泛函分析作业 18

18.1 设 $X$ 为拓扑空间，$Y$ 为度量空间，记

$$C(X,Y):=\{f:X\to Y\ |\ f\text{ continuous}\}$$

$(C(X,Y),\mathcal T_{\text{compact-open}})$ 上的紧开拓扑 $\mathcal T_{\text{compact-open}}$ 是对任意紧集 $K\subseteq X$ 和开集 $V\subseteq Y$，集合

$$\mathcal L(K,V):=\{f\in C(X,Y)\ |\ f(K)\subseteq V\}$$

为开集的最小拓扑。试证明：

(0) 集合 $\mathcal U\subseteq C(X,Y)$ 在紧开拓扑中是开集，当且仅当对任意 $f\in\mathcal U$，存在有限个紧集 $K_1,\ldots,K_m\subseteq X$ 以及有限个开集 $V_1,\ldots,V_m\subseteq Y$，使得

$$f\in \bigcap ^m_{i=1}\mathcal L(K_i,V_i)\subseteq \mathcal U$$

(1) 若 $X$ 是紧的，证明 $(C(X,Y),\mathcal T_{\text{compact-open}})$ 与由度量

$$d(f,g):=\sup_{x\in X}d_Y(f(x),g(x)),\quad f,g\in C(X,Y)$$

诱导的拓扑一致。

(2) 对每个紧集 $K\subseteq X$，定义半范数 $p_K:C(X,\mathbb R)\to\mathbb R$ 为

$$p_K(f):=\sup_{K}|f|,\quad \forall f\in C(X,\mathbb R)$$

证明这些半范数生成了紧开拓扑，即 $(C(X,\mathbb R),\mathcal T_{\text{compact-open}})$ 是使得对任意的 $p_K$ 连续的最小拓扑，其中 $K$ 取遍 $X$ 的所有紧子集。

(3) 证明：$(C(X,\mathbb R),\mathcal T_{\text{compact-open}})$ 是局部凸拓扑向量空间。

(4) 证明：集合 $\mathcal F\subseteq C(X,Y)$ 在 $(C(X,Y),\mathcal T_{\text{compact-open}})$ 中是预紧的，当且仅当对任意紧集 $K\subseteq X$

$$\mathcal F_K:=\{f|_K:f\in\mathcal F\}\subseteq C(K,Y)$$

是预紧的。

(5) 证明如下的变种 Arzela-Ascoli 定理：设 $X$ 为拓扑空间，$Y$ 为度量空间，则集合 $\mathcal F\subseteq C(X,Y)$ 在 $(C(X,Y),\mathcal T_{\text{compact-open}})$ 中是预紧的，当且仅当它点态预紧并且对任意紧集 $K\subseteq X$，$\mathcal F_K$ 等度连续。

(0) 根据紧开拓扑的定义，$\mathcal L(K,V)$ 是紧开拓扑的子基。先证充分性。对任意 $f\in\mathcal U$，存在有限个紧集 $K_1,\ldots,K_m\subseteq X$ 以及有限个开集 $V_1,\ldots,V_m\subseteq Y$，使得

$$f\in \bigcap ^m_{i=1}\mathcal L(K_i,V_i)\subseteq \mathcal U$$

则 $\mathcal U$ 可以表示为

$$\mathcal U=\bigcup_{f\in\mathcal U}\left(\bigcap ^{m_f}_{i=1}\mathcal L(K_{f,i},V_{f,i})\right)$$

因为 $\mathcal L(K,V)$ 是紧开拓扑的开集，所以 $\mathcal U$ 是开集的有限交的任意并，也是开集。

再证明必要性。由子基的性质，任意开集 $\mathcal U$ 都可以表示为

$$\mathcal U=\bigcup_{\alpha\in A}\left(\bigcap_{i=1}^{n_\alpha}\mathcal L(K_{\alpha,i},V_{\alpha,i})\right)$$

