# 平面闭曲线

Definition. 设 $\pmb r(s)$ 是一条平面曲线，$s\in [0,l]$ 是弧长参数。如果满足粘合关系

$$\pmb r^{(k)}(0)=\pmb r^{(k)}(l),\quad k=0,1,\ldots$$

则称 $\pmb r(s)$ 为一条 闭曲线。当闭曲线没有自交点时称为简单闭曲线。

# Jordan 曲线定理

Theorem. 设 $C$ 是平面简单闭曲线，则 $C$ 将平面 $\mathbb R^2$ 分割为两个连通分支：有界的内侧和无界的外侧，且 $C$ 是这两个分支的公共边界。

这个证明在拓扑学中提到。

# 旋转指数定理

Definition. 设 $C:\pmb r=\pmb r(s),s\in[0,l]$ 是一条平面闭曲线，$\kappa(s)$ 是其曲率函数。定义闭曲线 $C$ 的旋转指数为

$$i=\frac{1}{2\pi}\int_0^l\kappa(s)\mathrm d s$$

Sketch Proof. 曲线的切向量和法向量的夹角一定相差有向直角，所以切向量沿曲线一周的转动圈数与法向量沿曲线一周的转动圈数相同。另一方面，由曲线结构方程

$$\dfrac {\mathrm d\pmb n}{\mathrm d s}=-\kappa(s)\pmb t(s)$$

可知 $\kappa(s)$ 是 $\pmb r(s)$ 在 Gauss 映射的像 $\pmb n(s)$ 在 $\mathbb S^1$ 上的移动速度。当 $\kappa>0$ 时，$\pmb n(s)$ 沿 $\mathbb S^1$ 逆时针移动；当 $\kappa<0$ 时，$\pmb n(s)$ 沿 $\mathbb S^1$ 顺时针移动。在大小上，$\pmb n(s)$ 在 $\mathbb S^1$ 上移动的有向路程为

$$\int_0^l\kappa(s)\mathrm d s$$

因此 $\pmb n(s)$ 绕 $\mathbb S^1$ 转动的圈数就是除以圆周长 $2\pi$ 后的结果，即旋转指数 $i$。取值的离散性，从法向量始末相同可知，其扫过的总角度必为 $2k\pi$，其中 $k\in\mathbb Z$，这也是后续证明定理的关键。

直观上，简单闭曲线可以通过光滑形变（需要证明）为单位圆，但旋转指数是离散的，因此简单闭曲线的旋转指数只能是单位圆的旋转指数。

Theorem. 平面简单闭曲线的旋转指数为 $+1$ 或 $-1$。

Sketch Proof. 在 Gauss 映射圆盘中，除了从线速度来看待旋转指数，还可以从角速度出发。设曲线的单位切向量 $\pmb t(s)$ 与 $x$ 轴的夹角为 $\widetilde \theta(s)$，则曲率函数 $\kappa(s)$ 可表示为

$$\kappa(s)=\frac{\mathrm d\widetilde\theta(s)}{\mathrm d s}$$

但方向角 $\widetilde\theta(s)$ 并不是一个连续函数，它在经过 $x$ 轴正向时会发生跳跃。为了消除这种不连续性，我们断言：存在连续函数 $\theta:[0,l]\to\mathbb R$，使得

$$\theta(s)\equiv\widetilde\theta(s)\pmod{2\pi}$$

且满足上式的连续函数 $\theta(s)$ 在 $\mathrm{mod}\ 2\pi$ 的意义下唯一。这是拓扑中的提升定理，在此不赘述证明细节。

由定义 $\pmb t(s)$ 是光滑函数，并且 $\theta(s)$ 是连续的，考虑如下表达式

$$\pmb t(s)=(\cos\tilde\theta(s),\sin\widetilde\theta(s))=(\cos\theta(s),\sin\theta(s))$$

