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# 曲面

Definition 若 r⃗=r⃗(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∈R3\vec r=\vec r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\in \mathbb R^3，其中 (u,v)∈D⊆R2(u,v)\in D\subseteq \mathbb R^2 为开区域，满足

  1. r⃗=(u,v)\vec r=(u,v) 可微
  2. r⃗u∧r⃗v≠0⃗\vec r_u\wedge \vec r_v\neq \vec 0

则称 r⃗(u,v)\vec r(u,v) 为 R3\mathbb R^3 中正则曲面或曲面，(u,v)(u,v) 称为曲面的参数。

Notation 本笔记默认 D,D‾⊆R2D,\overline D\subseteq \mathbb R^2 是开区域。

Remark 曲面要求可微，即满足

r⃗(u+Δu,v+Δv)=r⃗uΔu+r⃗vΔv+o((Δu)2+(Δv)2)\vec r(u+\Delta u,v+\Delta v)=\vec r_u\Delta u+\vec r_v\Delta v+o(\sqrt {(\Delta u)^2+(\Delta v)^2})

这是点态的：只需要存在性，而不要求连续性。

Remark 曲面要求非退化，条件二在直观上说明曲面不能退化成曲线或点；在代数上说明了 r⃗u,r⃗v\vec r_u,\vec r_v 线性无关，因此 r⃗u,r⃗v\vec r_u,\vec r_v 在 PP 点张成的平面称为曲面的切平面，记为 TP(S)T_P(S)；如果 r⃗u∧r⃗v=0\vec r_u\wedge \vec r_v=0，则称 PP 点为奇点，奇点定义为切空间退化的点。

Remark 注意到我们的曲面定义没有要求 r⃗\vec r是 1-1 的，因此曲面可以自交。在这个定义下，一个整体曲面会存在自交点，从而使得该点的切平面不唯一。所以我们从局部角度出发，可以说在这个自交点上还是会存在切平面的。如果整体地看，它应该属于奇点。我们目前忽略自交的问题，之后再讨论整体和局部的问题。

Definition 设 r⃗:D→R3\vec r:D\to\mathbb R^3 为曲面，若映射 σ:D‾→D,(u‾,v‾)↦(u,v)\sigma:\overline D\to D,(\overline u,\overline v)\mapsto (u,v) 满足

  1. σ\sigma 是 1-1 的
  2. Jacobi 行列式

∂(u,v)∂(u‾,v‾)=∣uu‾uv‾vu‾vv‾∣≠0\dfrac {\partial (u,v)}{\partial (\overline u,\overline v)}=\begin{vmatrix}u_{\overline u}&u_{\overline v}\\v_{\overline u}&v_{\overline v}\end{vmatrix}\neq 0

则称 σ\sigma 为曲面的参数变换。

当 ∂(u,v)∂(u‾,v‾)>0\frac {\partial (u,v)}{\partial (\overline u,\overline v)}>0 时，称 σ\sigma 为同向参数变换，否则称为反向参数变换。

Remark 由连续性知道，σ\sigma 的方向在 D‾\overline D 上恒定。

Remark 可以先给定参数变换 σ\sigma，从而诱导新的参数表示；或者先给定新的参数表示 r⃗∗=r⃗∗(u‾,v‾)\vec r^*=\vec r^*(\overline u,\overline v)，从而诱导参数变换 σ\sigma，此时的 σ\sigma 应该定义在

{(u‾,v‾)∣∃(u,v)∈D,r⃗∗(u‾,v‾)=r⃗(u,v)}\{(\overline u,\overline v)|\exists (u,v)\in D,\vec r^*(\overline u,\overline v)=\vec r(u,v)\}

上，即公共部分。因此之后提及参数变换，都是在可以定义的区域上进行的。

Example 函数 f(x)∈C1(D)f(x)\in C^1(D) 的图像

z=f(x,y),(x,y)∈D⊆R2z=f(x,y),\quad (x,y)\in D\subseteq \mathbb R^2

是曲面，参数表示为 r⃗=(x,y,f(x,y))\vec r=(x,y,f(x,y)).