对任意 $f\in\mathcal U$，存在 $\alpha_0\in A$，使得

$$f\in \bigcap_{i=1}^{n_{\alpha_0}}\mathcal L(K_{\alpha_0,i},V_{\alpha_0,i})\subseteq \mathcal U$$

取 $m=n_{\alpha_0}$，$K_i=K_{\alpha_0,i}$，$V_i=V_{\alpha_0,i}$ 即可。

(1) 证明两个拓扑相互包含。首先证明 $\mathcal T_{\mathrm {c.o.}}\supseteq \mathcal T_d$。只需要说明对任意 $f\in C(X,Y)$ 和 $B_\varepsilon(f)$，存在 $U\in \mathcal T_{\mathrm {c.o.}}$，使得

$$f\in U\subseteq B_\varepsilon(f):=\displaystyle\left\{g\in C(X,Y)\ |\ \sup_{x\in X}d_Y(f(x),g(x))<\varepsilon\right\}$$

由于 $f\in C(X,Y)$，所以考虑开覆盖

$$\bigcup_{x\in X}f^{-1}(B_{\varepsilon/4}(f(x)))= X$$

由 $X$ 的紧性，存在有限子覆盖

$$\bigcup_{i=1}^n f^{-1}(B_{\varepsilon/4}(f(x_i))):=\bigcup^n_{i=1}U_i=X$$

取 $K_i=\overline{U_i}$，则 $K_i$ 是紧集。取 $V_i=B_{\varepsilon/4}(f(x_i))$，则 $V_i$ 是开集，并且 $f(K_i)\subseteq V_i$。取

$$U:=\bigcap^n_{i=1}\mathcal L(K_i,V_i)$$

则 $U\in \mathcal T_{\mathrm {c.o.}}$，且 $f\in U$。对于任意 $g\in U$，则对任意 $x\in X$，由开覆盖知道存在某个 $U_i$，使得 $x\in U_i\subseteq K_i$，所以

$$\begin{array}{ll}d_Y(f(x),g(x))&\leq d_Y(f(x),f(x_i))+d_Y(f(x_i),g(x_i))+d_Y(g(x_i),g(x))\\ \\ &<\displaystyle\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}+\left(\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}\right)=\varepsilon\end{array}$$

其次证明度量拓扑比紧开拓扑更细。即 $\mathcal T_{\mathrm {c.o.}}\subseteq \mathcal T_d$。只需要说明对任意 $f\in C(X,Y)$ 和 $U\in \mathcal T_{\mathrm {c.o.}}$，存在 $\varepsilon>0$，使得

$$f\in B_\varepsilon(f)\subseteq U$$

由开集和拓扑基的定义，存在有限个紧集 $K_1,\ldots,K_m\subseteq X$ 以及有限个开集 $V_1,\ldots,V_m\subseteq Y$，使得

$$f\in \bigcap ^m_{i=1}\mathcal L(K_i,V_i)\subseteq U$$

由于 $f(K_i)$ 是紧集，且 $V_i$ 是开集，所以对每个 $i=1,2,\ldots,m$，存在 $\varepsilon_i>0$，使得

$$B_{\varepsilon_i}(f(x))\subseteq V_i,\quad \forall x\in K_i$$

取 $\varepsilon=\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_m\}$。则对任意 $g\in B_\varepsilon(f)$，有

$$\sup_{x\in X}d_Y(f(x),g(x))<\varepsilon\implies g(K_i)\subseteq B_\varepsilon(f(K_i))\subseteq V_i,\quad \forall i=1,2,\ldots,m$$

所以 $g\in \bigcap ^m_{i=1}\mathcal L(K_i,V_i)\subseteq U$，即 $B_\varepsilon(f)\subseteq U$。

