmb r_v\in T_PS，光滑双射 σ:S→S~\sigma:S\to \widetilde S在点 PP 处的切映射定义为

σ∗:TPS→Tσ(P)S~;σ∗(v)=ar~u+br~v\sigma_{*}:T_PS\to T_{\sigma (P)}\widetilde S;\quad \sigma_*(\pmb v)=a\tilde {\pmb r}_{u}+b\tilde{\pmb r}_{v}

曲面间的光滑双射 σ\sigma 诱导了切平面之间的映射，且是良定义的。具体而言，切映射处理切向量的过程可以拉回到光滑双射处理曲线的过程。对于选定的切向量 v∈TPS\pmb v\in T_PS，存在曲线 r:(−ε,ε)→S\pmb r:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S，使得

r(0)=P,drdt(0)=rududt(0)+rvdvdt(0)=v\pmb r(0)=P,\quad \dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}(0)=\pmb r_u \dfrac {\mathrm du}{\mathrm dt}(0)+\pmb r_v \dfrac {\mathrm dv}{\mathrm dt}(0)=\pmb v

则 σ\sigma 作用在曲线 α\alpha 上，得到曲线 r~=σ∘r:(−ε,ε)→S~\widetilde {\pmb r}=\sigma\circ \pmb r:(-\varepsilon,\varepsilon)\to \widetilde S，其在 t=0t=0 处的切向量为

σ∗(v)=v~=dr~dt(0)=r~u~du~dt(0)+r~v~dv~dt(0)=r~u~(∂u~∂u⋅dudt(0)+∂u~∂v⋅dvdt(0))+r~v~(∂v~∂u⋅dudt(0)+∂v~∂v⋅dvdt(0))=r~u~(au~u+bu~v)+r~v~(av~u+bv~v)=(r~u~u~u+r~v~v~u)a+(r~u~u~v+r~v~v~v)b=ar~u+br~v\begin{array}{ll}\sigma_*(\pmb v)=\widetilde {\pmb v}&=\dfrac {\mathrm d\widetilde{\pmb r}}{\mathrm dt}(0)=\widetilde{\pmb r}_{\widetilde u}\dfrac {\mathrm d\widetilde u}{\mathrm dt}(0)+\widetilde{\pmb r}_{\widetilde v}\dfrac {\mathrm d\widetilde v}{\mathrm dt}(0)\\ \\\displaystyle&=\widetilde{\pmb r}_{\widetilde u}\left(\dfrac {\partial \widetilde u}{\partial u}\cdot \dfrac {\mathrm du}{\mathrm dt}(0)+\dfrac {\partial \widetilde u}{\partial v}\cdot \dfrac {\mathrm dv}{\mathrm dt}(0)\right)+\widetilde{\pmb r}_{\widetilde v}\left(\dfrac {\partial \widetilde v}{\partial u}\cdot \dfrac {\mathrm du}{\mathrm dt}(0)+\dfrac {\partial \widetilde v}{\partial v}\cdot \dfrac {\mathrm dv}{\mathrm dt}(0)\right)\\ \\ &=\tilde {\pmb r}_{\tilde u} \left(a\widetilde u_u + b\widetilde u_v\right)+\tilde {\pmb r}_{\tilde v}\left(a\widetilde v_u + b\widetilde v_v\right)\\ \\&=\left(\tilde {\pmb r}_{\tilde u}\widetilde u_u + \tilde {\pmb r}_{\tilde v}\widetilde v_u\right)a+\left(\tilde {\pmb r}_{\tilde u}\widetilde u_v + \tilde {\pmb r}_{\tilde v}\widetilde v_v\right)b\\ \\ &=a\tilde {\pmb r}_{u}+b\tilde{\pmb r}_{v}\end{array}

这个过程只与曲线在点 PP 处的切向量有关，和曲线的选取无关。

Corollary. 设 σ:S→S~\sigma:S\to \widetilde S是曲面间的光滑双射，则对任意 P∈SP\in S，切映射 σ∗:TPS→Tσ(P)S~\sigma_*:T_PS\to T_{\sigma(P)}\widetilde S是线性同构，并且在自然标架下

[σ∗(ru)σ∗(rv)]=[r~u~r~v~]Jσ\begin{bmatrix}\sigma_*(\pmb r_u) & \sigma_*(\pmb r_v)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\widetilde{\pmb r}_{\widetilde u} & \widetilde{\pmb r}_{\widetilde v}\end{bmatrix}J_\sigma

特别地

σ∗(ru)=r~u,σ∗(rv)=r~v\sigma_*(\pmb r_u)=\widetilde{\pmb r}_{u},\quad \sigma_*(\pmb r_v)=\widetilde{\pmb r}_{v}

将一般切向量写成这组基的线性组合形式，就有如下推论。

Proposition. 设 σ:S→S~\sigma:S\to \widetilde S是曲面间的光滑双射，则 σ\sigma 是等距变换，当且仅当对任意 P∈SP\in S，切映射 σ∗:TPS→Tσ(P)S~\sigma_*:T_PS\to T_{\sigma(P)}\widetilde S是保内积的线性同构。

⟨σ∗(x),σ∗(y)⟩=⟨x,y⟩,∀x,y∈TPS\langle \sigma_*(\pmb x),\sigma_*(\pmb y)\rangle=\langle \pmb x,\pmb y\rangle,\quad \forall \pmb x,\pmb y\in T_PS

Proof. 不妨设系数矩阵

[xy]=[rurv]B,(gαβ)=[rurv]T[rurv]\begin{bmatrix}\pmb x & \pmb y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pmb r_u & \pmb r_v\end{bmatrix}B,\quad (g_{\alpha\beta})=\begin{bmatrix}\pmb r_u & \pmb r_v\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}\pmb r_u & \pmb r_v\end{bmatrix}

同理由切映射的定义

[σ∗(x)σ∗(y)]=[r~u~r~v~]JσB,(g~αβ)=[r~u~r~v~]T[r~u~r~v~]\begin{bmatrix}\sigma_*(\pmb x) & \sigma_*(\pmb y)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\widetilde{\pmb r}_{\widetilde u} & \widetilde{\pmb r}_{\widetilde v}\end{bmatrix}J_\sigma B,\quad (\tilde g_{\alpha\beta})=\begin{bmatrix}\widetilde{\pmb r}_{\widetilde u} & \widetilde{\pmb r}_{\widetilde v}\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}\widetilde{\pmb r}_{\widetilde u} & \widetilde{\pmb r}_{\widetilde v}\end{bmatrix}

再应用等距变换保持第一基本形式不变的性质

[σ∗(x)σ∗(y)]T[σ∗(x)σ∗(y)]=BTJσT(g~αβ)JσB=BT(gαβ)B=[xy]T[xy]\begin{bmatrix}\sigma_*(\pmb x) & \sigma_*(\pmb y)\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}\sigma_*(\pmb x) & \sigma_*(\pmb y)\end{bmatrix}=B^T J_\sigma^T (\tilde g_{\alpha\beta}) J_\sigma B=B^T (g_{\alpha\beta}) B=\begin{bmatrix}\pmb x & \pmb y\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}\pmb x & \pmb y\end{bmatrix}

即可得到所需结论。

Remark. 等距变换保持第一基本形式不变，也保持切平面上切向量的内积、夹角不变。

# 保角变换

Definition. 设 σ:S→S~\sigma:S\to \widetilde S是曲面间的光滑双射，如果在 σ\sigma 下，曲面 SS 上任意两条相交曲线的夹角与其在 S~\widetilde S对应的曲线的夹角相等，则称 σ\sigma 为 SS 到 S~\widetilde S的保角变换。

Remark. 合同变换 —— 等距变换 —— 保角变换，这三者的关系是从小到大的包含关系。

# 由第一基本形式刻画

Proposition. 设 σ:S→S~\sigma:S\to \widetilde S是曲面间的光滑双射，则 σ\sigma 是保角变换，当且仅当存在正函数 λ:S→R+\lambda:S\to \mathbb R^+，使得在对应点上的第一基本形式满足

I~=λ2I\widetilde I=\lambda^2 I

Sketch Proof. σ\sigma 是保角变换，当且仅当对任意切向量 v,w∈TPS\pmb v,\pmb w\in T_PS，有

⟨σ∗(v),σ∗(w)⟩∥σ∗(v)∥∥σ∗(w)∥=⟨v,w⟩∥v∥∥w∥\dfrac {\langle \sigma_*(\pmb v),\sigma_*(\pmb w)\rangle}{\|\sigma_*(\pmb v)\|\|\sigma_*(\pmb w)\|}=\dfrac {\langle \pmb v,\pmb w\rangle}{\|\pmb v\|\|\pmb w\|}

充分性，因为第一基本形式满足 I~=λ2I\widetilde I=\lambda^2 I，所以

[dudv]JσT[E~F~F~G~]Jσ[dudv]=λ2[dudv][EFFG][dudv]\begin{bmatrix}\mathrm du & \mathrm dv\end{bmatrix}J_\sigma^T\begin{bmatrix}\widetilde E & \widetilde F \\[6pt] \widetilde F & \widetilde G\end{bmatrix} J_\sigma \begin{bmatrix}\mathrm du \\[6pt] \mathrm dv\end{bmatrix}=\lambda^2 \begin{bmatrix}\mathrm du & \mathrm dv\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E & F \\[6pt] F & G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathrm du \\[6pt] \mathrm dv\end{bmatrix}