Example 球面 S2(a):x2+y2+z2=a2\mathbb S^2(a):x^2+y^2+z^2=a^2
部分的参数表示（称为球坐标参数，其中 θ\theta 是纬度，φ\varphi 是经度）为

r⃗=(acos⁡θcos⁡φ,acos⁡θsin⁡φ,asin⁡θ),(θ,φ)∈(−π2,π2)×(0,2π)\vec r=(a\cos\theta \cos\varphi,a\cos\theta\sin\varphi,a\sin\theta),\quad (\theta,\varphi)\in (-\frac \pi2,\frac \pi2)\times (0,2\pi)

这里的参数表示没有覆盖整个球面，去掉了南北极点和经线 φ=0\varphi=0；另一种参数表示描述了上半开球面

r⃗=(x,y,a2−x2−y2),(x,y)∈{(x,y)∣x2+y2<a2}\vec r=(x,y,\sqrt {a^2-x^2-y^2}),\quad (x,y)\in \{(x,y)|x^2+y^2<a^2\}

在这两个参数表示的交集上，存在反向参数变换

σ:(θ,φ)↦(x,y)=(acos⁡θcos⁡φ,acos⁡θsin⁡φ)\sigma:(\theta,\varphi)\mapsto (x,y)=(a\cos\theta \cos\varphi,a\cos\theta\sin\varphi)

和反向逆参数变换

σ−1:(x,y)↦(θ,φ)=(arcsin⁡a2−x2−y2a,arctan⁡yx)\sigma^{-1}:(x,y)\mapsto (\theta,\varphi)=(\arcsin\dfrac {\sqrt {a^2-x^2-y^2}} a,\arctan\dfrac y x)

还有一种参数表示是球极投影参数

r⃗=(2a2uu2+v2+a2,2a2vu2+v2+a2,a(u2+v2−a2)u2+v2+a2),(u,v)∈R2\vec r=(\dfrac {2a^2u}{u^2+v^2+a^2},\dfrac {2a^2v}{u^2+v^2+a^2},\dfrac {a(u^2+v^2-a^2)}{u^2+v^2+a^2}),\quad (u,v)\in \mathbb R^2

该参数去掉了北极点。

Example 环面 T2(a,b):(x2+y2−a)2+z2=b2,a>b>0T^2(a,b):(\sqrt {x^2+y^2}-a)^2+z^2=b^2,a>b>0 的参数表示为

r⃗=((a+bcos⁡v)cos⁡u,(a+bcos⁡v)sin⁡u,bsin⁡v),(u,v)∈(0,2π)×(0,2π)\vec r=( (a+b\cos v)\cos u,(a+b\cos v)\sin u,b\sin v),\quad (u,v)\in (0,2\pi)\times (0,2\pi)

该参数表示没有覆盖整个环面，而是去掉了外侧圆周 z=0,x2+y2=(a+b)2z=0,x^2+y^2=(a+b)^2 和环上圆周 y=0,(x−a)2+z2=b2y=0,(x-a)^2+z^2=b^2.

Example 旋转曲面指的是，将 xOzxOz 平面上的曲线

{x=f(v)z=g(v),v∈(c,d)\left\{\begin{array}{l}x=f(v)\\z=g(v)\end{array}\right.,\quad v\in (c,d)

绕 zz 轴旋转一周得到的曲面，参数表示为

r⃗=(f(v)cos⁡u,f(v)sin⁡u,g(v)),(u,v)∈(0,2π)×(c,d)\vec r=(f(v)\cos u,f(v)\sin u,g(v)),\quad (u,v)\in (0,2\pi)\times (c,d)

Defintion 设曲面 S:r⃗=r⃗(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))S:\vec r=\vec r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 过点 P0=r⃗(u0,v0)P_0=\vec r(u_0,v_0)，则过 P0P_0 点曲线 r⃗1=r⃗(u,v0)\vec r_1=\vec r(u,v_0) 叫 uu - 曲线，其切向量

ddur⃗1(u)∣u=u0=r⃗u(u0,v0)\frac {\mathrm d}{\mathrm du}\vec r_1(u)|_{u=u_0}= \vec r_u(u_0,v_0)