(2) 由半范数诱导的拓扑 $\mathcal T_{\{p_K\}}$ 的基形如

$$\bigcap_{i=1}^n\{p^{-1}_{K_i}(O_i):O_i\in\mathcal B(\mathbb R)\}$$

首先证明 $\mathcal T_{\mathrm {c.o.}}\supseteq \mathcal T_{\{p_K\}}$。只需要说明对任意 $f\in C(X,\mathbb R)$ 和 $U\in \mathcal T_{\{p_K\}}$，存在 $V\in \mathcal T_{\mathrm {c.o.}}$，使得

$$f\in V\subseteq U$$

而由 $U\in \mathcal T_{\{p_K\}}$ 的定义，存在有限个紧集 $K_1,\ldots,K_m\subseteq X$ 以及有限个开区间 $O_1,\ldots,O_m\subseteq \mathbb R$，使得

$$f\in \bigcap ^m_{i=1}p^{-1}_{K_i}(O_i)\subseteq U$$

则对于固定的 $i$，由 $f\in p^{-1}_{K_i}(O_i)$ 知道，存在 $\delta_i>0$，使得

$$\left(p_{K_i}(f)-\delta_i,p_{K_i}(f)+\delta_i\right)\subseteq O_i$$

从而 $B_{\delta_i}(f):=\{g\in C(X,\mathbb R):p_{K_i}(f-g)<\delta_i\}$ 满足

$$f\in B_{\delta_i}(f)\subseteq p^{-1}_{K_i}(O_i)$$

取 $K_i$ 的开覆盖

$$\bigcup_{x\in K_i}f^{-1}(B_{\delta_i/2}(f(x)))\supseteq K_i$$

由 $K_i$ 的紧性，存在有限子覆盖

$$\bigcup_{j=1}^{n_i}f^{-1}(B_{\delta_i/2}(f(x_{i,j}))):= \bigcup_{j=1}^{n_i}U_{i,j}\supseteq K_i$$

取 $\overline{U_{i,j}\cap K_i}$ 为紧集，记为 $K_{i,j}$；取 $V_{i,j}=B_{\delta_i/2}(f(x_{i,j}))$ 为开集。我们可以构造紧开拓扑的开集

$$V_i:=\bigcap^{n_i}_{j=1}\mathcal L(K_{i,j},V_{i,j})$$

则对于任意 $g\in V_i$，对任意 $x\in K_i$，存在某个 $U_{i,j}$，使得 $x\in U_{i,j}\subseteq K_{i,j}$，所以

$$\begin{array}{ll}|f(x)-g(x)|&<|f(x)-f(x_{i,j})|+|f(x_{i,j})-g(x)|\\ \\ &<\displaystyle\frac{\delta_i}{2}+\frac{\delta_i}{2}=\delta_i\end{array}$$

即 $p_{K_i}(f-g)<\delta_i$，所以 $V_i\subseteq B_{\delta_i}(f)\subseteq p^{-1}_{K_i}(O_i)$。

然后证明 $\mathcal T_{\mathrm {c.o.}}\subseteq \mathcal T_{\{p_K\}}$。只需要说明对任意 $f\in C(X,\mathbb R)$ 和 $U\in \mathcal T_{\mathrm {c.o.}}$，存在 $V\in \mathcal T_{\{p_K\}}$，使得

$$f\in V\subseteq U$$

由 $U\in \mathcal T_{\mathrm {c.o.}}$ 的定义，存在有限个紧集 $K_1,\ldots,K_m\subseteq X$ 以及有限个开集 $V_1,\ldots,V_m\subseteq \mathbb R$，使得

$$f\in \bigcap ^m_{i=1}\mathcal L(K_i,V_i)\subseteq U$$

由于 $f(K_i)$ 是紧集，且 $V_i$ 是开集，所以对每个 $i=1,2,\ldots,m$，存在 $\delta_i>0$，使得

$$(f(K_i)-\delta_i,f(K_i)+\delta_i)\subseteq V_i$$

从而可以构造半范数拓扑的开集 $V\in \mathcal T_{\{p_K\}}$：

$$V:=\bigcap^m_{i=1}\{g\in C(X,\mathbb R):p_{K_i}(f-g)<\delta_i\}$$

且 $f\in V$。对于任意 $g\in V$，有

$$|f(x)-g(x)|\leq p_{K_i}(f-g)<\delta_i,\quad \forall x\in K_i$$

所以 $g(K_i)\subseteq (f(K_i)-\delta_i,f(K_i)+\delta_i)\subseteq V_i$，所以 $f\in V\subseteq U$。

