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参考：《泛函分析讲义》何凌冰。

本章讨论有限维、无限维空间的线性算子的相似之处。回忆，在有限维线性空间中，对线性算子 A∈Mm,nA\in\mathcal M_{m,n}，有秩 - 零化子定理：

Ax=y⟹dim⁡R(A)+dim⁡ker⁡(A)=nAx=y\implies \dim\mathrm{R}(A)+\dim\ker(A)=n

那么要么 Ax=0Ax=0 有非平凡解，要么 Ax=yAx=y 对任意 yy 有解。这个二择性在无限维空间中不再成立。在 Fredholm 算子上，二择性依然成立。

# 对偶算子

Definition. 对实赋范空间 X=(X,∥⋅∥,R),Y=(Y,∥⋅∥,R)X=(X,\|\cdot\|,\mathbb R),Y=(Y,\|\cdot\|,\mathbb R)，对有界线性算子 A∈L(X;Y)A\in\mathcal L(X;Y)，则定义对偶算子

A∗:Y∗→X∗,A∗y∗=y∗∘A,∀y∗∈Y∗A^*:Y^*\to X^*,\quad A^*y^*=y^*\circ A,\ \forall y^*\in Y^*

# A* 的性质

Proposition. A∗A^* 对偶运算的性质。

  1. ∥A∥=∥A∗∥\|A\|=\|A^*\|；
  2. 假设 A:X→Y,B:Y→ZA:X\to Y,B:Y\to Z，则
  3. (AB)∗=B∗A∗(AB)^*=B^*A^*；
  4. 若 A∗∗:=(A∗)∗A^{**}:=(A^*)^*，则对 lX,lYl_X,l_Y 是典范嵌入，有

A∗∗:X∗∗→Y∗∗,lY∘A=A∗∗∘lXA^{**}:X^{**}\to Y^{**},\quad l_Y\circ A=A^{**}\circ l_X

:::

Sketch

(2-2) 对任意 x∈Xx\in X，有

⟨lY∘Ax,y∗⟩(Y∗∗,Y∗)=⟨y∗,Ax⟩(Y∗,Y)=⟨A∗y∗,x⟩(X∗,X)=⟨lXx,A∗y∗⟩(X∗∗,X∗)=⟨A∗∗∘lXx,y∗⟩(Y∗∗,Y∗)\begin{array}{ll}\langle l_Y\circ Ax,y^*\rangle_{(Y^{**},Y^*)}&=\langle y^*,Ax\rangle_{(Y^*,Y)}\\ &=\langle A^*y^*,x\rangle_{(X^*,X)}\\ &=\langle l_X x,A^*y^*\rangle_{(X^{**},X^*)}\\ &=\langle A^{**}\circ l_X x,y^*\rangle_{(Y^{**},Y^*)}\end{array}

因此 lY∘A=A∗∗∘lXl_Y\circ A=A^{**}\circ l_X。（？）

Corollary. (idX)∗=idX∗(\mathrm {id}_X)^*=\mathrm{id}_{X^*}。

Remark. 假设 HH 是 Hilbert 空间，A∈L(H;H)A\in\mathcal L(H;H)，则对偶算子 A∗:H∗→H∗A^*:H^*\to H^*，通过 Riesz 表示定理，设 Φ:H→H∗\Phi:H\to H^* 是等距同构，使得 Φ(x)(y)=(y,x)\Phi(x)(y)=(y,x)，那么对偶算子诱导了

AH∗:H→H,AH∗=Φ−1∘A∗∘ΦA^*_H:H\to H,\quad A^*_H=\Phi^{-1}\circ A^*\circ \Phi

所以对任意 x,y∈Hx,y\in H 有 (Ax,y)=(x,AH∗y)(Ax,y)=(x, A^*_H y)
当 A=AH∗A=A^*_H 时，称 AA 为自伴算子。这在有限维情况下对应于对称矩阵。

Proposition. X,YX,Y 是赋范空间，A∈L(X;Y)A\in\mathcal L(X;Y)，则

  1. R(A)\mathrm{R}(A) 可以由 ker\mathrm{ker} 刻画。

R(A)⊥=ker⁡(A∗);⊥R(A∗)=ker⁡(A)\mathrm{R}(A)^\perp=\ker(A^*);\quad {^\perp}\mathrm{R}(A^*)=\ker(A)

  1. R(A)\mathrm {R}(A) 是 YY 的稠密子集，当且仅当 ker⁡(A∗)={0}\ker(A^*)=\{0\}，当且仅当 A∗A^* 是单射；
  2. R(A∗)\mathrm{R}(A^*) 是 (X∗,Uw∗)(X^*,\mathscr U^{w*})- 稠密子集，当且仅当 ker⁡(A)={0}\ker(A)=\{0\}，当且仅当 AA 是单射。
Sketch Proof

Sketch Proof.

