Sketch Proof.

($1\implies 2$) $X$ 是自反的，等价于 $l:X\to X^{**}$ 规范嵌入是等距同构。可以证明 $(X^*,\mathscr U^w)=(X^{**},\mathscr U^{w*})$ 是同胚的。需要证明 $l$ 是双射且是开映射。

开映射：只需要证明子基的意义下成立。任取

$$V=\{x\in X:\langle x^*_i,x\rangle \in(a_i,b_i),i=1,2,\cdots,m\}$$

则

$$l(V)=\{x^{**}\in X^{**}:\langle x^*,x^{**}\rangle \in(a_i,b_i),i=1,2,\cdots,m\}$$

所以 $l$ 是开映射。

双射：

\\

($2\implies 1$) 因为 $\mathbb B$ 是 $(X^*,\mathscr U^w)$- 紧集，给定 $x^{**}\in X^{**}$，存在 $x\in X$，使得 $l(x)=x^{**}$。？？？？？、

断言，对于 $X^*$ 中有限集 $S$

记 $\varphi:=\{S\subseteq \mathcal P(X^*):S\text{ is finite}\}$，记

$$K(S):=\{x\in X:\|x\|\leq 2\|x^{**}\|,\ \langle x^*,x\rangle=\langle x^{**},x^*\rangle,\ \forall x^*\in S\}$$

则

• $K(S)\neq \varnothing$，且 $K(S)$ 是 $\mathscr U^s$ - 凸闭集。所以 $K(S)$ 是 $\mathscr U^w$ - 闭集；
• $K(S)\subseteq 2\|x^{**}\|\mathbb B$，根据 $\mathbb B$ 是 $\mathscr U^w$ - 紧集的条件，则 $K(S)$ 是 $\mathscr U^w$ - 紧集。
• $\{K(S)\}_{S\in \varphi}$ 满足有限交性质。\\\\\

($1\implies 3$) 分为可分与不可分两个情形。

1. 熟知 $X^*$ 可分，推出 $X$ 可分。而现在 $X$ 自反可分，所以 $X^{**}$ 可分，从而 $X^*$ 可分。设 $\{x_n\}_{n\geq 1}\subseteq \mathbb B$ 序列，则 $\{l(x_n)\}_{n\geq 1}\subseteq \mathbb B^{**}$，由 Banach-Alaoglu 定理（可分 Banach 空间版本），所以存在 $\{l(x_{n_k})\}_{k\geq 1}$ 是 $(X^{**},\mathscr U^{w*})$- 收敛子列，由于 $l$ 是同胚，所以 $\{x_{n_k}\}_{k\geq 1}$ 是 $(X,\mathscr U^w)$- 收敛子列。而 $\mathbb B$ 是凸闭集，从而是 $w$ - 凸闭集，所以极限点也在 $\mathbb B$ 中，这说明 $\mathbb B$ 是 $w$ - 列紧集。

2. 当 $X$ 不可分时，$\{x_n\}_{n\geq 1}\subseteq \mathbb B$。记 $Y=\overline {\mathrm{span}\{x_n:n\geq 1\}}$，则 $Y$ 是 $X$ 的闭子空间，自反可分。所以应用可分情形，存在 $\{x_{n_k}\}_{k\geq 1}$ 是 $(Y,\mathscr U^w)$- 收敛子列，设极限为 $x\in Y$。因为 $Y$ 是 $X$ 的闭子空间，所以

$$Y\subseteq X\implies X^*\subseteq Y^*\implies (x_{n_k}\xrightarrow{(X,\mathscr U^w)}x\in \mathbb B\cap Y)$$

($3\implies 4$) 对于任意有界列，不妨设 $\{x_n\}\subseteq \mathbb B$，由 $w$ - 列紧性，存在 $\{x_{n_k}\}$ 是 $(X,\mathscr U^w)$- 收敛子列。