所以设 v=aru+brv,w=cru+drv\pmb v=a\pmb r_u+b\pmb r_v,\ \pmb w=c\pmb r_u+d\pmb r_v，则

⟨σ∗(v),σ∗(w)⟩=[ab][σ∗(ru)Tσ∗(rv)T][σ∗(ru)σ∗(rv)][cd]=[ab]JσT[E~F~F~G~]Jσ[cd]=λ2[ab][EFFG][cd]=λ2⟨v,w⟩\begin{array}{ll}\langle \sigma_*(\pmb v),\sigma_*(\pmb w)\rangle&=\begin{bmatrix}a & b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sigma_*(\pmb r_u)^T \\[6pt] \sigma_*(\pmb r_v)^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sigma_*(\pmb r_u) & \sigma_*(\pmb r_v)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c \\[6pt] d\end{bmatrix}\\ \\&=\begin{bmatrix}a & b\end{bmatrix}J_\sigma^T\begin{bmatrix}\widetilde E & \widetilde F \\[6pt] \widetilde F & \widetilde G\end{bmatrix} J_\sigma \begin{bmatrix}c \\[6pt] d\end{bmatrix}\\ \\&=\lambda^2 \begin{bmatrix}a & b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E & F \\[6pt] F & G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c \\[6pt] d\end{bmatrix}\\ \\&=\lambda^2 \langle \pmb v,\pmb w\rangle\end{array}

必要性，取 v,w\pmb v,\pmb w 为切平面的正交基 e1,e2\pmb e_1,\pmb e_2，就有 σ∗(e1),σ∗(e2)\sigma_*(\pmb e_1),\sigma_*(\pmb e_2) 也是正交的，但不是单位向量。对于任意切向量 v=ae1+be2,w=ce1+de2\pmb v=a\pmb e_1+b\pmb e_2,\ \pmb w=c\pmb e_1+d\pmb e_2，有

⟨σ∗(v),σ∗(w)⟩=ac⟨σ∗(e1),σ∗(e1)⟩+bd⟨σ∗(e2),σ∗(e2)⟩\begin{array}{ll}\langle \sigma_*(\pmb v),\sigma_*(\pmb w)\rangle=ac\langle \sigma_*(\pmb e_1),\sigma_*(\pmb e_1)\rangle + bd\langle \sigma_*(\pmb e_2),\sigma_*(\pmb e_2)\rangle\end{array}

所以先得到 ⟨σ∗(e1),σ∗(e1)⟩=⟨σ∗(e2),σ∗(e2)⟩=λ2\langle \sigma_*(\pmb e_1),\sigma_*(\pmb e_1)\rangle=\langle \sigma_*(\pmb e_2),\sigma_*(\pmb e_2)\rangle=\lambda^2，进一步

⟨σ∗(v),σ∗(w)⟩=λ2(ac⟨e1,e1⟩+bd⟨e2,e2⟩)=λ2⟨v,w⟩\langle \sigma_*(\pmb v),\sigma_*(\pmb w)\rangle=\lambda^2 (ac\langle \pmb e_1,\pmb e_1\rangle + bd\langle \pmb e_2,\pmb e_2\rangle)=\lambda^2 \langle \pmb v,\pmb w\rangle

# 保角变换与正交标架

这是保角变换与第一基本形式关系的推论。

Proposition. 设 σ:S→S~\sigma:S\to \widetilde S是曲面间的光滑双射，则 σ\sigma 是保角变换，当且仅当在对应点上存在正交标架 {e1,e2}\{\pmb e_1,\pmb e_2\} 和 {e~1,e~2}\{\widetilde{\pmb e}_1,\widetilde{\pmb e}_2\}，使得 σ\sigma 的切映射满足

σ∗=λ⋅idTPS\sigma_*=\lambda\cdot \mathrm{id}_{T_PS}

其中 λ:S→R+\lambda:S\to \mathbb R^+ 是正函数。

# 等温参数

Theorem. 任意曲面上的每一点都有一个邻域，它可以和 R2\mathbb R^2 上的一个区域建立保角变换。即存在等温参数 (u,v)(u,v)，使得曲面的第一基本形式为

I=λ2((du)2+(dv)2),λ:S→R+I=\lambda^2\left((\mathrm du)^2+(\mathrm dv)^2\right),\quad \lambda:S\to \mathbb R^+

Proof.

# 协变微分

Remark. 协变微分是曲面内蕴几何学对平面几何学中微分概念的推广。

# 联络形式

由曲面结构定理可知，曲面需要满足如下结构方程组

{dω1=ω12∧ω2dω2=ω21∧ω1dω13=ω12∧ω23dω23=ω21∧ω13dω12=ω13∧ω32=−Kω1∧ω2\begin{cases}\mathrm d\omega_1=\omega_{12}\wedge \omega_2\\[6pt] \mathrm d\omega_2=\omega_{21}\wedge \omega_1\\[6pt] \mathrm d\omega_{13}=\omega_{12}\wedge \omega_{23}\\[6pt] \mathrm d\omega_{23}=\omega_{21}\wedge \omega_{13}\\[6pt] \mathrm d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}=-K\omega_1\wedge \omega_2\end{cases}

内蕴几何学中，我们关注正交标架 {e1,e2,e3}\{\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\} 中的前两个分量，即在曲面切平面内的分量，这反映了曲面的内蕴性质。而第三分量是法向的，依赖于曲面在空间中的嵌入方式，因此我们忽略第三分量，并且只考虑标架 {e1,e2}\{\pmb e_1,\pmb e_2\} 的运动。

Definition. 曲面的内蕴结构方程为

{dω1=ω12∧ω2dω2=ω21∧ω1dω12=ω13∧ω32=−Kω1∧ω2=−dω21\begin{cases}\mathrm d\omega_1=\omega_{12}\wedge \omega_2\\[6pt] \mathrm d\omega_2=\omega_{21}\wedge \omega_1\\[6pt] \mathrm d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge \omega_{32}=-K\omega_1\wedge \omega_2=-\mathrm d\omega_{21}\end{cases}

其中，一阶微分形式 ω12\omega_{12} 称为曲面 SS 上的联络形式。

Proposition. 联络形式 ω12\omega_{12} 由内蕴结构方程前两条决定，且仅依赖于正交标架 {e1,e2}\{\pmb e_1,\pmb e_2\}。

Proof. 这个证明也给出了联络形式的计算方法。设

{dω1=aω1∧ω2dω2=bω1∧ω2\begin{cases}\mathrm d\omega_1=a\omega_1\wedge \omega_2\\[6pt] \mathrm d\omega_2=b\omega_1\wedge \omega_2\end{cases}

则 ω12=aω1+bω2\omega_{12}=a\omega_1+b\omega_2。唯一性通过 du,dv\mathrm du,\mathrm dv 是线性无关的来证明。

Proposition. 在旋转的正交标架下

[e~1e~2]=[cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ][e1e2]\begin{bmatrix}\widetilde{\pmb e}_1 \\[6pt] \widetilde{\pmb e}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\[6pt] -\sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\pmb e_1 \\[6pt] \pmb e_2\end{bmatrix}

则联络形式的变化为

ω~12=⟨de1~,e2~⟩=ω12+dθ\widetilde \omega_{12}=\langle \mathrm d\tilde {\pmb e_1},\tilde {\pmb e_2}\rangle =\omega_{12}+\mathrm d\theta

Remark. 联络形式 ω12\omega_{12} 只依赖于第一基本形式，是内蕴的；但依赖于正交标架的选取，不是几何的。这是说明，如果正交标架也是角度的函数，那么联络形式会有 dθ\mathrm d\theta 的附加项。但如果仅是两个标架之间的固定旋转，那么联络形式是不变的，因为此时 dθ=0\mathrm d\theta=0 是常数。

# Gauss 曲率

Theorem. 曲面的 Gauss 曲率 KK 只与曲面的第一基本形式有关。

Proof. 在给定正交标架后，由微分形式的定义和结构方程，有

ω1=⟨dr,e1⟩;ω2=⟨dr,e2⟩;dω12=−Kω1∧ω2\omega_1=\langle \mathrm d\pmb r,\pmb e_1\rangle;\quad \omega_2=\langle \mathrm d\pmb r,\pmb e_2\rangle;\quad \mathrm d\omega_{12}=-K\omega_1\wedge \omega_2

ω1,ω2,ω12=aω1+bω2\omega_1,\omega_2,\omega_{12}=a\omega_1+b\omega_2 只与第一基本形式有关，所以 ω1∧ω2\omega_1\wedge \omega_2 和 dω12\mathrm d\omega_{12} 只与第一基本形式有关。在正交标架变动时，即旋转角度时，ω1∧ω2\omega_1\wedge \omega_2 和 dω12\mathrm d\omega_{12} 都不变：

{dω~12=d(ω12+dθ)=dω12ω~1∧ω~2=⟨dr,cos⁡θe1+sin⁡θe2⟩∧⟨dr,−sin⁡θe1+cos⁡θe2⟩=ω1∧ω2\begin{cases}\mathrm d\widetilde \omega_{12}=\mathrm d(\omega_{12}+\mathrm d\theta)=\mathrm d\omega_{12}\\[6pt] \widetilde \omega_1\wedge \widetilde \omega_2=\langle \mathrm d\pmb r,\cos\theta \pmb e_1+\sin\theta \pmb e_2\rangle \wedge \langle \mathrm d\pmb r,-\sin\theta \pmb e_1+\cos\theta \pmb e_2\rangle=\omega_1\wedge \omega_2\end{cases}