(3) 根据 (2) 的结论，紧开拓扑由一族半范数生成，而由第十五次作业 15.2 可知由半范数生成的拓扑是局部凸拓扑向量空间。

(4) 令 $\mathcal K\subseteq 2^X$ 为紧集构成的集合，定义乘积映射

$$\Phi:(C(X,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}})\to \prod_{K\in\mathcal K}(C(K,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}}),\quad \Phi(f)=(f|_K)_{K\in\mathcal K}$$

则 $\Phi$ 给出了嵌入。首先，$\Phi$ 是单射，因为对任意 $f,g\in C(X,Y)$，若 $\Phi(f)=\Phi(g)$，则对任意 $K\in\mathcal K$，都有 $f|_K=g|_K$，而单点集是紧集，所以 $f=g$。所以

$$\Phi:(C(X,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}})\hookrightarrow \Phi((C(X,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}}))\subseteq \prod_{K\in\mathcal K}(C(K,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}})$$

是嵌入。接着说明在这个拓扑下，$(C(X,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}})$ 和 $\Phi((C(X,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}}))$ 同胚。只需要说明 $\Phi$ 是连续的，并且 $\Phi^{-1}$ 也是连续的。

首先证明 $\Phi$ 是连续的。根据乘积拓扑的定义，其基础开集形如

$$U:=\bigcap_{i=1}^n\pi^{-1}_{K_i}(U_{K_i}),\quad U_{K_i}\in \mathcal T_{\mathrm{c.o.}}(C(K_i,Y))$$

则 $\Phi^{-1}(U)$ 可以表示为

$$\Phi^{-1}(U)=\bigcap_{i=1}^n\mathcal L(K_i,U_{K_i})\in \mathcal T_{\mathrm{c.o.}}(C(X,Y))$$

其次证明 $\Phi^{-1}$ 是连续的。根据紧开拓扑的定义，其基础开集形如下，其中 $K_i$ 是紧集，$V_{K_i}$ 是开集：

$$V:=\bigcap_{i=1}^m\mathcal L(K_i,V_{K_i})$$

则 $(\Phi^{-1})^{-1}(V)=\Phi(V)$ 可以表示为

$$\Phi(V)=\prod_{i=1}^m\mathcal L(K_i,V_{K_i})\times \prod_{K\in\mathcal K\setminus\{K_1,\ldots,K_m\}}C(K,Y)\in \mathcal T\left(\prod_{K\in\mathcal K}(C(K,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}})\right)$$

至此，我们证明了 $\Phi$ 是到其像的同胚映射。

$\mathcal F$ 是预紧的，当且仅当 $\overline{\mathcal F}^{(C(X,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}})}$ 是紧的，当且仅当 $\Phi(\overline{\mathcal F}^{(C(X,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}})})$ 是紧的，由 Tychonoff 定理，当且仅当 $\overline {\mathcal F}^{(C(X,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}})}|_K$ 是紧的，对任意紧集 $K\subseteq X$。而

$$\overline {\mathcal F_K}^{(C(K,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}})}=\overline {\mathcal F}^{(C(X,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}})}|_K$$