同理可以定义 vv - 曲线，其切向量为 r⃗v(u0,v0)\vec r_v(u_0,v_0). 称 r⃗u(u0,v0),r⃗v(u0,v0)\vec r_u(u_0,v_0),\vec r_v(u_0,v_0) 张成的平面叫曲面 SS 在 P0P_0 点的切平面，记为 TP0(S)T_{P_0}(S)；而

n⃗=r⃗u∧r⃗v∣r⃗u∧r⃗v∣(u0,v0)\vec n=\dfrac {\vec r_u\wedge \vec r_v}{|\vec r_u\wedge \vec r_v|}(u_0,v_0)

叫作为曲面 SS 在 P0P_0 点的单位法向量；过 P0P_0 点且垂直于切平面（方向为 n⃗(u0,v0)\vec n(u_0,v_0)）的直线叫曲面 SS 在 P0P_0 点的法线。

Theorem 曲面的切平面和法线与曲面的参数选取无关。

证明：设曲面 SS 有另一个参数表示 r⃗∗=r⃗∗(u‾,v‾)\vec r^*=\vec r^*(\overline u,\overline v)，其中 (u‾,v‾)∈D‾(\overline u,\overline v)\in \overline D，且存在参数变换 σ:D‾→D\sigma:\overline D\to D 使得

r⃗∗(u‾,v‾)=r⃗∘σ(u‾,v‾)=r⃗(u(u‾,v‾),v(u‾,v‾))\vec r^*(\overline u,\overline v)=\vec r\circ \sigma(\overline u,\overline v)=\vec r(u(\overline u,\overline v),v(\overline u,\overline v))

那么复合函数求导

r⃗u‾∗=r⃗uuu‾+r⃗vvu‾,r⃗v‾∗=r⃗uuv‾+r⃗vvv‾\vec r^*_{\overline u}=\vec r_u u_{\overline u}+\vec r_v v_{\overline u},\quad \vec r^*_{\overline v}=\vec r_u u_{\overline v}+\vec r_v v_{\overline v}

因此

r⃗u‾∗∧r⃗v‾∗=∂(u,v)∂(u‾,v‾)(r⃗u∧r⃗v)\vec r^*_{\overline u}\wedge \vec r^*_{\overline v}=\dfrac {\partial (u,v)}{\partial (\overline u,\overline v)}(\vec r_u\wedge \vec r_v)

而参数变换要求这个行列式非零，因此切平面和法线与参数选取无关。

# 曲面的第一基本形式

给定了曲面参数，我们希望能够通过参数刻画曲面上曲线的长度。设 S:r⃗=r⃗(u,v)S:\vec r=\vec r(u,v) 是曲面，Γ:r⃗=r⃗(u(t),v(t))\Gamma:\vec r=\vec r(u(t),v(t)) 是曲面上的曲线，则

r⃗′=r⃗uu′+r⃗vv′,t∈(a,b)\vec r'=\vec r_uu'+\vec r_vv',\quad t\in (a,b)

则 Γ\Gamma 的弧长函数为

sΓ(t)=∫at∣r⃗′∣dt=∫at⟨r⃗′,r⃗′⟩dt=∫atEu′2+2Fu′v′+Gv′2dts_\Gamma(t)_=\int_a^t\left|\vec r'\right|\mathrm dt=\int^t_a\sqrt{\langle\vec r',\vec r'\rangle}\mathrm dt=\int^t_a\sqrt{Eu'^2+2F u'v'+Gv'^2}\mathrm dt

其中

E=⟨r⃗u,r⃗u⟩,F=⟨r⃗u,r⃗v⟩,G=⟨r⃗v,r⃗v⟩E=\langle \vec r_u,\vec r_u\rangle ,\quad F=\langle \vec r_u,\vec r_v\rangle ,\quad G=\langle \vec r_v,\vec r_v\rangle

进一步就有

s′2=Eu′2+2Fu′v′+Gv′2s'^2={Eu'^2+2Fu'v'+Gv'^2}

只要知道 E,F,GE,F,G，就可以计算曲线的弧长。

Definition 定义 s′2=Eu′2+2Fu′v′+Gv′2s'^2=Eu'^2+2Fu'v'+Gv'^2 为曲面 SS 的第一基本形式，记为 II.