当然，在正交标架反射的时候，上述结果也是成立的。因此 KK 只与第一基本形式有关。

Corollary. 互为等距的曲面，在对应点处的 Gauss 曲率相等。

Proof. 因为等距变换不改变第一基本形式，而 Gauss 曲率只与第一基本形式有关。

Example. 设曲面 S:r=r(u,v)S:\pmb r=\pmb r(u,v)，其中 (u,v)(u,v) 为等温参数，即

I=λ2(u,v)((du)2+(dv)2),λ>0I=\lambda^2(u,v)((\mathrm du)^2+(\mathrm dv)^2),\quad \lambda>0

求 Gauss 曲率。

Proof. 在等温参数下，E=G=λ2,F=0E=G=\lambda^2,F=0，代入正交标架的 Gauss 方程：

K=−1EG[((E)vG)v+((G)uE)u]=−1λ2Δln⁡λK=-\dfrac 1{\sqrt {EG}}\left[\left(\dfrac {(\sqrt E)_v}{\sqrt G}\right)_v+\left(\dfrac {(\sqrt G)_u}{\sqrt E}\right)_u\right]=-\dfrac 1{\lambda^2}\Delta \ln \lambda

记 z=u+−1vz=u+\sqrt {-1}v，则

K=−4λ2∂2∂z∂z‾ln⁡λK=-\dfrac 4{\lambda^2}\dfrac {\partial ^2}{\partial z\partial \overline z}\ln \lambda

其中

∂∂z=12(∂∂u−i∂∂v);∂∂z‾=12(∂∂u+i∂∂v)\dfrac {\partial}{\partial z}=\dfrac 12\left(\dfrac {\partial}{\partial u}-i\dfrac {\partial}{\partial v}\right);\quad \dfrac {\partial}{\partial \overline z}=\dfrac 12\left(\dfrac {\partial}{\partial u}+i\dfrac {\partial}{\partial v}\right)

或者采用正交标架法，取正交标架 e1=ru/λ,e2=rv/λ\pmb e_1=\pmb r_u/\lambda,\ \pmb e_2=\pmb r_v/\lambda，则

ω1=λdu,ω2=λdv\omega_1=\lambda \mathrm du,\quad \omega_2=\lambda \mathrm dv

由内蕴结构方程，计算得到

ω12=−λvλdu+λuλdv\omega_{12}=-\dfrac {\lambda_v}{\lambda}\mathrm du+\dfrac {\lambda_u}{\lambda}\mathrm dv

由 Gauss 方程

K=−dω12ω1∧ω2=−1λ2Δln⁡λK=-\dfrac {\mathrm d\omega_{12}}{\omega_1\wedge \omega_2}=-\dfrac 1{\lambda^2}\Delta \ln \lambda

# 协变微分

在空间中正交标架场，曲面运动方程给出了

{de1=ω12e2+ω13e3de2=ω21e1+ω23e3de3=ω31e1+ω32e2\begin{cases}\mathrm d\pmb e_1=\omega_{12}\pmb e_2+\omega_{13}\pmb e_3\\[6pt] \mathrm d\pmb e_2=\omega_{21}\pmb e_1+\omega_{23}\pmb e_3\\[6pt] \mathrm d\pmb e_3=\omega_{31}\pmb e_1+\omega_{32}\pmb e_2\end{cases}

在曲面内蕴几何学中，我们只关注切平面内的分量，所以对上述运动方程做投影。

Remark. 标架切向量的微分在法向量的投影 ω13,ω23\omega_{13},\omega_{23} 决定了曲面的第二基本形式：

II=ω13ω1+ω23ω2II=\omega_{13}\omega_1+\omega_{23}\omega_2

在切平面的投影 ω12=−ω21\omega_{12}=-\omega_{21} 则与第二基本形式无关，只与第一基本形式有关。

Remark. 记 TPST_PS 为曲面 SS 在点 PP 处的切平面，TP∗ST_P^*S 为 PP 点的 11 次微分形式。

Definition. 标架微分落在切平面的部分称为协变微分，记为 De1,De2\mathrm D\pmb e_1,\mathrm D\pmb e_2，即

De1=ω12e2,De2=ω21e1\mathrm D\pmb e_1=\omega_{12}\pmb e_2,\quad \mathrm D\pmb e_2=\omega_{21}\pmb e_1

设 v=f1e1+f2e2\pmb v=f_1\pmb e_1+f_2\pmb e_2 是曲面 SS 上的切向量场，则 v\pmb v 的协变微分定义为

Dv=(df1+f2ω21)e1+(df2+f1ω12)e2\mathrm D\pmb v=(\mathrm df_1+f_2\omega_{21})\pmb e_1+(\mathrm df_2+f_1\omega_{12})\pmb e_2

Proposition. 协变微分 Dv\mathrm D\pmb v 是切向量场 v\pmb v 的微分在切平面的投影，与正交标架的选取无关。

Dv=⟨dv,e1⟩e1+⟨dv,e2⟩e2\mathrm D\pmb v=\langle \mathrm d\pmb v,\pmb e_1\rangle \pmb e_1+\langle \mathrm d\pmb v,\pmb e_2\rangle \pmb e_2

Proof. 直接计算，如果正交标架间是镜像关系，对换 e~1=e2,e~2=e1\widetilde{\pmb e}_1=\pmb e_2,\ \widetilde{\pmb e}_2=\pmb e_1

Dv=(df1+f2ω~12)e~2+(df2+f1ω~21)e~1=Dv\mathrm D\pmb v=(\mathrm df_1+f_2\widetilde \omega_{12})\widetilde{\pmb e}_2+(\mathrm df_2+f_1\widetilde \omega_{21})\widetilde{\pmb e}_1=\mathrm D\pmb v

如果正交标架间是旋转关系，设旋转角度为 θ\theta，则

Dv=⟨dv,e1⟩e1+⟨dv,e2⟩e2=⟨dv,cos⁡θe~1−sin⁡θe~2⟩(cos⁡θe~1−sin⁡θe~2)+⟨dv,sin⁡θe~1+cos⁡θe~2⟩(sin⁡θe~1+cos⁡θe~2)=⟨dv,e~1⟩e~1+⟨dv,e~2⟩e~2=Dv\begin{array}{ll}\mathrm D\pmb v&=\langle \mathrm d\pmb v,\pmb e_1\rangle \pmb e_1+\langle \mathrm d\pmb v,\pmb e_2\rangle \pmb e_2\\ \\&=\langle \mathrm d\pmb v,\cos\theta \widetilde{\pmb e}_1 - \sin\theta \widetilde{\pmb e}_2\rangle (\cos\theta \widetilde{\pmb e}_1 - \sin\theta \widetilde{\pmb e}_2) + \langle \mathrm d\pmb v,\sin\theta \widetilde{\pmb e}_1 + \cos\theta \widetilde{\pmb e}_2\rangle (\sin\theta \widetilde{\pmb e}_1 + \cos\theta \widetilde{\pmb e}_2)\\ \\&=\langle \mathrm d\pmb v,\widetilde{\pmb e}_1\rangle \widetilde{\pmb e}_1+\langle \mathrm d\pmb v,\widetilde{\pmb e}_2\rangle \widetilde{\pmb e}_2\\ \\&=\mathrm D\pmb v\end{array}

Proposition. 协变微分和微分有相似之处。对 v,w∈TPS\pmb v,\pmb w\in T_PS，有

  1. D(v+w)=Dv+Dw\mathrm D(\pmb v+\pmb w)=\mathrm D\pmb v+\mathrm D\pmb w；
  2. D(fv)=dfv+fDv\mathrm D(f\pmb v)=\mathrm df \pmb v+f\mathrm D\pmb v；
  3. D⟨v,w⟩=⟨Dv,w⟩+⟨v,Dw⟩\mathrm D\langle \pmb v,\pmb w\rangle=\langle \mathrm D\pmb v,\pmb w\rangle+\langle \pmb v,\mathrm D\pmb w\rangle。

# 由自然标架刻画

回忆曲面上自然标架的运动方程为

{dr=riduidri=Γijkrkduj+bijndujdn=−bikrkdui\begin{cases}\mathrm d\pmb r=\pmb r_{i}\mathrm du^i\\[6pt] \mathrm d\pmb r_i=\Gamma_{ij}^k \pmb r_k \mathrm du^j + b_{ij}\pmb n \mathrm du^j\\[6pt] \mathrm d\pmb n=-b_{i}^k\pmb r_k \mathrm du^i\end{cases}

所以

Proposition. 设 v=firi\pmb v=f^i\pmb r_i 是曲面 SS 上的切向量场，则 v\pmb v 的协变微分为

Dv=(dfk+fiΓijkduj)rk\mathrm D\pmb v=\left(\mathrm df^k + f^i \Gamma_{ij}^k \mathrm du^j\right)\pmb r_k

