Definition. $\mathbb R^3$ 中的常平均曲率曲面是指平均曲率 $H$ 为常数的曲面，而 $H=0$ 的曲面称为极小曲面。

Definition. 设 $\Sigma$ 为 $\mathbb R^3$ 中曲面，设 $u,v$ 为 $\Sigma$ 上的等温参数，引入复参数 $z=u+iv$，则 $\Sigma$ 的度量为

$$\mathrm ds^2 =\lambda ^2(\mathrm du^2+\mathrm dv^2)=\lambda^2\mathrm dz\mathrm d\bar z$$

记号如下：

• $z=u+iv$，$\bar z=u-iv$；
• $\partial_z =\frac 12(\partial_u -i\partial_v)$，$\partial_{\bar z} =\frac 12(\partial_u +i\partial_v)$；
• $\mathrm dz=\mathrm du+i\mathrm dv$，$\mathrm d\bar z=\mathrm du -i\mathrm dv$；
• $\Delta_\Sigma =\frac 1{\lambda^2}(\partial_u^2+\partial_v^2)=\frac 4{\lambda^2}\partial_z\partial_{\bar z}=\frac 4{\lambda^2}\partial_{\bar z}\partial_z=\frac 4{\lambda^2}\partial_{\bar z z}=\frac 4{\lambda^2}\partial_{z\bar z}$。

称 $\{\pmb r_{z},\pmb r_{\bar z};\pmb n\}$ 为曲面 $\Sigma$ 的复标架。