Remark II 确定了 E,F,GE,F,G，就确定了曲面上的度量，从而决定曲面上的任意曲线长度。

r⃗(t+Δt)−r⃗(t)≈(r⃗uu′+r⃗vv′)Δt=r⃗uΔu+r⃗vΔv⟹∣r⃗(t+Δt)−r⃗(t)∣2≈E(Δu)2+2FΔuΔv+G(Δv)2\begin{array}{l}&\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)\approx (\vec r_u u'+\vec r_v v')\Delta t=\vec r_u\Delta u+\vec r_v\Delta v\\ \implies & |\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)|^2\approx E(\Delta u)^2+2F\Delta u\Delta v+G(\Delta v)^2\end{array}

Remark 曲线第一基本形式可以写成二次型的形式。

I=(u′v′)(EFFG)(u′v′)I=\begin{pmatrix}u'&v'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u'\\v'\end{pmatrix}

Theorem 曲面的第一基本形式 II 与曲面的参数选取无关。

证明：设曲面 SS 有另一个参数表示 r⃗∗=r⃗∗(u‾,v‾)\vec r^*=\vec r^*(\overline u,\overline v)，其中 (u‾,v‾)∈D‾(\overline u,\overline v)\in \overline D，且存在参数变换 σ:D‾→D\sigma:\overline D\to D 使得

r⃗∗(u‾,v‾)=r⃗∘σ(u‾,v‾)=r⃗(u(u‾,v‾),v(u‾,v‾))\vec r^*(\overline u,\overline v)=\vec r\circ \sigma(\overline u,\overline v)=\vec r(u(\overline u,\overline v),v(\overline u,\overline v))

那么复合函数求导 r⃗u‾∗=r⃗uuu‾+r⃗vvu‾,r⃗v‾∗=r⃗uuv‾+r⃗vvv‾\vec r^*_{\overline u}=\vec r_u u_{\overline u}+\vec r_v v_{\overline u},\vec r^*_{\overline v}=\vec r_u u_{\overline v}+\vec r_v v_{\overline v} 推出

(E∗F∗F∗G∗)=∂(u,v)∂(u‾,v‾)(EFFG)∂(u,v)∂(u‾,v‾)T\begin{pmatrix}E^*&F^*\\F^*&G^*\end{pmatrix}=\dfrac {\partial (u,v)}{\partial (\overline u,\overline v)}\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}\dfrac {\partial (u,v)}{\partial (\overline u,\overline v)}^T

从而 I=I∗I=I^*.

Theorem 曲面的第一基本形式 II 在 R3\mathbb R^3 的合同变换下不变。

证明：设合同变换 T:R3→R3,X↦XT+P0\mathscr T:\mathbb R^3\to \mathbb R^3,X\mapsto X\mathbf T+P_0，其中 T\mathbf T 是正交矩阵，则 r⃗∗=T(r⃗)=r⃗T+b⃗\vec r^*=\mathscr T(\vec r)=\vec r\mathbf T+\vec b，b⃗∈R3\vec b\in \mathbb R^3，则

I=⟨r⃗′,r⃗′⟩=⟨(r⃗T)′,(r⃗T)′⟩=I∗I=\langle \vec r',\vec r'\rangle =\langle (\vec r\mathbf T)',(\vec r\mathbf T)'\rangle =I^*

Example 平面 r⃗=(u,v,0)\vec r=(u,v,0) 和圆柱面 r⃗=(cos⁡u,sin⁡u,v)\vec r=(\cos u,\sin u,v) 的第一基本形式都是

