Sketch Proof.

($1\implies 2$) $X$ 是自反的，等价于 $l:X\to X^{**}$ 规范嵌入是等距同构，所以 $(X^*,\mathscr U^w)=(X^*,\mathscr U^{w*})$，从而 $(X^{**},\mathscr U^w)$

($2\implies 1$) 因为 $\mathbb B$ 是 $(X^*,\mathscr U^w)$- 紧集，给定 $x^{**}\in X^{**}$，存在 $x\in X$，使得 $l(x)=x^{**}$。？？？？？、

断言，对于 $X^*$ 中有限集 $S$

记 $\varphi:=\{S\subseteq \mathcal P(X^*):S\text{ is finite}\}$，记

$$K(S):=\{x\in X:\|x\|\leq 2\|x^{**}\|,\ \langle x^*,x\rangle=\langle x^{**},x^*\rangle,\ \forall x^*\in S\}$$

则

• $K(S)\neq \varnothing$，且 $K(S)$ 是 $\mathscr U^s$ - 凸闭集。所以 $K(S)$ 是 $\mathscr U^w$ - 闭集；
• $K(S)\subseteq 2\|x^{**}\|\mathbb B$，根据 $\mathbb B$ 是 $\mathscr U^w$ - 紧集的条件，则 $K(S)$ 是 $\mathscr U^w$ - 紧集。
• $\{K(S)\}_{S\in \varphi}$ 满足有限交性质。\\\\\

($1\implies 3$) 分为可分与不可分两个情形。

1. 熟知 $X^*$ 可分，推出 $X$ 可分。而现在 $X$ 自反可分，所以 $X^{**}$ 可分，从而 $X^*$ 可分。设 $\{x_n\}_{n\geq 1}$ 是 $\mathbb B$ 中序列，则 $\{l(x_n)\}_{n\geq 1}\subseteq \mathbb B^{**}$，由 Banach-Alaoglu 定理，且 $X^*$ 可分，所以根据可分空间的列紧结论，存在 $\{l(x_{n_k})\}_{k\geq 1}$ 是 $(X^{**},\mathscr U^{w*})$- 收敛子列。$\{x_{n_k}\}_{k\geq 1}$ 是 $(X,\mathscr U^w)$- 收敛子列。121

Sketch Proof.

必要性，由 Hahn-Banach 定理构造 $x^{**}\in X^{**}$，再根据自反性对应 $l(x)=x^{**}$。

充分性，使用 James 断言：$C\subseteq X$ 是非零有界 $\mathscr U^w$ - 闭集，则 $c$ 是 $\mathscr U^w$ - 紧集，当且仅当对任意 $x^*\in X^*$，存在 $x_0\in C$，使得

$$\max_{x\in C}\langle x^*,x\rangle=\langle x^*,x_0\rangle$$

即最大值可以取到。

由条件和 James 断言，