# Levi-Civita 平移

在平面上，将向量 v\pmb v 沿曲线 CC 平行移动到另一点 QQ，曲线上的每一个点都给出了向量 v\pmb v 平移到该点时的向量场 v(t)\pmb v(t)。平移的过程满足

dvdt=0\dfrac {\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}=0

Remark. Levi-Civita 平移是曲面内蕴几何学中平行移动的概念，是对平面上向量平行移动的推广。

Definition. 设 S:r(u,v)S:\pmb r(u,v) 是 R3\mathbb R^3 中的曲面，P,QP,Q 为其上两点。设

γ:r(u(t),v(t)),t∈[0,1]\gamma:\pmb r(u(t),v(t)),\quad t\in [0,1]

是 SS 上连接 PP 和 QQ 的曲线。设 v=v(t)\pmb v=\pmb v(t) 是沿曲线 γ\gamma 的切向量场，若 v\pmb v 满足在曲面切平面上不变，即

Dvdt=(df1dt+f2ω21dt)e1+(df2dt+f1ω12dt)e2=0\dfrac {\mathrm D\pmb v}{\mathrm dt}=\left(\dfrac {\mathrm d f_1}{\mathrm dt}+f_2\dfrac {\omega_{21}}{\mathrm dt}\right)\pmb e_1+\left(\dfrac {\mathrm d f_2}{\mathrm dt}+f_1\dfrac {\omega_{12}}{\mathrm dt}\right)\pmb e_2=0

则称 v\pmb v 沿曲线 γ\gamma Levi-Civita 平行或 v(t)\pmb v(t) 是沿曲线 γ\gamma 的平行向量场。其中

Dvdt\dfrac {\mathrm D\pmb v}{\mathrm dt}

称为切向量场 v(t)\pmb v(t) 沿曲线 γ\gamma 的协变导数。其中指出，若 ω12=adu+bdv\omega_{12}=a\mathrm du+b\mathrm dv，则

ω12dt=adudt+bdvdt\dfrac {\omega_{12}}{\mathrm dt}=a\dfrac {\mathrm du}{\mathrm dt}+b\dfrac {\mathrm dv}{\mathrm dt}

Corollary. 切向量场 v(t)=f1(t)e1+f2(t)e2\pmb v(t)=f_1(t)\pmb e_1+f_2(t)\pmb e_2 沿曲线 γ\gamma Levi-Civita 平行，当且仅当其系数满足如下微分方程组

{df1dt+f2ω21dt=0df2dt+f1ω12dt=0\begin{cases}\dfrac {\mathrm d f_1}{\mathrm dt}+f_2\dfrac {\omega_{21}}{\mathrm dt}=0\\[10pt] \dfrac {\mathrm d f_2}{\mathrm dt}+f_1\dfrac {\omega_{12}}{\mathrm dt}=0\end{cases}

# 存在唯一性

Remark. 对于任意切向量，都可以沿曲线 Levi-Civita 平行移动，这个过程是唯一的。

Proposition. 对于 SS 上任意的参数曲线 r(t)=r(u(t),v(t))\pmb r(t)=\pmb r(u(t),v(t)) 和初始切向量 v0∈Tr(0)S\pmb v_0\in T_{\pmb r(0)}S，存在唯一沿曲线 γ\gamma Levi-Civita 平行的切向量场 v(t)\pmb v(t)，使得 v(0)=v0\pmb v(0)=\pmb v_0。

Proof. 设切向量场 v(t)=f1(t)e1+f2(t)e2\pmb v(t)=f_1(t)\pmb e_1+f_2(t)\pmb e_2，在给定 t=0t=0 处的初始条件 v(0)=v0\pmb v(0)=\pmb v_0 下，系数 f1(t),f2(t)f_1(t),f_2(t) 满足 Levi-Civita 平行的微分方程组，有唯一解。

# 与平面平移的异同

Proposition. 设 v(t),w(t)\pmb v(t),\pmb w(t) 为曲面 SS 上沿曲线 γ\gamma 的平行向量场，则

⟨v(t),w(t)⟩=constant\langle \pmb v(t),\pmb w(t)\rangle=\mathrm{constant}

特别地，曲面平行移动保持切向量长度 ∣v(t)∣|\pmb v(t)| 不变，保持切向量 v(t),w(t)\pmb v(t),\pmb w(t) 之间的夹角不变。

Proof. 直接计算

ddt⟨v,w⟩=⟨Dvdt,w⟩+⟨v,Dwdt⟩=0\dfrac {\mathrm d}{\mathrm dt}\langle \pmb v,\pmb w\rangle=\left\langle \dfrac {\mathrm D\pmb v}{\mathrm dt},\pmb w\right\rangle + \left\langle \pmb v,\dfrac {\mathrm D\pmb w}{\mathrm dt}\right\rangle =0

Remark. 平面上的平移和路径无关，而曲面上的 Levi-Civita 平移与路径相关。

Example. 在球面上，从赤道上一点取对应经线的切向量，沿赤道 Levi-Civita 平行移动一圈，回到起点后，切向量不变，但如果沿经线 Levi-Civita 平行移动到北极，再沿另一条经线回到起点，则切向量发生了反向（旋转）。

# 由自然标架刻画

Proposition. 设 v=firi\pmb v=f^i\pmb r_i 是曲面 SS 上的切向量场，沿参数曲线 γ:r(u(t),v(t))\gamma:\pmb r(u(t),v(t)) Levi-Civita 平行，当且仅当其系数满足如下微分方程组

dfkdt+fiΓijkdujdt=0,k=1,2\dfrac {\mathrm d f^k}{\mathrm dt} + f^i \Gamma_{ij}^k \dfrac {\mathrm du^j}{\mathrm dt}=0,\quad k=1,2

Example. 特别地，如果曲面为平面 S:r=(u,v,0)S:\pmb r=(u,v,0)，则 Γijk=0\Gamma_{ij}^k=0（由正交标架下的 Christoffel 记号的计算），所以它的协变导数为

Dvdt=dfkdtrk\dfrac {\mathrm D\pmb v}{\mathrm dt}=\dfrac {\mathrm d f^k}{\mathrm dt}\pmb r_k

即平面的 Levi-Civita 平移就是平面的普通平移，与路径无关。

# 测地曲率

Definition. 构造沿曲线的正交标架为，e1=r˙\pmb e_1=\dot{\pmb r}，e3=n\pmb e_3=\pmb n，e2=e3∧e1\pmb e_2=\pmb e_3\wedge \pmb e_1，则对上述标架求导，有运动方程

(e1˙e˙2e˙3)=(0κgκn−κg0τg−κn−τg0)(e1e2e3)\begin{pmatrix}\dot{\pmb e_1} \\[6pt] \dot{\pmb e}_2 \\[6pt] \dot{\pmb e}_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \kappa_g & \kappa_n \\[6pt] -\kappa_g & 0 & \tau_g \\[6pt] -\kappa_n & -\tau_g & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\pmb e_1 \\[6pt] \pmb e_2 \\[6pt] \pmb e_3\end{pmatrix}

其中，κg\kappa_g 称为曲线的测地曲率，κn\kappa_n 称为曲线的法曲率，τg\tau_g 称为曲线的测地挠率。曲率向量可分解为

d2rds2=κe2=κge2+κne3\dfrac {\mathrm d^2\pmb r}{\mathrm ds^2}=\kappa \pmb e_2=\kappa_g \pmb e_2 + \kappa_n \pmb e_3

其中 kg=κge2\pmb k_g=\kappa_g \pmb e_2 称为曲线的测地曲率向量。

上述正交标架是曲线关于曲面的自然标架，在 R3\mathbb R^3 中，曲线的 Frenet 标架的法向可能与曲面法向相反。而通过上述切方向 - 副法向 - 法向构造的正交标架，则保证了法向与曲面法向一致。

Corollary. 曲线的曲率可以分解为测地曲率和法曲率的平方和：

κ2=κg2+κn2\kappa^2=\kappa_g^2+\kappa_n^2

Remark. 曲线的弯曲有两部分，法曲率由曲面弯曲产生，测地曲率由曲线在曲面内的弯曲产生。

# 内蕴性

Proposition. 曲线的测地曲率 κg\kappa_g 只与曲面的第一基本形式有关，是曲面的内蕴性质。

Proof. 根据定义

κg=⟨e˙1,e2⟩=⟨de1ds,e2⟩=⟨De1ds,e2⟩=ω12ds\kappa_g=\langle \dot{\pmb e}_1,\pmb e_2\rangle=\left\langle \dfrac {\mathrm d\pmb e_1}{\mathrm ds},\pmb e_2\right\rangle=\left\langle \dfrac {\mathrm D\pmb e_1}{\mathrm ds},\pmb e_2\right\rangle=\dfrac {\omega_{12}}{\mathrm ds}

而联络形式 ω12\omega_{12} 是内蕴量，所以测地曲率 κg\kappa_g 只与曲面的第一基本形式有关。

Corollary. 测地曲率向量可以写成

kg=κge2=ω12dse2=De1ds\pmb k_g=\kappa_g \pmb e_2=\dfrac {\omega_{12}}{\mathrm ds}\pmb e_2=\dfrac {\mathrm D\pmb e_1}{\mathrm ds}

