# 一致有界原理 I

Definition 集合 $X$，赋范空间族 $\{Y_\alpha\}$，函数族 $\{f_\alpha:X\to Y_\alpha\}$. 如果

$$\sup_\alpha \|f_\alpha(x)\|_{Y_\alpha}<\infty,\quad \forall x\in X$$

则称 $\{f_\alpha\}$ 是点态有界 (pointwise bounded) 的。

本节的主定理如下

Theorem [一致有界原理 (Uniform Boundedness)] Banach 空间 $X$ ，赋范空间族 $\{Y_\alpha\}$，有界线性算子族 $\{A_\alpha:X\to Y_\alpha\}$. 如果 $\{A_\alpha\}$ 点态有界，则 $\{A_\alpha\}$ 是一致有界 (uniformly bounded) 的，即

$$\sup_\alpha \|A_\alpha\|_{\mathcal B(X,Y_\alpha)}<\infty$$

Remark 有界线性算子族点态有界 $\xrightarrow{X\text{ Banach}}$ 一致有界.

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Lemma 非空完备度量空间 $(X,d)$，连续函数族 $\{f_\alpha:X\to \mathbb R\}$. 如果 $\{f_\alpha\}$ 点态有界，则存在 $x_0\in X$ 和 $\delta>0$，使得

$$\sup_\alpha \sup_{x\in B(x_0,\delta)}|f_\alpha(x)|<\infty$$

证明：

(1) 定义截断集 $F_{n,\alpha}:=\{x\in X:|f_\alpha(x)|\leq n\}$，是闭集.

(2) 考虑截断集 $F_n$，表示公共有界的部分，是闭集

$$F_n:=\bigcap_{\alpha}F_{n,\alpha}=\{x\in X:\sup_\alpha |f_\alpha(x)|\leq n\}$$

(3) 根据点态有界性，$X=\bigcup_n F_n$.

(4) $(X,d)$ 是完备度量空间，由 Baire 纲定理，存在 $n_0$ 使得 $F_{n_0}$ 包含开稠集，故存在 $B(x_0,\delta)\subseteq F_{n_0}$，则

$$\sup_\alpha \sup_{x\in B(x_0,\delta)}|f_\alpha(x)|\leq n_0<\infty$$

Remark 连续函数族点态有界 $\xrightarrow{X \text{ c.m.}}$ 存在局部一致有界.

Corollary 连续函数族 $\{f_n\}_{n\geq 1}\subseteq C((a,b))$. 如果 $\{f_n\}$ 是点态有界的，则存在 $x\in (a,b)$ 和 $\varepsilon>0$ 使得 $I:=B(x,\varepsilon)\subseteq (a,b)$，使得 $\{f_n|_{I}\}$ 一致有界.

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一致有界原理的证明基于如下观察

Remark 算子局部一致有界 $\xrightarrow{linearity}$ 算子零点附近一致有界.

证明（一致有界原理）：

(1) 定义连续函数 $f_\alpha(x):=\|A_\alpha x\|_{Y_\alpha}$；则由条件，$\{f_\alpha\}$ 是点态有界的；则由引理，存在局部一致有界

$$M:=\sup_\alpha \sup_{x\in B(x_0,\delta)}\|A_\alpha x\|_{Y_\alpha}<\infty$$

(2) 线性在于 $\|\varepsilon x\|=|\varepsilon| \|x\|$，具体地，对单位向量 $x\in X$

$$|\varepsilon|\|A_\alpha x\|_{Y_\alpha}=\|A_\alpha (x_0+\dfrac \varepsilon 2 x)\|_{Y_\alpha}+\|A_\alpha (x_0-\dfrac \varepsilon 2 x)\|_{Y_\alpha}\leq 2M$$

Remark 条件 “$X$ 是完备的” 不可移除。反例为

$$X:=\{x=(x_i)_{i\in\mathbb N}:x_i\in \mathbb R,\exists m_x\text{ s.t. }x_i=0,\forall i\geq m_x\}$$

配备范数 $\|x\|=\sup_i|x_i|=\|x\|_{l^\infty}$，则

(1) $X$ 是不完备赋范空间，且

$$\overline X^{\|\cdot \|_{l^\infty}}=c_0=\{x=(x_i):\lim_{i\to \infty}x_i=0\}$$

(2) 取 $X$ 上的一个线性算子族

$$A_k:X\to X,\quad A_k x=(x_1,2x_2,\cdots,k x_k,0,0,\cdots)$$

则 $\{A_k\}$ 是点态有界的，但不是一致有界的.

