Proof. 设 $\Sigma_\alpha\cap \Sigma_\beta\ne \varnothing$，则存在 $(u_\alpha^0,v_\alpha^0)\in D_\alpha$ 和 $(u_\beta^0,v_\beta^0)\in D_\beta$，使得在同一点处有两个参数表示下的第一基本形式

$$\begin{cases}I_\alpha=E_\alpha(\mathrm du^{\alpha})^2+2F_\alpha \mathrm du^{\alpha}\mathrm dv^{\alpha}+G_\alpha(\mathrm dv^{\alpha})^2,\\[6pt] I_\beta=E_\beta(\mathrm du^{\beta})^2+2F_\beta \mathrm du^{\beta}\mathrm dv^{\beta}+G_\beta(\mathrm dv^{\beta})^2.\end{cases}$$

而映射 $\pmb r_\beta^{-1}\circ \pmb r_\alpha$ 可微，故存在雅可比矩阵

$$J=\begin{pmatrix}u^\alpha_{u^\beta}&u^\alpha_{v^\beta}\\[6pt] v^\alpha_{u^\beta}&v^\alpha_{v^\beta}\end{pmatrix}$$

且 $\det J\ne 0$。由链式法则，有

$$\begin{pmatrix}\mathrm du^\alpha\\[6pt] \mathrm dv^\alpha\end{pmatrix}=J\begin{pmatrix}\mathrm du^\beta\\[6pt] \mathrm dv^\beta\end{pmatrix}.$$

将上式代入 $I_\alpha$ 中，得到

$$I_\alpha=\begin{pmatrix}\mathrm du^\beta&\mathrm dv^\beta\end{pmatrix}J^T\begin{pmatrix}E_\alpha&F_\alpha\\[6pt] F_\alpha&G_\alpha\end{pmatrix}J\begin{pmatrix}\mathrm du^\beta\\[6pt] \mathrm dv^\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathrm du^\beta&\mathrm dv^\beta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_\beta&F_\beta\\[6pt] F_\beta&G_\beta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm du^\beta\\[6pt] \mathrm dv^\beta\end{pmatrix}=I_\beta.$$

因此，曲面的第一基本形式在不同曲面片上取值相同，可以在 $\Sigma$ 上整体定义。

Example. 平面是曲面，它可以用一块曲面片来表示：

$$\pmb r(x,y)=(x,y,0)\in \mathbb R^3,\ \ (x,y)\in D\subseteq \mathbb R^2$$

按定义，任何曲面片都是单片曲面。

Example. 圆柱面 $\Sigma=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3|x^2+y^2=1\}$ 是曲面，设

$$\Sigma_1=\{(x,y,z)\in \Sigma|\ x<1\},\quad \Sigma_2=\{(x,y,z)\in \Sigma|\ x>-1\}$$

就是把圆柱面裁开，首先有

$$\Sigma=\Sigma_1\cup \Sigma_2.$$

其次，$\Sigma_1$ 和 $\Sigma_2$ 都是曲面片，分别由参数表示

$$\begin{cases}\pmb r_1=(\cos\theta,\sin \theta,u)& \Sigma_1=\pmb r_1(D_1) &D_1=\{(\theta,u)|\theta\in(0,2\pi),u\in \mathbb R\}\\[6pt] \pmb r_2=(\cos\varphi,\sin \varphi,v)& \Sigma_2=\pmb r_2(D_2) & D_2=\{(\varphi,v)|\varphi\in(-\pi,\pi),v\in \mathbb R\}\end{cases}$$

最后，拼接映射在 $\Sigma_1\cap \Sigma_2=\{(x,y,z)|\ x^2\neq 1\}$ 上是

$$(\varphi,v)=\pmb r_2^{-1}\circ \pmb r_1(\theta,u)=\begin{cases}(\theta,u),&\theta\in (0,\pi)\\[6pt](\theta-2\pi,u),&\theta\in(\pi,2\pi)\end{cases}$$