由链式法则可知 $\theta(s)$ 也是光滑函数，因此

$$i=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^l\kappa(s)\mathrm d s=\dfrac{\theta(l)-\theta(0)}{2\pi}$$

即旋转指数式切线转角 $\theta(s)$ 沿曲线一周而转过的圈数。

从旋转指数定理中，可以归纳 $\kappa$ 和角度参数的关系。

Definition. 平面闭曲线 $\pmb r(s)$ 的角度参数 $\theta(s):[0,l]\to\mathbb R$ 定义为切向量 $\pmb t(s)$ 与 $x$ 轴的夹角函数的提升，满足

$$\begin{cases}\kappa(s)=\dfrac{\mathrm d\theta(s)}{\mathrm d s}\\[6pt] \pmb t(s)=(\cos\theta(s),\sin\theta(s))\end{cases}$$

# 等周定理

Definition. 等周问题是在给定长度的所有可求长曲线中寻找围成最大面积的那条曲线。

# 平面曲线的等周不等式

Theorem. 设 $C$ 是平面简单闭曲线，长度为 $L$，围成的有界区域 $D$ 的面积为 $A$，则有

$$L^2\geq 4\pi A$$

等号成立当且仅当 $C$ 是圆。

# Hurwitz 证明

# Steiner 证明

# 变分法证明

# 收缩流证明

# 空间曲线的等周不等式

Theorem. 设 $\Omega\subseteq \mathbb R^n$ 为有界区域，边界 $\partial \Omega$

欧氏

双曲

# 极小曲面区域的等周不等式

Theorem. 设 $\Sigma\to\mathbb R^3$ 为极小曲面，$\Omega\subseteq \Sigma$ 为其上有界区域，$\partial\Omega$ 为 $C^1$ 的简单闭曲线，则

$$L^2\geq 4\pi A$$

其中等号成立当且仅当 $\Omega$ 为 $\mathbb R^3$ 中平坦的全测地圆盘。

# 平面凸曲线

Definition. 平面简单闭曲线的曲率 $\kappa>0$ 时，称该曲线为凸曲线。

Theorem. 凸曲线 $C$ 的 Gauss 映射 $\pmb n:C\to\mathbb S^1$ 是一一对应。

Sketch Proof. 对于凸曲线，考虑其角度参数 $\theta(s)$。由凸性知道

$$\kappa(s)=\frac{\mathrm d\theta(s)}{\mathrm d s}>0$$

因此 $\theta(s)$ 是严格增函数，进而 Gauss 映射

$$\pmb n(s)=(-\sin\theta(s),\cos\theta(s))$$

满足 $\pmb n(s_1)=\pmb n(s_2)$ 当且仅当 $\theta(s_1)\equiv\theta(s_2)\pmod{2\pi}$。由平面闭曲线的旋转指数定理可知

$$\theta(l)-\theta(0)=2\pi$$

因此 $\theta(s)$ 在 $[0,l]$ 上的值域为 $[\theta(0),\theta(0)+2\pi]$，并且 $\theta(0)$ 和 $\theta(0)+2\pi$ 对应同一个点，所以 Gauss 映射是满射且单射，即双射。

Definition. 设曲线 $\pmb r(s),s\in[0,l]$ 为平面凸曲线，$\kappa(s)$ 为其曲率函数。定义该曲线的支持函数为

# Minkowski 问题

给定闭凸曲线，则其曲率函数 $\kappa(s)$ 满足 $\kappa>0$ 且为周期光滑函数。反过来

Definition. Minkowski 问题：给定周期光滑函数 $\kappa(\theta)>0$，是否存在唯一一条平面闭凸曲线，其曲率函数为 $\kappa(\theta)$？

# 四顶点定理

Definition. 设弧长参数的平面简单闭曲线 $\pmb r(s),s\in[0,l]$，若

$$\dfrac {\mathrm d\kappa}{\mathrm d s}(s_0)=0$$

则称点 $\pmb r(s_0)$ 为曲线的顶点。