# Banach-Steinhaus 定理

Definition Banach 空间 $X,Y$，有界线性算子列 $\{A_n\}\subseteq \mathcal B(X,Y)$. 如果

$$\lim_{n\to \infty}A_n x=Ax ,\quad \forall x\in X$$

则称 $\{A_n\}$ 强收敛 (strongly convergent) 于 $A\in \mathcal B(X,Y)$，记为

$$A_n\xrightarrow{s} A$$

Remark 强收敛 $\iff$ 点态收敛 $\xrightarrow{cannot}$ 一致收敛.

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Banach-Steinhaus 定理是对一致有界原理的推广.

Theorem [Banach-Steinhaus 定理] Banach 空间 $X,Y$，有界线性算子列 $\{A_n\}\subseteq \mathcal B(X,Y)$. 以下命题等价

(a) $\{A_n\}$ 点态收敛；

(b) $\{A_n\}$ 一致有界，且存在稠密子集 $D\subseteq X$，使得 $\{A_n d\}$ 是 Cauchy 列；

(c) $\{A_n\}$ 一致有界，且存在 $A\in \mathcal B(X,Y)$ 使得 $A_n\xrightarrow{s} A$，且

\|A\|\leq \varliminf_{n} \|A_n\|

特别地，如果 $X$ 不完备， (b) $\iff$ (c)；如果 $Y$ 不完备，(a) $\iff$ (c).

证明：

(c->a,b) 由强收敛推出.

(a->c) $\{A_n\}$ 点态收敛，$X$ 完备，则由一致收敛定理，$\{A_n\}$ 一致有界，同时可以定义

$$A:X\to Y,\quad Ax:=\lim_{n\to \infty}A_n x$$

由 $\{A_n\}$ 线性和一致有界，则 $A\in\mathcal B(X,Y)$，进一步还有

\|A x\|\leq \lim_{n\to \infty}\|A_n x\|\leq \varliminf_n \|A_n\|\|x\|

(b->c) 对于任意 $x\in X$ 和 $\varepsilon>0$，由 $D$ 的稠密性，考虑

$$\|A_n x-A_m x\|\leq \|A_n(x-d)\|+\|A_m(x-d)\|+\|A_n d-A_m d\|$$

推出 $\{A_n x\}$ 是 Cauchy 列；由 $Y$ 完备，$\{A_n\}$ 点态收敛，同 (a->c).

Corollary [（共轭）双线性映射] Banach 空间 $X$，赋范空间 $Y,Z$，共轭双线性映射 $B:X\times Y\to Z$. 以下命题等价
(a) $B$ 有界，即 $\|B(x,y)\|_Z\leq c\|x\|_X\|y\|_Y$；
(b) $B$ 连续；
(c) $\overline {B(x,\cdot)}\in\mathcal B(X,Y)$，$B(\cdot,y)\in\mathcal B(X,Z)$.

证明：

(a->b->c) 显然.

