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参考：《泛函分析讲义》何凌冰。

# Banach-Dieudonne 定理（Banach 空间）

Remark. Banach-Dieudonne 定理刻画 E⊆X∗E\subseteq X^* 是线性子空间时，EE 是 w∗w*- 闭集的充分必要条件。

Theorem. Banach-Dieudonne 定理：XX 是 Banach 空间，E⊆X∗E\subseteq X^* 是线性子空间，B∗:={x∗∈X∗:∥x∗∥≤1}\mathbb B^*:=\{x^*\in X^*:\|x^*\|\leq 1\}。如果 E∩B∗E\cap \mathbb B^* 是 w∗{w*}- 闭集，x0∗∈X∗∖Ex^*_0\in X^*\setminus E，则

  1. inf⁡x∗∈E∥x∗−x0∗∥≥δ>0\inf_{x^*\in E}\|x^*-x^*_0\|\geq \delta>0；
  2. 存在 x0∈Xx_0\in X 使得

x0∈⊥E,⟨x0∗,x0⟩=1,∥x0∥≤δ−1x_0\in{^\perp}E,\quad \langle x^*_0,x_0\rangle=1,\quad \|x_0\|\leq {\delta}^{-1}

Remark. 直观上，这是对 EE 和 x0∗x^*_0 的分离。根据 Hahn-Banach 定理（点面分离版本），我们知道 X∗∗X^{**} 是可以找到的。但是 Banach-Dieudonne 定理指出如果 XX 是完备的，并且满足 w∗w*- 条件，满足上述分离性的 X∗∗X^{**} 的元素其实可以在 l(X)l(X) 中选取，即通过 XX 的元素就可以实现分离。（问：在 Banach-Dieudonne 定理的条件下，满足分离性的 x∗∗x^{**} 是否一定在 l(X)l(X) 中？定理的完备性条件、w∗w*- 条件是否必要？）

Sketch Proof

Sketch Proof.

(1) 归纳为证明 EE 是闭子空间。已知 E∩B∗E\cap \mathbb B^* 是 w∗w*- 闭集，这个条件是比较强的，根据拓扑包含关系 Uw∗⊆Uw⊆Us\mathscr U^{w*}\subseteq \mathscr U^{w}\subseteq \mathscr U^s，知道 E∩B∗E\cap \mathbb B^* 也是闭集。所以可以考虑反证法，设存在外点 x0∗x^*_0 和收敛列 {xn∗}⊆E\{x_n^*\}\subseteq E，使得 xn∗→sx0∗∉Ex_n^*\xrightarrow{s}x_0^*\notin E，将这个点列转化到 E∩B∗E\cap \mathbb B^* 上就能推出矛盾。因为这个序列收敛到 x0∗x_0^*，所以可以控制范数，适当缩放后，即存在 c>0c>0，使得 sup⁡i≥1∥xn∗∥≤c<∞\sup_{i\geq 1}\|x_n^*\|\leq c<\infty，从而

c−1xn∗∈E∩B∗;c−1xn∗→sc−1x0∗c^{-1}x_n^*\in E\cap \mathbb B^* ; \quad c^{-1}x_n^*\xrightarrow{s} c^{-1}x_0^*

由 E∩B∗E\cap \mathbb B^* 是闭集，所以 c−1x0∗∈E∩B∗c^{-1}x^*_0\in E\cap \mathbb B^*，从而 x0∗∈Ex^*_0\in E，矛盾。

(2) 根据第一条结论，不妨设对于 x0∗∈X∗∖Ex^*_0\in X^*\setminus E，有

inf⁡x∗∈E∥x∗−x0∗∥>δ>0;B:={x∈X:∥x∥≤1}\inf_{x^*\in E}\|x^*-x^*_0\|>\delta>0;\quad \mathbb B:=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}

证明分四步：

(2-1) 可以构造 B\mathbb B 中有限点集集族 {Sn}n≥1\{S_n\}_{n\geq 1}，使得对于任意 x∗∈Ex^*\in E，使得对任意 n≥1n\geq 1，都有

x∗∉E⟸{∥x∗−x0∗∥≤δnmax⁡x∈Sk∣⟨x∗−x0∗,x⟩∣≤kδ,∀1≤k<nx∗∈X∗x^*\notin E\impliedby \begin{cases}\|x^*-x^*_0\|\leq \delta n\\ \\ \displaystyle\max_{x\in S_k}|\langle x^*-x^*_0,x\rangle|\leq k\delta ,\quad \forall 1\leq k< n\\ \\ x^*\in X^*\end{cases}