# 由自然标架刻画（Christoffel 记号）

Proposition. 设曲线 r(u1(s),u2(s))\pmb r(u^1(s),u^2(s)) 以 ss 为弧长参数，则其测地曲率向量为

kg=κge2=(d2uγds2+Γαβγduαdsduβds)rγ\pmb k_g=\kappa_g \pmb e_2=\left(\dfrac {\mathrm d^2 u^\gamma}{\mathrm ds^2} + \Gamma_{\alpha\beta}^\gamma \dfrac {\mathrm du^\alpha}{\mathrm ds} \dfrac {\mathrm du^\beta}{\mathrm ds}\right)\pmb r_\gamma

其测地曲率为

κg=⟨kg,e2⟩=⟨kg,n∧drds⟩\kappa_g=\langle \pmb k_g,\pmb e_2\rangle=\left\langle \pmb k_g,\pmb n\wedge \dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm ds}\right\rangle

Proof. 测地曲率根据定义即可得到。主要是 kg\pmb k_g 在自然标架下的表示。根据定义，写出曲率向量的表达

d2rds2=dds(duαdsrα)=d2uαds2rα+duαds(Γαβγrγduβds+bαβnduβds)\dfrac {\mathrm d^2\pmb r}{\mathrm ds^2}=\dfrac {\mathrm d}{\mathrm ds}\left(\dfrac {\mathrm d u^\alpha}{\mathrm ds}\pmb r_\alpha\right)=\dfrac {\mathrm d^2 u^\alpha}{\mathrm ds^2}\pmb r_\alpha + \dfrac {\mathrm du^\alpha}{\mathrm ds}\left(\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma \pmb r_\gamma \dfrac {\mathrm du^\beta}{\mathrm ds} + b_{\alpha\beta}\pmb n \dfrac {\mathrm du^\beta}{\mathrm ds}\right)

整理后，提取在切平面的分量，即为测地曲率向量

kg=(d2uγds2+Γαβγduαdsduβds)rγ\pmb k_g=\left(\dfrac {\mathrm d^2 u^\gamma}{\mathrm ds^2} + \Gamma_{\alpha\beta}^\gamma \dfrac {\mathrm du^\alpha}{\mathrm ds} \dfrac {\mathrm du^\beta}{\mathrm ds}\right)\pmb r_\gamma

# 由正交标架刻画（Liouville 公式）

Proposition. 设曲线 r(u(s),v(s))\pmb r(u(s),v(s))，以 ss 为弧长参数；曲面以 (u,v)(u,v) 为正交参数，第一基本形式为

I=E(du)2+G(dv)2I=E(\mathrm du)^2 + G(\mathrm dv)^2

设曲线与 uu - 线的夹角为 θ\theta（以 uu - 线为始边），则曲线的测地曲率为

κg=dθds+(ln⁡G)uEsin⁡θ−(ln⁡E)vGcos⁡θ\kappa_g=\dfrac {\mathrm d\theta}{\mathrm ds} + \dfrac {(\ln\sqrt G)_u}{\sqrt E}\sin\theta-\dfrac {(\ln\sqrt E)_v}{\sqrt G}\cos\theta

Proof. 取正交标架，e1=ru/E,e2=rv/G\pmb e_1=\pmb r_u/\sqrt E,\ \pmb e_2=\pmb r_v/\sqrt G，则由正交标架的微分形式，有

ω12=−(E)vGdu+(G)uEdv\omega_{12}=-\dfrac {(\sqrt E)_v}{\sqrt G}\mathrm du + \dfrac {(\sqrt G)_u}{\sqrt E}\mathrm dv

根据测地曲率定义，取上述自然标架 {e1∗,e2∗}\{\pmb e^*_1,\pmb e^*_2\}，其中 e1∗\pmb e^*_1 为曲线切向量方向，e2∗=n∧e1∗\pmb e^*_2=\pmb n\wedge \pmb e^*_1，则考虑旋转角度（可能还会相差一个镜像，但在过程中我们发现不影响），有

[e1∗e2∗]=[cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ][e1e2],cos⁡θ=Eduds,sin⁡θ=Gdvds\begin{bmatrix}\pmb e^*_1 \\[6pt] \pmb e^*_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\[6pt] -\sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\pmb e_1 \\[6pt] \pmb e_2\end{bmatrix},\quad \cos\theta=\sqrt E \dfrac {\mathrm du}{\mathrm ds},\quad \sin\theta=\sqrt G \dfrac {\mathrm dv}{\mathrm ds}

则

κg=ω12∗ds=ω12+dθds=dθds+1ds(−(E)vGdu+(G)uEdv)=dθds+sin⁡θ2E∂ln⁡G∂u−cos⁡θ2G∂ln⁡E∂v\begin{array}{ll}\displaystyle\kappa_g&\displaystyle=\dfrac {\omega^*_{12}}{\mathrm ds}=\dfrac {\omega_{12}+\mathrm d\theta}{\mathrm ds}\\ \\&\displaystyle=\dfrac {\mathrm d\theta}{\mathrm ds} + \dfrac {1}{\mathrm ds}\left(-\dfrac {(\sqrt E)_v}{\sqrt G}\mathrm du + \dfrac {(\sqrt G)_u}{\sqrt E}\mathrm dv\right)\\ \\&\displaystyle=\dfrac {\mathrm d\theta}{\mathrm ds} + \dfrac {\sin \theta}{2\sqrt E}\dfrac {\partial \ln G}{\partial u} - \dfrac {\cos \theta}{2\sqrt G}\dfrac {\partial \ln E}{\partial v}\end{array}

# 测地线

Definition. 曲面 SS 上的弧长参数曲线 r(u1,u2)\pmb r(u^1,u^2) 称为测地线，如果它的测地曲率处处为零，即

κg=0⟺d2uγds2+Γαβγduαdsduβds=0,γ=1,2\kappa_g=0\iff \dfrac {\mathrm d^2 u^\gamma}{\mathrm ds^2} + \Gamma_{\alpha\beta}^\gamma \dfrac {\mathrm du^\alpha}{\mathrm ds} \dfrac {\mathrm du^\beta}{\mathrm ds}=0,\quad \gamma=1,2

# 存在唯一性

Theorem. 设曲面 S:r(u1,u2)S:\pmb r(u^1,u^2)，P∈SP\in S，v∈TPS\pmb v\in T_PS 是单位切向量，则曲面 SS 上存在唯一过 PP 点的测地线 CC，使在 PP 点与 v\pmb v 相切。

Proof. 测地线方程为关于 u1(s),u2(s)u^1(s),u^2(s) 的二阶常微分方程组，给定初始条件 u1(0),u2(0)u^1(0),u^2(0) 和 du1/ds(0),du2/ds(0)\mathrm du^1/\mathrm ds(0),\mathrm du^2/\mathrm ds(0)，由常微分方程存在唯一性定理可知，存在唯一解。

# 与等距变换

Proposition. 设 σ:S→S~\sigma:S\to \widetilde S是曲面间的等距变换，则 σ\sigma 将 SS 上的测地线映射为 S~\widetilde S上的测地线 σ(C)\sigma(C)。

Proof. 因为测地曲率由曲面的第一基本形式决定，而等距变换保持第一基本形式不变，所以测地曲率不变。而测地线的定义是测地曲率为零的曲线，所以测地线被映射为测地线。

# 与 Levi-Civita 平移

Proposition. 设曲面 SS 上弧长参数曲线 CC 是测地线，当且仅当沿曲线 CC 的单位切向量是 Levi-Civita 平行的。

Proof. 验证测地线方程即可。

Corollary. 测地线切向量长度为常数。所以过一点且沿着一个方向的测地线是存在唯一的。

# 与几何直观

Proposition. 曲面 SS 上的正则曲线 CC 是测地线，当且仅当 CC 的主法向量与曲面法向量平行。

Proof. 由测地曲率向量和曲率向量的关系可知

k=kg+κnn\pmb k=\pmb k_g + \kappa_n \pmb n

其中曲率向量 k\pmb k 的方向为主法向量方向。如果测地曲率 κg=0\kappa_g=0，则 k\pmb k 与 n\pmb n 平行；反之亦然。

Corollary. 任意曲面上的直线都是测地线。

Example. 单位球面 S2\mathbb S^2 上的测地线是大圆。

Proof. 对于任给定的 P∈S2P\in\mathbb S^2 及其一个单位切向量 v∈TPS2\pmb v\in T_P\mathbb S^2，则 OPOP 与 v\pmb v 垂直的平面与球面交于一条大圆 CC，在这条大圆上，曲线的主法向量与球面的法向量平行，所以 CC 是测地线。而由测地线存在唯一性定理可知，这条大圆是唯一的测地线。

Example. 圆柱面上的测地线为直母线、平行圆和圆柱螺线。

Proof. 对任意给定的 P∈SP\in S 及其一个单位切向量 v∈TPS\pmb v\in T_PS。若 v\pmb v 与母线方向平行，则测地线为直母线；若 v\pmb v 与平行圆方向平行，则测地线为平行圆；否则，测地线为圆柱螺线。在这些曲线上，曲线的主法向量与圆柱面的法向量平行，所以它们都是测地线。而由测地线存在唯一性定理可知，这些测地线是唯一的。

