# 二次对偶空间

Notation. 默认 $X$ 是 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 上的赋范线性空间，$X^*$ 是 $X$ 的对偶空间。

Definition. $(X^*)^*=\mathcal B(X^*,\mathbb F)$ 称为 $X$ 的二次对偶空间 (bidual space)，记为 $X^{**}$。

Notation. 默认 $x\in X,x^*\in X^*,X^{**}\in X^{**}$ 的记号。

Notation. 基于双线性结构，记

$$\langle x^*,x\rangle_{(X^*,X)} :=x^*(x),\quad \langle x^{**},x^*\rangle :=x^{**}(x^*)$$

尖括号下标明了作用的空间对，在容易理解的情况下可以省略。

Remark. 这个记号左侧是算子，右侧是作用的对象。基于映射的复合，有

$$\langle f\circ g,x\rangle =\langle f,g(x)\rangle$$

根据这个记号，自然地有一个映射，它也说明了 $X$ 与 $X^{**}$ 之间的关系。

Lemma. 如下 $l:X\to X^{**}$ 是等距嵌入映射，称为规范嵌入 (canonical embedding)。

$$(l(x))(x^*):=\langle x^*,x\rangle ,\quad \forall x^*\in X^*$$

证明思路
我们需要验证线性、单射和等距三个性质。单射等价于零空间平凡。等距等价于证明保持范数 $\|l(x)\|_{X^{**}}=\|x\|_X$。一方面，由于 $x\in X$ 是固定的，根据 Hahn-Banach 定理，可以适当选取 $x^*\in X^*$ 使得 $x^*(x)=\|x\|$ 且 $\|x^*\|=1$，因此有

$$\|x\|=\langle x^*,x\rangle \leq \|l(x)\|\|x^*\|\leq \|l(x)\|$$

# 自反 Banach 空间

我们还可以进一步假设 $l$ 是满射，从而得到自反的概念。

Definition. $l:X\to X^{**}$ 是等距同构时，称 $X$ 是自反 (reflexive) 的。

Remark. 定义中的 $l$ 特指规范嵌入。其他的等距同构不是自反的考虑对象。

Remark. 对偶空间 $X^{**}$ 总是 Banach 空间，因此自反空间一定是 Banach 空间。

Remark. 证明自反，只需证明 $l$ 是满射。

# 自反空间的性质

Example. $\mathcal L^p,\mathcal L^q$ 都是自反 Banach 空间，并且互为对偶空间。但 $\mathcal L^1,\mathcal L^\infty$ 都不是自反的。

Theorem. 若 $X$ 是 Banach 空间，则 $X$ 自反当且仅当 $X^*$ 自反。

证明思路。观察交换图即可证明充分性：

必要性首先注意到 $l_X(X)$ 在 $X^{**}$ 是闭空间，所以只需证明 $l_X(X)$ 在 $X^{**}$ 稠密即可。需要用到 Hahn-Banach 定理点分离的性质，只需要证明在 $l_X(X)$ 上为零的泛函在 $X^{**}$ 上一定为零（这里用到了 $X$ 是 Banach 空间的条件）：

上一个定理的证明强调了闭子空间，事实上

Theorem. 若 $X$ 是自反的，则 $X$ 闭子空间 $Y$ 以及商空间 $X/Y$ 也是自反的。

证明思路。对于 $Y$ 的情形

Remark. 只要找到一个子空间不是自反的，就能说明整体空间不是自反的。

# 可分性与自反性

Theorem. $X=(X,\|\cdot\|)$

1. 若 $X^*$ 可分，则 $X$ 可分；
2. 若 $X$ 自反且可分，则 $X^*$ 可分。

# James 空间

# James 空间的定义

Definition. 设 $\mathcal P\subseteq 2^{\mathbb N}$ 是 $\mathbb N$ 中所有有限子集的集合，记 $p\in \mathcal P$ 的元素按大小排列成

$$p=(p_1,\ldots,p_k),\quad 1\leq p_1<p_2<\cdots <p_k$$

则对于任意数列 $x=(x_n)$，定义

$$\|x\|_p=\left\{\begin{array}{ll} 0, & k=1\\ \\ \left(\sum_{i=1}^k x_{p_i}^2\right)^{1/2}, & p\neq \emptyset \\\end{array}\right.$$