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参考：《泛函分析讲义》何凌冰，Functional Analysis by Salamon.

# 拓扑向量空间

Definition. 假设 X=(X,+,⋅,R)X=(X,+,\cdot,\mathbb R) 且 X=(X,TX)X=(X,\mathcal T_X)，如果两者相容，即

  1. 加法映射连续

+:(X×X,TX×X)→(X,TX),(x,y)↦x+y+:(X\times X,\mathcal T_{X\times X})\to (X,\mathcal T_X),\quad (x,y)\mapsto x+y

  1. 数乘映射连续

⋅:(R×X,TR×X)→(X,TX),(α,x)↦αx\cdot:(\mathbb R\times X,\mathcal T_{\mathbb R\times X})\to (X,\mathcal T_X),\quad (\alpha,x)\mapsto \alpha x

则称 (X,+,⋅,R,TX)(X,+,\cdot,\mathbb R,\mathcal T_X) 为拓扑向量空间 (topological vector space)。

乘积拓扑

Remark. 假设 II 是指标集，{Xi}i∈I\{X_i\}_{i\in I} 是拓扑空间族，则它们的乘积拓扑 (product topology) 是 X=∏i∈IXiX=\prod_{i\in I}X_i 上的最弱拓扑，使得所有投影映射

πj:X→Xj,πj((xi)i∈I)=xj\pi_j:X\to X_j,\quad \pi_j((x_i)_{i\in I})=x_j

都是连续的。乘积拓扑的一个

Corollary. 乘积拓扑保证

sn→T∏i∈IXis⟺∀j∈I,πj(sn)→TXjπj(s)s_n\xrightarrow{\mathcal T_{\prod_{i\in I}X_i}} s\iff \forall j\in I,\ \pi_j(s_n)\xrightarrow{\mathcal T_{X_j}} \pi_j(s)

Definition. 对拓扑向量空间 XX，如果对于任意 U∈TXU\in\mathcal T_X 和任意 x∈Ux\in U，存在开凸集 VV 使得 x∈V⊂Ux\in V\subset U，则称 XX 是局部凸 (locally convex) 的。

Proposition. 局部凸空间可以确定一族半范数。

Remark. 局部凸描述了 C∞(Ω),Cc∞(Ω),S(Rn)C^\infty(\Omega),C^\infty_c(\Omega),\mathcal S(\mathbb R^n) 等空间的拓扑结构。

# 弱拓扑

Definition. 设 X=(X,+,⋅,R)X=(X,+,\cdot,\mathbb R)，F⊆{f:X→R:linear}\mathscr F\subseteq \{f:X\to\mathbb R:\text{ linear}\}，则