# 与几何最值（变分法）

Theorem. 设曲线 CC 是联结曲面 SS 上两点 P,QP,Q 的长度最短的曲面上的曲线，则 CC 是测地线。

Proof. 这曲面 S:r(u1,u2)S:\pmb r(u^1,u^2) 上的曲线 C:r(u1(s),u2(s))C:\pmb r(u^1(s),u^2(s))，弧长参数 s∈[0,l]s\in [0,l]，设起点为 PP，终点为 QQ。沿 CC 取正交标架 {e1,e2,e3}\{\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\}，设曲线的主法方向和自然标架的关系为

e2=a1(s)r1+a2(s)r2\pmb e_2=a^1(s)\pmb r_1 + a^2(s)\pmb r_2

第一步，构造 CC 的变分曲线，设光滑函数

f:[0,l]→R,f(0)=f(l)=0f:[0,l]\to\mathbb R,\quad f(0)=f(l)=0

则可以对 CC 作变分，即扰动，构造 SS 上的一族曲线 CλC_\lambda：

rλ(s)=r(u1(s)+λf(s)a1(s),u2(s)+λf(s)a2(s)),λ∈(−ε,ε)\pmb r^\lambda(s)=\pmb r(u^1(s)+\lambda f(s)a^1(s),u^2(s)+\lambda f(s)a^2(s)),\quad \lambda\in (-\varepsilon,\varepsilon)

这一组曲线满足

  1. 初值条件：r0(s)=r(s)\pmb r^0(s)=\pmb r(s)；
  2. 端点条件：rλ(0)=r(0)=P\pmb r^\lambda(0)=\pmb r(0)=P，rλ(l)=r(l)=Q\pmb r^\lambda(l)=\pmb r(l)=Q；
  3. 曲面条件：rλ(s)∈S\pmb r^\lambda(s)\in S；

之所以取 a1(s),a2(s)a^1(s),a^2(s)，是为了保证扰动方向在法方向上：

∂rλ∂λ∣λ=0=f(s)e2(s)\dfrac {\partial \pmb r^\lambda}{\partial \lambda}\Big|_{\lambda=0}=f(s)\pmb e_2(s)

第二步，计算变分曲线 rλ(s)\pmb r^\lambda(s) 的长度

L(λ)=∫0l∣∂rλ∂s∣ds=∫0l⟨∂rλ∂s,∂rλ∂s⟩dsL(\lambda)=\int_0^l \left|\dfrac {\partial \pmb r^\lambda}{\partial s}\right|\mathrm ds=\int^l_0 \sqrt{\left\langle \dfrac {\partial \pmb r^\lambda}{\partial s},\dfrac {\partial \pmb r^\lambda}{\partial s}\right\rangle}\mathrm ds

而因为条件，L(0)=inf⁡{L(λ),λ∈(−ε,ε)}L(0)=\inf\{L(\lambda),\lambda\in (-\varepsilon,\varepsilon)\}，所以

0=dL(λ)dλ∣λ=0=∫0l12⟨rs,rs⟩⋅2⟨∂rλ∂s∣λ=0,∂2rλ∂λ∂s∣λ=0⟩ds=∫0l⟨e1,∂∂s(f(s)e2)⟩ds=∫0lf(s)⟨e1,De2ds⟩ds=∫0lf(s)(−κg)ds\begin{array}{ll}0=\dfrac {\mathrm dL(\lambda)}{\mathrm d\lambda}\Big|_{\lambda=0}&=\displaystyle\int_0^l \dfrac {1}{2\sqrt{\langle \pmb r_s,\pmb r_s\rangle}} \cdot 2\left\langle \dfrac {\partial \pmb r^\lambda}{\partial s}\Big|_{\lambda=0},\dfrac {\partial^2 \pmb r^\lambda}{\partial \lambda \partial s}\Big|_{\lambda=0}\right\rangle \mathrm ds\\ \\&=\displaystyle\int_0^l \left\langle \pmb e_1,\dfrac {\partial}{\partial s}(f(s)\pmb e_2)\right\rangle \mathrm ds\\ \\&=\displaystyle\int_0^l f(s)\left\langle \pmb e_1,\dfrac {\mathrm D\pmb e_2}{\mathrm ds}\right\rangle \mathrm ds\\ \\&=\displaystyle\int_0^l f(s)(-\kappa_g)\mathrm ds\end{array}

因为 f(s)f(s) 是任意的光滑函数，满足端点条件，则由光滑函数的逼近性质知道

κg=0\kappa_g=0

即曲线 CC 是测地线。总结，变分法通过在长度最短曲线上的扰动，转化成长度极值问题，从而导出测地线方程的性质。

Remark. 定理的逆不一定成立，即测地线不一定是连接两点的最短曲线。但可以证明测地线是局部最短曲线。

Example. 球面上，连接 P,QP,Q 的优弧是测地线，但其实劣弧才是最短曲线。

Theorem. 设 P∈SP\in S，则存在 PP 点的小邻域 U⊆SU\subseteq S，使得对任意 Q∈UQ\in U，在 UU 内连接 P,QP,Q 的测地线的长度在所有连接 P,QP,Q 的曲面曲线中最短。

Proof. 取 PP 点附近的法邻域 U={expP(w):w∈TPS,∣w∣<ε}U=\{\mathrm{exp}_P(\pmb w):\pmb w\in T_PS,|\pmb w|<\varepsilon\}，在 UU 上取以 PP 为原点的测地极坐标 r=r(ρ,θ)\pmb r=\pmb r(\rho,\theta)

# 测地坐标

Example. 在平面上有直角坐标系和极坐标系。直角坐标系的坐标参数由两族相互正交的直线族决定，极坐标系的坐标参数由从原点出发的射线决定。

利用测地线，可以建立曲面上对应的坐标系。

# 测地平行坐标系

Definition. 在曲面上一点 PP，CC 为过 PP 的测地线，CC 的弧长参数为 v∈(−δ,δ)v\in (-\delta,\delta)，且 v=0v=0 对应点 PP。过 CC 的各点作与 CC 正交的测地线，它们的弧长参数都为 uu，且 u=0u=0 的曲线为 CC，则 (u,v)(u,v) 构成了 PP 附近的一个参数网，称为曲面以 PP 为原点的测地平行坐标系。

由 CC 为测地线，取在点 PP 的平面单位切向量 a\pmb a 使得 a⊥rv(0)\pmb a\perp \pmb r_v(0)，则可作沿 CC 的以 a\pmb a 为初值的平行向量场 a(v)\pmb a(v)，因为 Levi-Civita 平移保持夹角不变，所以 a(v)⊥rv(v)\pmb a(v)\perp \pmb r_v(v)。在每个点处，以 a(v)\pmb a(v) 为初值作测地线，得到测地平行坐标系。

Proposition. 曲面 SS 上以点 PP 为原点的测地平行坐标系 (u,v)(u,v) 的第一基本形式为

I=du2+G(u,v)dv2;G(0,v)=1I=\mathrm du^2 + G(u,v)\mathrm dv^2;\quad G(0,v)=1

Proof. 因为 uu 为弧长参数，所以 E=⟨ru,ru⟩=1E=\langle \pmb r_u,\pmb r_u\rangle=1。因为 u=0u=0 时，vv 为曲线 CC 的弧长参数，所以 G(0,v)=⟨rv,rv⟩=1G(0,v)=\langle \pmb r_v,\pmb r_v\rangle=1。而 F=⟨ru,rv⟩F=\langle \pmb r_u,\pmb r_v\rangle 满足

∂F∂u=⟨ruu,rv⟩+⟨ru,ruv⟩=0\dfrac {\partial F}{\partial u}=\langle \pmb r_{uu},\pmb r_v\rangle + \langle \pmb r_u,\pmb r_{uv}\rangle =0

对于前一项，ruu\pmb r_{uu} 是测地线 uu - 线的曲率向量，所以与平面法向量平行，从而与 rv\pmb r_v 垂直；对于后一项，因为 ⟨ru,ru⟩=1\langle \pmb r_u,\pmb r_u\rangle =1，对 vv 求导，有 ⟨ruv,ru⟩=0\langle \pmb r_{uv},\pmb r_u\rangle=0，所以上述成立。而根据测地平行坐标系的构造

F(u,v)=F(0,v)=⟨ru(0,v),rv(0,v)⟩=0F(u,v)=F(0,v)=\langle \pmb r_u(0,v),\pmb r_v(0,v)\rangle=0

# 测地极坐标系

Definition. 在曲面上一点 PP，以 PP 为起点作各个方向的测地线，对于单位切向量 v∈TPS\pmb v\in T_PS，设该测地线为 γ(v,s)\gamma(\pmb v,s)，其中 s≥0s\geq 0 为弧长参数。则存在 ε>0\varepsilon>0，使得对任意单位切向量 v∈TPS\pmb v\in T_PS，当 0≤s<ε0\leq s<\varepsilon 时，γ(v,s)\gamma(\pmb v,s) 都在曲面 SS 上定义。定义 PP 点的指数映射为

exp⁡P:TPS→S,exp⁡P(w)=γ(w∣w∣,∣w∣),w∈TPS,0<∣w∣<ε\exp_P:T_PS\to S,\quad \exp_P(\pmb w)=\gamma\left(\dfrac {\pmb w}{|\pmb w|},|\pmb w|\right),\quad \pmb w\in T_PS,0<|\pmb w|<\varepsilon

上述 ε\varepsilon 是存在的。因为测地线由测地线方程决定，后者是常微分方程组，并且关于初值连续依赖，所以考虑对方向（单位圆周）作开覆盖，取有限子覆盖对应的最小 ε\varepsilon 即可。

