首页 Functional Analysis Homework

19.1 若 XX 是自反的 Banach 空间，则规范嵌入映射 ll 满足

l:(X,Uw)→(X∗∗,Uw)l:(X,\mathscr U^w)\to (X^{**},\mathscr U^w)

是同胚映射。

需要验证规范嵌入 ll 是连续双射，且是开映射。首先由于 XX 自反，所以 l:X→X∗∗l:X\to X^{**} 是双射。而对于任意 (X,Uw)(X,\mathscr U^w) 的基础开集

U={x∈X:⟨l(x),xk∗⟩=⟨xk∗,x⟩∈(ai,bi),ai<bi∈R,k=1,…,n}U=\{x\in X:\langle l(x),x_k^*\rangle =\langle x^*_k,x\rangle \in(a_i,b_i),\ a_i<b_i\in\mathbb R, \ k=1,\ldots,n\}

则 l(U)∈(X∗∗,Uw)l(U)\in(X^{**},\mathscr U^w)，从而是开映射；对于任意 (X∗∗,Uw)(X^{**},\mathscr U^w) 的基础开集

V={x∗∗∈X∗∗:⟨xk∗∗∗,x∗∗⟩∈(ai,bi),xk∗∗∗∈X∗∗∗,k=1,2,…,n}V=\{x^{**}\in X^{**}:\langle x^{***}_k,x^{**}\rangle\in (a_i,b_i),\ x^{***}_k\in X^{***},k=1,2,\ldots,n\}

定义 φ:X∗∗∗→X∗,x∗∗∗↦x∗∗∗∘lX\varphi:X^{***}\to X^*,\ x^{***}\mapsto x^{***}\circ l_X

⟨xk∗∗∗,x∗∗⟩=⟨φ(xk∗∗∗),lX−1(x∗∗)⟩,∀x∗∗∈X∗∗\langle x^{***}_k,x^{**}\rangle =\langle\varphi(x^{***}_k),l^{-1}_X(x^{**})\rangle,\quad \forall x^{**}\in X^{**}

所以 l−1(V)∈(X,Uw)l^{-1}(V)\in (X,\mathscr U^w)，从而是连续映射。

19.2 一致凸 Banach 空间是自反的。

(1) 设 XX 为一致凸赋范线性空间，(xα)α∈A(x_\alpha)_{\alpha\in A} 为 XX 单位球中的网，且网 (∥xα+xβ∥)(α,β)∈A×A(\|x_\alpha+x_\beta\|)_{(\alpha,\beta)\in A\times A} 收敛于