用归纳法证明：当 n=1n=1 时，由第一条结论可知；假设构造了 {Sk}1≤k≤n\{S_k\}_{1\leq k\leq n} 满足上述性质，记 S⊆BS\subseteq \mathbb B 为有限集合，定义

E(S):={x∗∈E∣∥x∗−x0∗∥≤δ(n+1)max⁡x∈Sk∣⟨x∗−x0∗,x⟩∣≤kδ,∀1≤k<nmax⁡x∈S∣⟨x∗−x0∗,x⟩∣≤nδ}E(S):=\left\{x^*\in E\left|\begin{array}{ll}\|x^*-x^*_0\|\leq \delta (n+1)\\ \\ \displaystyle\max_{x\in S_k}|\langle x^*-x^*_0,x\rangle|\leq k\delta ,\quad \forall 1\leq k<n\\ \\ \displaystyle\max_{x\in S}|\langle x^*-x^*_0,x\rangle|\leq n\delta \end{array}\right.\right\}

记 R:=∥x0∗∥+δ(n+1)R:=\|x^*_0\|+\delta (n+1)，K:=R(E∩B∗)={x∗∈E:∥x∗∥≤R}K:=R(E\cap\mathbb B^*)=\{x^*\in E:\|x^*\|\leq R\}。由 Banach-Alaoglu 定理（Banach 版本）知 E∩B∗E\cap \mathbb B^* 是有界集且 w∗w*- 闭集，所以 KK 是 w∗w*- 紧集。同时，E(S)=K∩K1∩K2∩K3E(S)=K\cap K_1\cap K_2\cap K_3，其中

{K1:=⋂k=1n−1{x∗∈X∗:∣⟨x∗−x0∗,x⟩∣≤kδ,∀x∈Sk}∈Uw∗K2:={x∗∈X∗:∣⟨x∗−x0∗,x⟩∣≤nδ,∀x∈S}∈Uw∗K3:={x∗∈X∗:∥x∗−x0∗∥≤δ(n+1)}=⋂x∈B{⟨x∗−x0∗,x⟩≤δ(n+1)}∈Uw∗\begin{cases}\displaystyle K_1:=\bigcap^{n-1}_{k=1}\{x^*\in X^*:|\langle x^*-x^*_0,x\rangle|\leq k\delta ,\forall x\in S_k\}\in \mathscr U^{w*}\\ \\ K_2:=\{x^*\in X^*:|\langle x^*-x^*_0,x\rangle|\leq n\delta ,\forall x\in S\}\in \mathscr U^{w*}\\ \\ \displaystyle K_3:=\{x^*\in X^*:\|x^*-x^*_0\|\leq \delta (n+1)\}=\bigcap_{x\in\mathbb B}\{\langle x^*-x^*_0,x\rangle\leq \delta (n+1)\}\in \mathscr U^{w*}\end{cases}

所以 E(S)⊆KE(S)\subseteq K 是 w∗w*- 闭集，从而 E(S)E(S) 是 w∗w*- 紧集。

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第二步。根据第一步，构造 T:X∗→c0⊆ℓ∞T:X^*\to c_0\subseteq \ell^\infty，使得

T(x∗):={⟨x∗−x0∗,xn⟩}n=1∞;∥Tx∗−Tx0∗∥ℓ∞≥δ,∀x∗∈ET(x^*):=\{\langle x^*-x_0^*,x_n\rangle\}_{n=1}^\infty;\quad \|Tx^*-Tx^*_0\|_{\ell^\infty}\geq \delta,\ \forall x^*\in E

对 TETE 和 Tx0∗Tx_0^* 使用 Hahn-Banach 定理，存在 β∈(c0)∗=ℓ1\beta\in (c_0)^*=\ell^1，使得

∥β∥ℓ1=1,⟨Tx∗,β⟩=0,∀x∗∈E,⟨Tx0∗,β⟩≥δ\|\beta\|_{\ell^1}=1,\quad \langle Tx^*,\beta\rangle=0,\ \forall x^*\in E,\quad \langle Tx_0^*,\beta\rangle\geq \delta