I=u′2+v′2I=u'^2+v'^2

这说明不同形状的曲面可能有相同的第一基本形式，这还不是曲面的内蕴性质。我们称具有相同第一基本形式的曲面为等距曲面。

Exapmle 旋转曲面

r⃗=(f(v)cos⁡u,f(v)sin⁡u,g(v)),(u,v)∈(0,2π)×(c,d),f(v)>0\vec r=(f(v)\cos u,f(v)\sin u,g(v)),\quad (u,v)\in (0,2\pi)\times (c,d),f(v)>0

的第一基本形式为

I=(u′)2f2+(f′2+g′2)(v′)2I=(u')^2f^2+(f'^2+g'^2)(v')^2

Example 球面

r⃗=(acos⁡θcos⁡φ,acos⁡θsin⁡φ,asin⁡θ),(θ,φ,a)∈(−π2,π2)×(0,2π)×(0,∞)\vec r=(a\cos\theta \cos\varphi,a\cos\theta\sin\varphi,a\sin\theta),\quad (\theta,\varphi,a)\in (-\frac \pi2,\frac \pi2)\times (0,2\pi)\times (0,\infty)

的第一基本形式为

I=a2(cos⁡2θ(φ′)2+(θ′)2)I=a^2(\cos^2\theta (\varphi')^2+(\theta')^2)

类似地，在球极投影参数

r⃗=(2a2uu2+v2+a2,2a2vu2+v2+a2,a(u2+v2−a2)u2+v2+a2),(u,v)∈R2\vec r=(\dfrac {2a^2u}{u^2+v^2+a^2},\dfrac {2a^2v}{u^2+v^2+a^2},\dfrac {a(u^2+v^2-a^2)}{u^2+v^2+a^2}),\quad (u,v)\in \mathbb R^2

下，球面的第一基本形式为

I=4a4(u2+v2+a2)2((u′)2+(v′)2)I=\dfrac {4a^4}{(u^2+v^2+a^2)^2}((u')^2+(v')^2)

球面是局部共形平坦的。其中，称两张曲面为共形的，如果它们的第一基本形式成比例

I∗=(f(u,v))2II^*=(f(u,v))^2I

Example 过螺旋线 r⃗(u)=(cos⁡u,sin⁡u,au),u∈R,a≠0\vec r(u)=(\cos u,\sin u,au),u\in \mathbb R,a\neq 0 上每一点作一条线平行于 xOyxOy 平面，与 zz 轴相交，这些线构成螺旋面

r⃗=(vcos⁡u,vsin⁡u,au),(u,v)∈R×R\vec r=(v\cos u,v\sin u,au),\quad (u,v)\in \mathbb R\times \mathbb R

它的第一基本形式为

I=(a2+v2)(u′)2+(v′)2I=(a^2+v^2)(u')^2+(v')^2

# 曲面的第二基本形式

我们在研究曲面的第一基本形式时，都是在曲面上进行的，因此只能刻画曲面的度量，但是不能刻画曲面的形状，或者说是在空间中的弯曲程度。

Example 1. 平面和圆柱面

Definition 1. 设曲面 S:r⃗=r⃗(u,v)S:\vec r=\vec r(u,v)，其中 (u,v)∈D⊆R2(u,v)\in D\subseteq \mathbb R^2，其单位法向量为

n⃗=r⃗u∧r⃗v∣r⃗u∧r⃗v∣=r⃗u∧r⃗vEG−F2\vec n=\dfrac {\vec r_u\wedge \vec r_v}{|\vec r_u\wedge \vec r_v|}=\dfrac {\vec r_u\wedge \vec r_v}{\sqrt {EG-F^2}}

则定义

II:=−⟨dr⃗,dn⃗⟩=L(du)2+2Mdudv+N(dv)2II:=-\langle\mathrm d\vec r,\mathrm d\vec n\rangle =L(\mathrm du)^2+2M\mathrm du\mathrm dv+N(\mathrm dv)^2

称 IIII 为曲面的 第二基本形式，其中

L=−⟨r⃗u,n⃗u⟩,M=−⟨r⃗u,n⃗v⟩,N=−⟨r⃗v,n⃗v⟩L=-\langle \vec r_{u},\vec n_u\rangle ,\quad M=-\langle \vec r_{u},\vec n_v\rangle ,\quad N=-\langle \vec r_{v},\vec n_v\rangle