所以当且仅当对任意紧集 $K\subseteq X$，$\mathcal F_K$ 是预紧的。

(5) 由 (4) 的结论，$\mathcal F$ 在 $(C(X,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}})$ 中是预紧的，当且仅当对任意紧集 $K\subseteq X$，$\mathcal F_K$ 是预紧的。根据 (1) 的结论，$(C(K,Y),\mathcal T_{\mathrm{c.o.}})$ 与由度量

$$d_K(f,g):=\sup_{x\in K}d_Y(f(x),g(x)),\quad f,g\in C(K,Y)$$

诱导的拓扑一致。意思就是说这是一个紧度量拓扑空间（在上确界范数下），所以由 Arzela-Ascoli 定理可知，$\mathcal F_K$ 是预紧的，当且仅当它点态预紧并且等度连续。

18.2 设 $X$ 为赋范线性空间，试由上述的变种 Arzela-Ascoli 定理推出 Banach-Alaoglu 定理。

Banach-Alaoglu 定理：$X=(X,\|\cdot\|)$ 是实赋范空间，则 $\mathbb B^*$ 是 ${w*}$- 紧集。

$$\mathbb B^*:=\{x^*\in X^*:\|x^*\|\leq 1\}$$

证明思路是这样的：首先要说明的是 $\mathbb B^*$ 是 $w*$- 闭集，其次要说明 $\mathbb B^*$ 是 $w*$- 预紧的。从而 $\mathbb B^*$ 是 $w*$- 紧集。而说明 $\mathbb B^*$ 是 $w*$- 预紧的关键在于说明 $X^*$ 上的拓扑 $\mathcal T_{\mathrm{c.o.}}\supseteq \mathcal T_{w*}$，从而如果 $w*$- 闭集 $\mathbb B^*$ 在紧开拓扑下是预紧的，那么它在 $w*$ 拓扑下也是预紧的。最后利用变种 Arzela-Ascoli 定理，只要证明 $\mathbb B^*$ 点态预紧并且 $\mathbb B^*_K$ 等度连续，其中 $K$ 是 $X$ 的任意紧集，就可以说明 $\mathbb B^*$ 在紧开拓扑下是预紧的。

(1) 证明 $\mathbb B^*$ 是 $w*$- 闭集。熟知 $\mathbb B^*=\overline {\mathbb S^*}^{w*}$，所以 $\mathbb B^*$ 是 $w*$- 闭集。

(2) 证明 $\mathcal T_{\mathrm{c.o.}}\supseteq \mathcal T_{w*}$。对于任意 $x^*\in X^*$ 和 $x^*\in U\in \mathcal T_{w*}$，存在有限个 $x_1,x_2,\ldots,x_n\in X$ 以及 $\varepsilon>0$，使得

$$x^*\in \bigcap_{i=1}^n\{y^*\in X^*:|y^*(x_i)-x^*(x_i)|<\varepsilon\}\subseteq U$$

取 $K_i=\{x_i\}$ 为紧集，$V_i=(x^*(x_i)-\varepsilon,x^*(x_i)+\varepsilon)$ 为开集，则

$$x^*\in \bigcap_{i=1}^n\mathcal L(K_i,V_i)\subseteq U$$

所以 $\mathcal T_{\mathrm{c.o.}}\supseteq \mathcal T_{w*}$。

(3) 证明 $\mathbb B^*$ 点态预紧。对于任意 $x\in X$，考虑映射

$$\delta_x:\mathbb B^*\to \mathbb R,\quad \delta_x(x^*)=x^*(x)$$

则 $\delta_x(\mathbb B)\subseteq [-\|x\|,\|x\|]$ 是紧集，所以 $\mathbb B^*$ 在点态下是预紧的。

(4) 证明 $\mathbb B^*_K$ 等度连续。由于 $x^*\in\mathbb B^*$ 是有界线性泛函，所以

$$|x^*(x)-x^*(y)|\leq \|x^*\|\|x-y\|\leq \|x-y\|,\quad \forall x,y\in X,\forall x^*\in \mathbb B^*$$

所以 $\mathbb B^*_K$ 等度连续，自然限制在任意紧集 $K\subseteq X$ 上也是等度连续的。