($4\implies 1$) 证明自反，即要证明对任意 $x^{**}_0\in X^{**}$，存在 $x_0\in X$，使得 $l(x_0)=x^{**}_0$。可以等价地转化，$x^{**}_0$ 在 $X$ 可以找到原像 $x_0$，当且仅当 $x^{**}_0$ 是 $(X^*,\mathscr U^{w*})$- 连续的，当且仅当 $\ker x^{**}_0$ 是 $(X^*,\mathscr U^{w*})$- 闭集，当且仅当（由 Banach-Dieudonne 定理）$\ker x^{**}_0\cap \mathbb B^*$ 是 $(X^*,\mathscr U^{w*})$- 闭集。

不妨尺度变换 $\|x^{**}_0\|<1$。对于任意 $n\in\mathbb N$，$x^*_1,\ldots,x^*_n\in X^*$，存在 $x\in X$ 满足（？）

$$\|x\|\leq 1;\quad \langle x^{**}_0,x^*_i\rangle=\langle x^*_i,x\rangle$$

假设 $\mathbb S=\{\|x\|=1\}$，由 Goldstine 定理（？），$\overline {l(\mathbb S)}^{w*}=\mathbb B^{**}\ni x^{**}_0$。记

第二步。记 $E=\ker x^{**}_0$，证明 $\ker x^{**}_0\cap \mathbb B^*$ 是 $(X^*,\mathscr U^{w*})$- 闭集，只需要说明

$$\overline {E\cap \mathbb B^*}^{w*}= E\cap \mathbb B^*$$

任取 $x^*_0\in \overline {E\cap \mathbb B^*}^{w*}$，需要证明 $x^*_0\in E$ 即可。这是因为 $\mathbb B^*=\overline {\mathbb S^*}^{w*}$ 是 $w*$- 闭集。

由第一步，存在 $x_1\in\mathbb B$，使得 $\langle x^*_0,x_1\rangle=\langle x^{**}_0,x^*_0\rangle$。此时，$x^*_0\in\overline {E\cap \mathbb B^*}^{w*}$，所以由 $w*$ 的定义，存在 $x^*_1\in\mathbb B\cap E$ 使得

$$|\langle l(x_1),x^*_0-x^*_1\rangle |=|\langle x^*_0-x^*_1,x_1\rangle|<\varepsilon$$

就是说因为 $x^*_0$ 在闭包中，所以可以找到 $E\cap \mathbb B^*$ 上的点 $x^*_1$，使得它们在 $l(x_1)$ 作用下取值足够接近。假设

$$\begin{cases}\langle x^*_i,x_n\rangle=\langle x^{**}_0,x^*_i\rangle=\begin{cases}\langle x^{**}_0,x^*_0\rangle,&i=0\\0,&i\neq 0\end{cases}\\ \\ |\langle x^*_n-x^*_0,x_i\rangle |<\varepsilon,\quad \forall 1\leq i\leq n\end{cases}$$

首先 $\{x_n\}_{n\geq 1}\subseteq \mathbb B$，由 $\mathbb B$ 是 $w$ - 列紧集，有

$$x_{n_k}\xrightarrow{w} x_0\in \mathbb B$$

在凸集意义下，由 Mazur 定理（？）

$$x_{n_k}\xrightarrow{s} x_0\in \mathbb B\implies \exists 0\leq \Lambda_i\leq 1,\sum^n_{i=1}\Lambda_i=1,\ \left\|\sum_{i=1}^{m_n}\Lambda_i x_{n_i}-x_0\right\|<\varepsilon$$

则

$$\begin{array}{ll}\langle x^{**}_0,x^*_0\rangle&\displaystyle=\langle x^{**}_0,x^*_0\rangle -\sum^n_{i=1}\Lambda_i\langle x^*_m,x_i\rangle +\langle x^*_m,\sum^n_{i=1}\Lambda_i x_{n_i}-x_0\rangle+\langle x^*_m,x_0\rangle\\ \\ &\displaystyle =\sum^n_{i=1}\Lambda_i\langle x^*_0-x^*_m,x_i\rangle +\langle x^*_m,\sum^n_{i=1}\Lambda_i x_{n_i}-x_0\rangle+\langle x^*_m,x_0\rangle\\ \\ &\displaystyle \leq \varepsilon +\|\ x^*_m\|\varepsilon +\langle x^*_m,x_0\rangle\end{array}$$

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