Remark. 指数映射将切平面上原点的邻域映为曲面上点 PP 的邻域；将切平面上过原点的直线映为曲面上过点 PP 的测地线；这个映射是一一对应的。

Definition. 在曲面上一点 PP 附近，选定切平面 TPST_PS 的正交标架 {e1,e2}\{\pmb e_1,\pmb e_2\}，取指数映射 exp⁡P\exp_P 作用：

w=x1e1+x2e2↦exp⁡P(w)=r(x1,x2),∣w∣<ε\pmb w=x^1\pmb e_1 + x^2\pmb e_2\ \ \mapsto \exp_P(\pmb w)=\pmb r(x^1,x^2),\quad |\pmb w|<\varepsilon

给出了曲面 SS 在 PP 附近的参数表示 r(x1,x2)\pmb r(x^1,x^2)，(x1,x2)(x^1,x^2) 称为曲面 SS 以 PP 为原点的法坐标系。在切平面 TPST_PS 上，令

{x1=ρcos⁡θx2=ρsin⁡θ,(ρ,θ)∈(0,ε)×[0,2π)\begin{cases}x^1=\rho \cos \theta\\[6pt] x^2=\rho \sin \theta\end{cases},\quad (\rho,\theta)\in (0,\varepsilon)\times [0,2\pi)

则 (ρ,θ)(\rho,\theta) 可以作为曲面 SS 在点 PP 附近（除 PP 点）的参数，称为曲面 SS 以 PP 为原点的测地极坐标系。

# 测地极坐标系的良定性

记与 e1\pmb e_1 夹角为 θ\theta 的 ρ\rho - 线为 CθC_\theta，则 {Cθ:θ∈[0,2π)}\{C_\theta:\theta\in [0,2\pi)\} 是从 PP 出发的一族测地线。用 r(ρ,θ)\pmb r(\rho,\theta) 表示测地线 CθC_\theta 上弧长为 ρ\rho 的点。

Proposition. (x1,x2)(x^1,x^2) 是曲面 SS 在 PP 点附近的正则参数。

Proof. 正则参数就是局部坐标，满足一一对应、光滑且 Jacobi 矩阵非零。所以只需要找另一个参数网，证明两者之间的参数变换 Jacobi 矩阵非零即可。这里就取定义中选定的正交标架。设 (u1,u2)(u^1,u^2) 是 SS 在 PP 附近的正交参数，满足（对于线性无关切向量场，局部存在参数网使得以它们为对参数的切向量，这是之前提到的引理）

∂r∂u1∣P=e1,∂r∂u2∣P=e2\dfrac {\partial \pmb r}{\partial u^1}\Big|_{P}=\pmb e_1,\quad \dfrac {\partial \pmb r}{\partial u^2}\Big|_{P}=\pmb e_2

以下证明有允许参数变换即可，即在 PP 点附近

det⁡(∂(x1,x2)∂(u1,u2))≠0\det\left(\dfrac {\partial (x^1,x^2)}{\partial (u^1,u^2)}\right)\neq 0

设 PP 对应 u1=0,u2=0u^1=0,u^2=0，设 PP 出发的测地线 CθC_\theta 的参数表示为 r(u1(ρ),u2(ρ))\pmb r(u^1(\rho),u^2(\rho))，则满足测地线方程

d2uγdρ2+Γαβγduαdρduβdρ=0,γ=1,2\dfrac {\mathrm d^2 u^\gamma}{\mathrm d\rho^2} + \Gamma_{\alpha\beta}^\gamma \dfrac {\mathrm du^\alpha}{\mathrm d\rho} \dfrac {\mathrm du^\beta}{\mathrm d\rho}=0,\quad \gamma=1,2

因为 CθC_\theta 在 PP 点的曲线切向量为

r(u1(ρ),u2(ρ))dρ∣ρ=0=e1du1dρ∣ρ=0+e2du2dρ∣ρ=0=cos⁡θe1+sin⁡θe2\dfrac {\pmb r(u^1(\rho),u^2(\rho))}{\mathrm d\rho}\Big|_{\rho=0}=\pmb e_1\dfrac {\mathrm du^1}{\mathrm d\rho}\Big|_{\rho=0} + \pmb e_2 \dfrac {\mathrm du^2}{\mathrm d\rho}\Big|_{\rho=0}=\cos\theta \pmb e_1 + \sin\theta \pmb e_2

从而

du1dρ∣ρ=0=cos⁡θ,du2dρ∣ρ=0=sin⁡θ\dfrac {\mathrm du^1}{\mathrm d\rho}\Big|_{\rho=0}=\cos\theta,\quad \dfrac {\mathrm du^2}{\mathrm d\rho}\Big|_{\rho=0}=\sin\theta

将 uγu^\gamma 在 ρ=0\rho=0 处展开

uγ(ρ)=uγ(0)+duγdρ∣ρ=0ρ+12d2uγdρ2∣ρ=0ρ2+o(ρ2)=xγ(0)+xγ−12Γαβγxαxβ+o(ρ2)u^\gamma(\rho)=u^\gamma(0) + \dfrac {\mathrm du^\gamma}{\mathrm d\rho}\Big|_{\rho=0}\rho + \dfrac {1}{2}\dfrac {\mathrm d^2 u^\gamma}{\mathrm d\rho^2}\Big|_{\rho=0}\rho^2 + o(\rho^2)=x^\gamma(0)+x^\gamma-\dfrac 12\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma x^\alpha x^\beta + o(\rho^2)

所以当 ρ→0\rho\to 0 时，有

∂uγ∂xβ=δβγ−Γαβγxα+o(ρ)→δβγ\dfrac {\partial u^\gamma}{\partial x^\beta}=\delta_\beta^\gamma - \Gamma_{\alpha\beta}^\gamma x^\alpha + o(\rho)\to \delta_\beta^\gamma

所以 Jacobi 矩阵在 PP 点可逆，由连续性知道在局部是可逆的，所以 (x1,x2)(x^1,x^2) 是正则参数。:::

# 法坐标系的性质

在法坐标系下，有许多简洁的性质。

Theorem. 设曲面 SS 以点 PP 为原点的法坐标系 (x1,x2)(x^1,x^2)，曲面的第一基本形式为

I=gijdxidxjI=g_{ij}\mathrm dx^i \mathrm dx^j

则

gij(P)=δij;∂gij∂xk(P)=0;Γijk(P)=0g_{ij}(P)=\delta_{ij};\quad \dfrac {\partial g_{ij}}{\partial x^k}(P)=0;\quad \Gamma^k_{ij}(P)=0

Proof. 设曲面上由正交标架 {e1,e2}\{\pmb e_1,\pmb e_2\} 诱导的正交参数网 (u1,u2)(u^1,u^2)，则

I=g~ijduiduj=gijdxidxjI=\tilde g_{ij}\mathrm du^i \mathrm du^j=g_{ij}\mathrm dx^i \mathrm dx^j

因为之前证明过正则参数 (x1,x2)(x^1,x^2) 和 (u1,u2)(u^1,u^2) 之间的参数变换 Jacobi 矩阵在 PP 是单位阵，所以

gij(P)=⟨drdxi,drdxj⟩∣P=⟨drdui,drduj⟩∣P=⟨ei,ej⟩=δijg_{ij}(P)=\left\langle \dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm dx^i},\dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm dx^j}\right\rangle \Big|_{P}=\left\langle \dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm du^i},\dfrac {\mathrm d\pmb r}{\mathrm du^j}\right\rangle \Big|_{P}=\langle \pmb e_i,\pmb e_j\rangle=\delta_{ij}

接下来算 Christoffel 记号，因为对于任意给定 θ\theta 的 CθC_\theta，即 ρ\rho - 线，它是过 PP 点的测地线，满足测地线方程。具体地，可以将记成 Cθ:r(u1(ρ,θ),u2(ρ,θ))C_\theta:\pmb r(u^1(\rho,\theta),u^2(\rho,\theta))，则测地线方程为

∂2uγ∂ρ2+Γαβγ∂uα∂ρ∂uβ∂ρ=0,γ=1,2\dfrac {\partial^2 u^\gamma}{\partial \rho^2} + \Gamma_{\alpha\beta}^\gamma \dfrac {\partial u^\alpha}{\partial \rho} \dfrac {\partial u^\beta}{\partial \rho}=0,\quad \gamma=1,2

在 PP 处，(x1,x2),(u1,u2)(x^1,x^2),(u^1,u^2) 的参数变换是单位，所以上式可以改写为

∂2xγ∂ρ2+Γαβγ∂xα∂ρ∂xβ∂ρ=0,γ=1,2\dfrac {\partial^2 x^\gamma}{\partial \rho^2} + \Gamma_{\alpha\beta}^\gamma \dfrac {\partial x^\alpha}{\partial \rho} \dfrac {\partial x^\beta}{\partial \rho}=0,\quad \gamma=1,2

由法坐标和测地极坐标的转化

{x1=ρcos⁡θx2=ρsin⁡θ\begin{cases}x^1=\rho \cos \theta\\[6pt] x^2=\rho \sin \theta\end{cases}

可知当 ρ→0\rho\to 0 时，有

∂2xγ∂ρ2=0,∂x1∂ρ=cos⁡θ,∂x2∂ρ=sin⁡θ\dfrac {\partial^2 x^\gamma}{\partial \rho^2}=0,\quad \dfrac {\partial x^1}{\partial \rho}=\cos\theta,\quad \dfrac {\partial x^2}{\partial \rho}=\sin\theta