这是光滑双射。

Example. 球面 $\mathbb S^2=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3|x^2+y^2+z^2=1\}$ 是曲面。设曲面片为南极投影和北极投影

$$\mathbb S^2_+=\{(x,y,z)\in \mathbb S^2|z>-1\},\quad \mathbb S^2_-=\{(x,y,z)\in \mathbb S^2|z<1\}$$

则首先有

$$\mathbb S^2=\mathbb S^2_+\cup \mathbb S^2_-$$

其次，$\mathbb S^2_+$ 和 $\mathbb S^2_-$ 都是曲面片，分别有参数表示

$$\begin{cases}\pmb r_+(u_1,v_1)=\left(\dfrac{2u_1}{u_1^2+v_1^2+1},\dfrac{2v_1}{u_1^2+v_1^2+1},\dfrac{1-u^2_1-v^2_1}{u_1^2+v_1^2+1}\right)& \mathbb S^2_+=\pmb r_+(\mathbb R^2)\\[12pt] \pmb r_-(u_2,v_2)=\left(\dfrac{2u_2}{u_2^2+v_2^2+1},\dfrac{2v_2}{u_2^2+v_2^2+1},\dfrac{u^2_2+v^2_2-1}{u_2^2+v_2^2+1}\right)& \mathbb S^2_-=\pmb r_-(\mathbb R^2)\end{cases}$$

最后，拼接映射在 $\mathbb S^2_+\cap \mathbb S^2_-=\{(x,y,z)|z\ne \pm 1\}$ 上是

$$(u_2,v_2)=\pmb r_-^{-1}\circ \pmb r_+(u_1,v_1)=\left(\dfrac{u_1}{u_1^2+v_1^2},\dfrac{v_1}{u_1^2+v_1^2}\right)$$

这是光滑双射。

Example. 球面、柱面、环面都是可定向曲面。

Example. Mobius 带不是可定向曲面。

Example. 球面、环面是紧致曲面，平面、圆柱面不是紧致曲面。

Proof. 设 $\pmb r=(x,y,z)$ 是曲面的位置向量，考虑曲面上的模长函数

$$f(P)=\langle \pmb r(P),\pmb r(P)\rangle=x^2(P)+y^2(P)+z^2(P),\ \ P\in \Sigma.$$

由于 $\Sigma$ 的紧致性，$f$ 必在某点 $P_0\in\Sigma$ 达到最大值，以下验证 $K(P_0)>0$。设 $\pmb r=\pmb r(u,v)$ 是包含 $P_0$ 的曲面片的参数表示，且 $\pmb r(u_0,v_0)=P_0$。由极值点的必要条件，有

$$\mathrm df(P_0)=2\langle \mathrm d\pmb r,\pmb r\rangle|_{(u_0,v_0)}=0$$

所以 $\pmb r(P_0)$ 与 $\Sigma$ 在 $P_0$ 的法向量共线，且由最大值知道 $|\pmb r(P_0)|\ne 0$，不妨设它与曲面在 $(u,v)$ 参数下的单位法向量 $\pmb n$ 满足

$$\pmb r(P_0)=\lambda \pmb n,\quad \lambda \neq 0$$

则对于任意过 $P_0$ 的 $\Sigma$ 上的曲线 $\pmb r(s)=\pmb r(u(s),v(s))$，以 $s$ 为弧长参数，且 $s=0$ 时 $\pmb r(0)=P_0$，有

$$\dfrac 12\dfrac {\mathrm d^2}{\mathrm ds^2}f(\pmb r(s))\Big|_{s=0}=\lambda \left\langle \dfrac {\mathrm d^2\pmb r}{\mathrm ds^2}\Big|_{s=0},\pmb n\right\rangle+1=\lambda k_n(\dot{\pmb r})+1\le 0$$

所以对于任意方向的法曲率 $k_n$，都有 $\lambda \kappa_n\le -1$，由此对于主方向而言，也有

$$\lambda k_i\leq -1\implies \lambda^2 k_1 k_2 \geq 1\implies K=k_1 k_2>0$$