构造 x0x_0。记 α:=⟨β1,Tx0⟩−1β\alpha:=\langle \beta_1,Tx_0\rangle ^{-1}\beta，则

  • ∑i≥1αi⟨x0∗,xi⟩=∑i≥1⟨β,⟨x0∗,xi⟩⟩=1\displaystyle \sum_{i\geq 1}\alpha_i\langle x^*_0,x_i\rangle=\sum_{i\geq 1}\langle \beta ,\langle x^*_0,x_i\rangle\rangle=1；

【证明 ∑i≥1αixi\sum_{i\geq 1}\alpha_ix_i 收敛】

∑i≥1∞∥αixi∥≤∑i≥qαi∥xi∥≤c∑i≥qαi≤δ−1c∥β∥ℓ1≤δ−1c\sum^\infty_{i\geq 1}\|\alpha_ix_i\|\leq \sum_{i\geq q}\alpha_i\|x_i\|\leq c\sum_{i\geq q}\alpha_i\leq \delta^{-1}c\|\beta\|_{\ell^1}\leq \delta^{-1}c

于是可以记 x0:=∑i≥1αixix_0:=\sum_{i\geq 1}\alpha_ix_i，则 x0x_0 满足三个要求。

Corollary. XX 是赋范空间，E⊆X∗E\subseteq X^* 是子空间，则

  1. EE 是 Uw∗\mathscr U^{w*}- 闭集；
  2. E∩B∗E\cap \mathbb B^* 是 Uw∗\mathscr U^{w*}- 闭集；
  3. (⊥E)⊥=E({^\perp}E)^\perp=E。
Sketch Proof

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(1⟺31\iff 3) 已知对线性子空间的闭包 E‾w∗=(⊥E)⊥\overline E^{w*}=({^\perp}E)^\perp。

(1⟹21\implies 2) 由于 B∗=S∗‾w∗\mathbb B^*=\overline {\mathbb S^*}^{w*}，所以 E∩B∗E\cap \mathbb B^* 是 Uw∗\mathscr U^{w*}- 闭集。

(2⟹32\implies 3) 已知 E⊆(⊥E)⊥E\subseteq ({^\perp}E)^\perp，只需证明反向包含，等价于说明 (⊥E)⊥⊆E({^\perp}E)^\perp\subseteq E。对任意 x0∗∈X∗∖Ex^*_0\in X^*\setminus E，由 Banach-Dieudonne 定理，存在 x0∈Xx_0\in X，使得

Theorem. Helley 定理：设 XX 为实赋范空间，x1∗,…,xn∗∈X∗;c1,…,cn∈Rx^*_1,\ldots,x^*_n\in X^*;c_1,\ldots,c_n\in\mathbb R，且 M>0M>0，则下列命题等价：

  1. 对任意 ε>0\varepsilon>0，存在 x∈Xx\in X，使得

∥x∥≤M+ε,⟨xi∗,x⟩=ci,∀1≤i≤n\|x\|\leq M+\varepsilon,\quad \langle x^*_i,x\rangle=c_i,\ \forall 1\leq i\leq n

  1. 对任意 Λ=(Λ1,…,Λn)∈Rn\Lambda=(\Lambda_1,\ldots,\Lambda_n)\in\mathbb R^n，有

∣∑i=1nΛici∣≤M∥∑i=1nΛixi∗∥X∗\left|\sum^n_{i=1}\Lambda_ic_i\right|\leq M\left\|\sum^n_{i=1}\Lambda_ix^*_i\right\|_{X^*}

Sketch Proof

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(1⟹21\implies 2) 直接计算

∣∑i=1nΛici∣=∣∑i=1nΛi⟨xi∗,x⟩∣=∣⟨∑i=1nΛixi∗,x⟩∣≤∥∑i=1nΛixi∗∥X∗∥x∥≤M∥∑i=1nΛixi∗∥X∗\begin{array}{ll}\displaystyle\left|\sum^n_{i=1}\Lambda_ic_i\right|&=\left|\sum^n_{i=1}\Lambda_i\langle x^*_i,x\rangle\right|=\left|\left\langle \sum^n_{i=1}\Lambda_ix^*_i,x\right\rangle\right|\\ \\ &\leq \left\|\sum^n_{i=1}\Lambda_ix^*_i\right\|_{X^*}\|x\|\leq M\left\|\sum^n_{i=1}\Lambda_ix^*_i\right\|_{X^*}\end{array}