所以测地线方程在 PP 点可展开为

Γ11i(P)cos⁡2θ+2Γ12i(P)cos⁡θsin⁡θ+Γ22i(P)sin⁡2θ=0,i=1,2\Gamma^i_{11}(P)\cos^2\theta + 2\Gamma^i_{12}(P)\cos\theta \sin\theta + \Gamma^i_{22}(P)\sin^2\theta=0,\quad i=1,2

由 θ\theta 的任意性可知，Γ11i(P)=Γ12i(P)=Γ22i(P)=0\Gamma^i_{11}(P)=\Gamma^i_{12}(P)=\Gamma^i_{22}(P)=0。相应地

∂gij∂xk(P)=gil(P)Γjkl(P)+gjl(P)Γikl(P)=0\dfrac {\partial g_{ij}}{\partial x^k}(P)=g_{il}(P)\Gamma^l_{jk}(P) + g_{jl}(P)\Gamma^l_{ik}(P)=0

# 测地极坐标系的性质

Corollary. 设曲面 SS 以点 PP 为原点的测地极坐标系 (ρ,θ)(\rho,\theta) 是 PP 点附近（除 PP 点）的正则参数。

Theorem. 设曲面 SS 以点 PP 为原点的测地极坐标系 (ρ,θ)(\rho,\theta)，曲面的第一基本形式为

I=(dρ)2+G(ρ,θ)(dθ)2I=(\mathrm d\rho)^2 + G(\rho,\theta)(\mathrm d\theta)^2

其中

lim⁡ρ→0G=0,lim⁡ρ→0(G)ρ=1\lim_{\rho\to 0} \sqrt G=0,\quad \lim_{\rho\to 0} (\sqrt G)_\rho=1

Remark. 测地极坐标系的上述性质类似于测地平行坐标系的性质，但有所不同。测地极坐标系在 PP 点没有定义。

Proof. 类比于测地平行坐标系的证明。设在测地极坐标系 (ρ,θ)(\rho,\theta) 下，曲面的第一基本形式为

I=E(dρ)2+2Fdρdθ+G(dθ)2I=E(\mathrm d\rho)^2 + 2F\mathrm d\rho \mathrm d\theta + G(\mathrm d\theta)^2

因为 ρ\rho 为 CθC_\theta 的弧长参数，所以

E=⟨rρ,rρ⟩=1E=\langle \pmb r_\rho,\pmb r_\rho\rangle=1

因为测地线 CθC_\theta 的曲率向量 rρρ\pmb r_{\rho\rho} 与曲面法向量平行，所以 F=⟨rρ,rθ⟩F=\langle \pmb r_\rho,\pmb r_\theta\rangle 满足

∂F∂ρ=⟨rρρ,rθ⟩+⟨rρ,rρθ⟩=0\dfrac {\partial F}{\partial \rho}=\langle \pmb r_{\rho\rho},\pmb r_\theta\rangle + \langle \pmb r_\rho,\pmb r_{\rho\theta}\rangle=0

前一项为零，后一项因为 ⟨rρ,rρ⟩=1\langle \pmb r_\rho,\pmb r_\rho\rangle=1，对 θ\theta 求导，有 ⟨rρθ,rρ⟩=0\langle \pmb r_{\rho\theta},\pmb r_\rho\rangle=0，所以上述成立。而

{rρ=rx1cos⁡θ+rx2sin⁡θrθ=−ρrx1sin⁡θ+ρrx2cos⁡θ\begin{cases}\pmb r_\rho=\pmb r_{x^1}\cos\theta + \pmb r_{x^2}\sin\theta\\[6pt]\pmb r_\theta=-\rho \pmb r_{x^1}\sin\theta + \rho \pmb r_{x^2}\cos\theta\end{cases}

所以（和测地平行坐标系不同的是，测地极坐标在 PP 点没有定义）

F(ρ,θ)=lim⁡ρ→0F(ρ,θ)=lim⁡ρ→0⟨rρ,0⟩=0F(\rho,\theta)=\lim_{\rho \to 0} F(\rho,\theta)=\lim_{\rho \to 0} \langle \pmb r_\rho,0\rangle =0

接下来计算 GG，有

G(ρ,θ)=⟨rθ,rθ⟩=ρ2(sin⁡2θg~11−2sin⁡θcos⁡θg~12+cos⁡2θg~22):=ρ2MG(\rho,\theta)=\langle \pmb r_\theta,\pmb r_\theta\rangle=\rho^2(\sin^2\theta \tilde g_{11} - 2\sin\theta \cos\theta \tilde g_{12} + \cos^2\theta \tilde g_{22}):=\rho^2 M

所以 lim⁡ρ→0G=0\lim_{\rho\to 0} \sqrt G=0。又由法坐标系的性质 g~ij(P)=δij\tilde g_{ij}(P)=\delta_{ij}，所以

lim⁡ρ→0(G)ρ=lim⁡ρ→0M+ρ∂M∂xk∂xk∂ρ=sin⁡θ2+cos⁡θ2=1\lim_{\rho \to 0}(\sqrt G)_\rho=\lim_{\rho \to 0}M+\rho\dfrac {\partial M}{\partial x^k}\dfrac {\partial x^k}{\partial \rho}=\sin\theta^2 + \cos\theta^2=1

# 局部 Gauss-Bonnet 公式

Theorem. Stokes 公式：设 D⊆SD\subseteq S 是曲面 SS 上单连通区域，边界 ∂D\partial D 是分段光滑闭曲线，ω\omega 是 SS 上的微分 1 - 形式，则

∫∂Dω=∬Ddω\int _{\partial D}\omega=\iint _D\mathrm d\omega

Corollary. 对于曲面 SS 上的正交标架 {e1,e2}\{\pmb e_1,\pmb e_2\}，其对偶形式为 {ω1,ω2}\{\omega_1,\omega_2\}，则

−∫∂Dω12=∬DKdA-\int _{\partial D}\omega_{12}=\iint _DK\mathrm dA

Theorem. Gauss-Bonnet 公式：设 DD 是曲面 SS 上一块单连通、有界区域，边界 ∂D\partial D 是分段光滑闭曲线，设 αi\alpha_i 是 ∂D\partial D 的顶点的外角，则

∬DKdA+∫∂Dkgds+∑iαi=2π\iint _DK\mathrm dA+\int _{\partial D}k_g\mathrm ds+\sum_i \alpha_i=2\pi

Proof. 设分段光滑曲线 Ci:r(u1(s),u2(s))C_i:\pmb r(u^1(s),u^2(s)) 以弧长参数，记 α\alpha 为 r˙\dot{\pmb r} 和 e1\pmb e_1 的夹角，则

kg=⟨Dr˙ds,e3∧r˙⟩=dαds+ω12dsk_g=\left\langle\dfrac {\mathrm D\dot{\pmb r}}{\mathrm ds},\pmb e_3\wedge \dot{\pmb r}\right\rangle=\dfrac {\mathrm d\alpha}{\mathrm ds} + \dfrac {\omega_{12}}{\mathrm ds}

从而

kgds=dα+ω12⟹∫Cikgds=∫Cidα+∫Ciω12k_g\mathrm ds=\mathrm d\alpha + \omega_{12}\implies \int _{C_i}k_g\mathrm ds=\int_{C_i}\mathrm d\alpha + \int _{C_i}\omega_{12}

将分段光滑曲线拼接

∫∂Dkgds=∑i∫Cikgds=∑i∫Cidα+∑i∫Ciω12=−∬DKdA+∫∂Ddα\int _{\partial D}k_g\mathrm ds=\sum_i \int _{C_i}k_g\mathrm ds=\sum_i \int_{C_i}\mathrm d\alpha + \sum_i \int _{C_i}\omega_{12}=-\iint_DK\mathrm dA + \int_{\partial D} \mathrm d\alpha

(1) 如果 ∂D\partial D 光滑（即没有拼接点），则需要证明

∫∂Ddα=2π\int _{\partial D} \mathrm d\alpha=2\pi

首先，α(s)\alpha(s) 是 ∂D\partial D 上切向量 r˙(s)\dot{\pmb r}(s) 和 e1(s)\pmb e_1(s) 的夹角，而 ∂D\partial D 是闭曲线，因此

∫∂Ddα=α(L)−α(0)=2kπ\int _{\partial D} \mathrm d\alpha=\alpha(L)-\alpha(0)=2k\pi

# Laplace 算子

# Riemann 度量

Remark. 第一基本形式本质是定义在参数域上的正定二次微分式。Riemann 度量推广了曲面第一基本形式的概念。

Definition. 参数区域 D={(u,v)}D=\{(u,v)\} 上的正定二次微分式

Edudu+2Fdudv+GdvdvE\mathrm du\mathrm du+2F\mathrm du\mathrm dv+G\mathrm dv\mathrm dv

满足 E>0,EG−F2>0E>0,EG-F^2>0 时，称为是 DD 上的 Riemann 度量。

Remark. Riemann 度量要求系数矩阵非退化，但不要求 G>0G>0，因此不一定是第一基本形式。

# 度量与结构方程

# 切向量场与协变微分

# 测地曲率与测地线