(c->a) 固定 $x\in X$，由 $B(x,\cdot)$ 的连续性，存在 $\delta_x >0$ 使得

$$\|B(x,y)\|=\dfrac {\|y\|}{\delta_x }\cdot \|B(x, \frac {\delta_x y}{\|y\|})\|\leq \dfrac {\|y\|}{\delta_x}$$

所以 $\{A_y\}_{y\in \mathbb S_Y}$ 点态有界，其中

$$A_y:X\to Z,\quad A_y x:=B(x,y)$$

由一致有界原理，$\{A_y\}$ 一致有界，所以

$$B(x,y)=\|y\|\cdot \|B(x,\frac y{\|y\|})\|\leq \|A_{\frac y{\|y\|}}x\|\|y\|\leq C\|x\|\|y\|$$

Example

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# 一致有界原理 II

Theorem [一致有界原理 II] Banach 空间 $X$，赋范空间列 $\{Y_n\}$，有界线性算子族 $\mathscr F_n\subseteq \mathcal B(X,Y_n)$. 如果

$$\sup_{T\in \mathscr F_n}\|T\|=\infty$$

那么 $R$ 是剩余集，其中

$$R:=\{x\in X:\sup_{T\in \mathscr F_n}\|T x\|_{Y_n}=\infty,\forall n\in \mathbb N\}$$

Remark 线性算子族不一致有界 $\xrightarrow{X\text{ Banach}}$ 在剩余集上不点态有界.

证明：

(1) $R^c$ 可以写为截断集的并 $R^c=\bigcup_{m,n}X_{m,n}$，其中

$$X_{m,n}:=\{x\in X:\sup_{T\in \mathscr F_n}\|T x\|_{Y_n}\leq m\}=\bigcap _{T\in\mathscr F_n}\{x:\|Tx\|\leq m\}$$

是闭集.

(2) 如果 $B(x_0,\varepsilon)\subseteq X_{m,n}$，同一致有界原理的证明，考虑线性，推出 $\sup_{T\in \mathscr F_n}\|T\|<\infty$，矛盾.

(3) $X_{m,n}$ 是无内点的闭集，所以是无处稠密集，所以 $R^c$ 是第一纲集，故 $R$ 是剩余集.

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Example 区间 $\mathcal P=[-\pi,\pi]$，其上连续函数空间 $C(\mathcal P)$. 存在 $f\in C(\mathcal P)$，使得其 Fourier 级数

$$\mathscr F(f)=\sum_{n=-\infty}^\infty \hat f(n)e^{inx},\quad \hat f(n)=\dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-int}dt$$

在 $\mathcal P$ 的稠密子集上不收敛.

证明：

(1) 定义 $C(\mathcal P)$ 上的范数为 $L^1(\mathcal P)$. 定义部分和算子

$$S_N:C(\mathcal P)\to C(\mathcal P),\quad S_N(f,x):=\sum_{n=-N}^N \hat f(n)e^{inx}=\dfrac 1{2\pi} f*D_N(x)$$

其中 $D_N$ 是 Dirichlet 核

$$D_N(x)=\sum_{n=-N}^N e^{inx}=\left\{\begin{array}{cc}\dfrac {\sin (N+\frac 12)x}{\sin \frac x2},&x\neq 2k\pi\\ \\2N+1,&x=2k\pi\end{array}\right.$$

(2) 对任意 $x\in \mathcal P$，定义线性泛函

$$\varphi_{N,x}(f):=S_N(f,x)=\dfrac 1{2\pi}f*D_N(x)$$

则 $\varphi_{N,x}\in (C(\mathcal P))^*$，且 $2\pi \cdot \|\varphi_{N,x}\|=\|D_N\|_{L^1}$，另见《泛函分析》第八次作业 8.1.，推出 $\{\varphi_{N,x}\}_{N\in\mathbb N}$ 不一致有界.

(3) 选取 $\{x_m\}_{m\geq 1}$ 是 $\mathcal P$ 的稠密子集，取不一致有界的线性泛函列 $\{\varphi_{N,x_m}\}\in (C(\mathcal P))^*$，由一致有界原理 II，在 $\{x_m\}$ 上 Fourier 级数不收敛的集合是 $C(\mathcal P)$ 的剩余集，故存在 $f\in C(\mathcal P)$，使得

$$\sup_{m,N}|S_N(f,x_m)|=\infty$$

Remark Carleson 定理指出，$f\in L^2(\mathcal P)$ 时，$S_N(f)\xrightarrow{a.e.} f$，因此

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