Corollary 1. 根据关系式 ⟨r⃗u,n⃗⟩=⟨r⃗v,n⃗⟩=0\langle \vec r_u,\vec n\rangle=\langle \vec r_v,\vec n\rangle=0 推出

L=⟨r⃗uu,n⃗⟩,M=⟨r⃗uv,n⃗⟩,N=⟨r⃗vv,n⃗⟩L=\langle \vec r_{uu},\vec n\rangle ,\quad M=\langle \vec r_{uv},\vec n\rangle ,\quad N=\langle \vec r_{vv},\vec n\rangle

Remark 1.

Example 2. 计算平面 r⃗=(u,v,0)\vec r=(u,v,0) 的第二基本形式

L=M=N=0L=M=N=0

计算圆柱面 r⃗∗=(cos⁡u,sin⁡u,v)\vec r^*=(\cos u,\sin u,v) 的第二基本形式

L=−1,M=0,N=0L=-1,\quad M=0,\quad N=0

这说明平面和圆柱面的第二基本形式不同.

Example 3. 计算球面 r⃗(θ,φ)=(acos⁡θcos⁡φ,acos⁡θsin⁡φ,asin⁡θ)\vec r(\theta,\varphi)=(a\cos\theta \cos\varphi,a\cos\theta\sin\varphi,a\sin\theta) 的第二基本形式

L=a,M=0,N=acos⁡2θL=a,\quad M=0,\quad N=a\cos^2\theta

问题在于，第二基本形式的系数 L,M,NL,M,N 依赖于参数的选取，而曲面的弯曲性质不应依赖于参数的选取。所以下面我们考虑 IIII 在参数变换下的变化

Definition 1. 设曲面 S:r⃗=r⃗(u,v)S:\vec r=\vec r(u,v)，其第二基本形式为 II=L(du)2+2Mdudv+N(dv)2II=L(\mathrm du)^2+2M\mathrm du\mathrm dv+N(\mathrm dv)^2，称第二基本形式是正定的，若 L>0L>0 且 LN−M2>0LN-M^2>0；称第二基本形式是负定的，若 L<0L<0 且 LN−M2>0LN-M^2>0；称第二基本形式是半正定的，若 LN−M2=0LN-M^2=0 且 L≥0L\geq 0；称第二基本形式是半负定的，若 LN−M2=0LN-M^2=0 且 L≤0L\leq 0；称第二基本形式是不定的，若 LN−M2<0LN-M^2<0.

Proposition 1. 在同向参数变换 σ:(u‾,v‾)→(u,v)\sigma:(\overline u,\overline v)\to (u,v) 下，第二基本形式的正定性（负定性）和不定性（半正定性，半负定性）保持不变；反向时改变.

Proposition 2. 在刚体运动 r⃗∗=Ar⃗+b⃗\vec r^*=\mathbf A\vec r+\vec b下，第二基本形式不变；在反向刚体运动时改变.

Theorem 1.

  1. 曲面是平面，当且仅当 II(P)≡0II(P)\equiv 0.
  2. 曲面是球面，当且仅当 II(P)=λ(P)I(P)II(P)= \lambda (P)I(P)，其中 λ(P)>0\lambda(P)>0.

# 法曲率与 Weingarten 变换

Definition 1. 设曲面 SS 上有曲线 C:r⃗=r⃗(u(s),v(s))C:\vec r=\vec r(u(s),v(s))，ss 为弧长参数，r⃗˙\dot {\vec r} 为曲线的单位切向量，则称

κn=⟨dt⃗ds,n⃗⟩\kappa_n=\langle \dfrac {\mathrm d\vec t}{\mathrm ds},\vec n\rangle

为曲线 CC 在点 PP 处的 法曲率.

Definition 1. 映射

dn⃗:TP(S)→TP(S),w⃗↦dn⃗(w⃗)d\vec n:T_P(S)\to T_P(S),\quad \vec w\mapsto d\vec n(\vec w)

为曲面的 Weingarten 变换.