(2⟹12\implies 1) 假设 x1∗,…,xn∗x^*_1,\ldots,x^*_n 线性无关，则存在 x1,…,xn∈Xx_1,\ldots,x_n\in X，使得 ⟨xi∗,xj⟩=δij\langle x^*_i,x_j\rangle=\delta_{ij}。定义

Z:=⊥(span{x1∗,…,xn∗})Z:={^\perp}\left(\mathrm{span}\{x^*_1,\ldots,x^*_n\}\right)

希望证明 Z⊥=span{x1∗,…,xn∗}Z^\perp=\mathrm{span}\{x^*_1,\ldots,x^*_n\}。事实上，对任意 x∈Xx\in X 都有

x−∑i=1n⟨xi∗,x⟩xi∈Zx-\sum^n_{i=1}\langle x^*_i,x\rangle x_i\in Z

令 x=∑j=1ncjxjx=\sum^n_{j=1}c_jx_j，则 ⟨xi∗,x⟩=ci\langle x^*_i,x\rangle =c_i。根据 ZZ 的定义，⟨xi∗,x+z⟩=ci\langle x^*_i,x+z\rangle=c_i 对任意 z∈Zz\in Z 都成立。

不难验证 ZZ 是闭子空间

则

∥[x]∥X/Z=inf⁡z∈Z∥x+z∥X=sup⁡x∗∈Z⊥∣⟨x∗,x⟩∣∥x∗∥X∗=sup⁡x∗∈Z⊥∣⟨∑j=1nΛjxj∗,x⟩∣∥∑j=1nΛjxj∗∥X∗=∣∑j=1nΛj⟨xj∗,x⟩∣∥∑j=1nΛjxj∗∥=∣∑j=1nΛjcj∣∥∑j=1nΛjxj∗∥≤M\begin{array}{ll}\|[x]\|_{X/Z}&=\inf_{z\in Z}\|x+z\|_{X}=\sup_{x^*\in Z^\perp}\dfrac {|\langle x^*,x\rangle|}{\|x^*\|_{X^*}}\\ \\&=\sup_{x^*\in Z^\perp}\dfrac {\left|\langle \sum^n_{j=1}\Lambda_jx^*_j,x\rangle\right|}{\left\|\sum^n_{j=1}\Lambda_jx^*_j\right\|_{X^*}}\\ \\ &=\dfrac {|\sum^n_{j=1}\Lambda _j\langle x^*_j,x\rangle|}{\|\sum^n_{j=1}\Lambda _jx_j^*\|}=\dfrac {|\sum^n_{j=1}\Lambda _jc_j|}{\|\sum^n_{j=1}\Lambda _jx^*_j\|}\leq M\end{array}

其中 (X/Z)∗(X/Z)^* 与 Z⊥Z^\perp 同构。定义线性泛函 f:(X/Z)∗→Rf:(X/Z)^*\to \mathbb R，使得

如果 x1∗,…,xn∗x^*_1,\ldots,x^*_n 为一般情形，不一定线性无关，则取其中的极大线性无关组，为 xJ(1)∗,…,xJ(s)∗x^*_{J(1)},\ldots,x^*_{J(s)}，由第一步结论，存在 x∈Xx\in X，使得

∥x∥≤M+ε;⟨xJ(i)∗,x⟩=cJ(i),∀1≤i≤s\|x\|\leq M+\varepsilon;\quad \langle x^*_{J(i)},x\rangle=c_{J(i)},\ \forall 1\leq i\leq s

对于任意 i∈{1,…,n}∖{J(1),…,J(s)}i\in \{1,\ldots,n\}\setminus \{J(1),\ldots,J(s)\}，根据线性相关，可以写为

xi∗=∑j=1sΛjxJ(j)∗x^*_i=\sum^s_{j=1}\Lambda_jx^*_{J(j)}

由