(1)

y∗∈Ran(A)⊥⟺⟨y∗,Ax⟩=0,∀x∈X⟺⟨A∗y∗,x⟩=0,∀x∈X⟺A∗y∗=0⟺y∗∈ker⁡(A∗)\begin{array}{ll}y^*\in \mathrm{Ran}(A)^\perp&\iff \langle y^*,Ax\rangle=0,\ \forall x\in X\\ &\iff \langle A^*y^*,x\rangle=0,\ \forall x\in X\\ &\iff A^*y^*=0\\ &\iff y^*\in \ker(A^*)\end{array}

类似地可证

x∗∈⊥Ran(A∗)⟺⟨A∗y∗,x⟩=0,∀y∗∈Y∗⟺⟨y∗,Ax⟩=0,∀y∗∈Y∗⟺Ax=0⟺x∈ker⁡(A)\begin{array}{ll}x^*\in {^\perp}\mathrm{Ran}(A^*)&\iff \langle A^*y^*,x\rangle =0,\ \forall y^*\in Y^*\\ &\iff \langle y^*,Ax\rangle=0,\ \forall y^*\in Y^*\\ &\iff Ax=0\\ &\iff x\in \ker(A)\end{array}

(2)

A∗injective⟺ker⁡(A∗)={0}⟺Ran(A)⊥={0}⟺Ran(A)‾=Y\begin{array}{ll}A^*\text{ injective}&\iff \ker(A^*)=\{0\}\\ &\iff \mathrm{Ran}(A)^\perp=\{0\}\\ &\iff \overline{\mathrm{Ran}(A)}=Y\end{array}

(3) （？）

Ainjective⟺ker⁡(A)={0}⟺⊥Ran(A∗)={0}⟺Ran(A∗)‾w∗=X∗\begin{array}{ll}A\text{ injective}&\iff \ker(A)=\{0\}\\ &\iff {^\perp}\mathrm{Ran}(A^*)=\{0\}\\ &\iff \overline{\mathrm{Ran}(A^*)}^{w*}= X^*\end{array}

Remark. 第二条结论是最佳的，即不能将 “稠密” 改为 “等于”。

Example. 设 A:ℓ2→ℓ2A:\ell^2\to \ell^2，Ax={i−1xi}Ax=\{i^{-1}x_i\}，则 AA 是单射，但 R(A)\mathrm{R}(A) 不是 ℓ2\ell^2。

Remark. 第三条结论中不能将 w∗w*- 稠密改为 ww - 稠密。

Example. A:ℓ1→c0A:\ell^1\to c_0，满足 Ax=xAx=x，则 AA 是单射。考虑对偶算子

A∗:ℓ1→ℓ∞,A∗y∗=y∗A^*: \ell^1\to \ell^\infty,\quad A^*y^*=y^*

而 ℓ1⊊ℓ∞\ell^1\subsetneq \ell^\infty，所以 Ran(A∗)\mathrm{Ran}(A^*) 是 (ℓ∞,Uw∗)(\ell^\infty,\mathscr U^{w*})- 稠密子集，但不是 (ℓ∞,Uw)(\ell^\infty,\mathscr U^{w})- 稠密子集。我们说明后者，事实上，ℓ1‾∥⋅∥∞⊊ℓ∞\overline {\ell ^1}^{\|\cdot\|_\infty}\subsetneq \ell^\infty，所以任取 x∈ℓ∞∖ℓ1‾∥⋅∥∞x\in \ell^\infty\setminus\overline {\ell^1}^{\|\cdot\|_\infty}，则由 Hahn-Banach 定理

Lemma. A∈L(X;Y)A\in\mathcal L(X;Y)，则