参考：《泛函分析讲义》何凌冰，Functional Analysis by Salamon.

# 度量空间

Definition. 称 $(X,\tau)$ 是拓扑空间，如果 $\tau$ 是 $X$ 的子集族，且满足
$\varnothing\in\tau$ 且 $X\in\tau$ ；
任意多个 $\tau$ 中的集合的并仍在 $\tau$ 中；
有限多个 $\tau$ 中的集合的交仍在 $\tau$ 中。

Definition. 称 $(X,d)$ 是度量空间，如果 $d:X\times X\to\mathbb R$ 满足
$d(x,y)\geq 0$ 且 $d(x,y)=0\iff x=y$ ；
$d(x,y)=d(y,x)$ ；
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ 。
此时， $d$ 称为 $X$ 上的度量。

Definition. 称 $\{x_n\}_{n\in\mathbb N}$ 是 $(X,d)$ 上的 Cauchy 列，如果对任意 $\varepsilon>0$ ，都存在 $N\in\mathbb N$ ，使得当 $m,n>N$ 时，有 $d(x_n,x_m)<\varepsilon$ ；是收敛列，如果存在 $x\in X$ ，使得对任意 $\varepsilon>0$ ，都存在 $N\in\mathbb N$ ，当 $n>N$ 时，有 $d(x_n,x)<\varepsilon$ 。

Definition. 称 $(X,d)$ 是完备的，如果 $X$ 中的 Cauchy 列都是收敛列。

Definition. 称 $E$ 是 $(X,d)$ 的稠密子集，如果对任意 $x\in X$ 和 $\varepsilon>0$ ，都存在 $y\in E$ 使得 $d(x,y)<\varepsilon$ 。

Remark. 度量空间的度量诱导拓扑。

# 度量空间的完备化

Definition. 若 $(X,d)$ 度量空间，称 $(\hat X,\hat d)$ 是 $(X,d)$ 的完备化，如果
$(\hat X,\hat d)$ 是完备度量空间，并且 $X\subseteq \hat X,\ \hat d|_{X\times X}=d$ ；
若 $(X^*,d^*)$ 是另一个满足上述条件的空间，则 $\hat X\subseteq X^*$ 且 $\hat d=d^*|_{\hat X\times\hat X}$ 。

Remark. 度量空间的完备化是等距同构意义下包含原空间的最小完备空间。

Theorem. 度量空间必有完备化空间，在等距同构下是唯一的。

Sketch Proof

Sketch Proof. 将原空间嵌入 Cauchy 列等价类空间。考虑 $X$ 中的 Cauchy 列的等价类集合 $\hat X$ ，满足等价关系

$\{x_n\}\sim \{y_n\}\iff \lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)=0$

不难验证这是等价关系。记为 $[\{x_n\}]$ 表示 Cauchy 列 $\{x_n\}$ 的等价类。定义 Cauchy 等价类构成的度量空间 $(\hat X,\hat d)$ 的度量

$\hat d([\{x_n\}], [\{y_n\}]):=\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)$

验证 $\hat d$ 是度量，并且 $(\hat X,\hat d)$ 是完备的。以下映射将 $X$ 等距嵌入 $\hat X$ 中

$\Phi:X\to \hat X,\quad x\mapsto [\{x,x,x,\ldots\}]$

需要验证单射和等距，即

$\hat d(\Phi(x),\Phi(y))=d(x,y)$

最后验证 $(\hat X,\hat d)$ 是包含（等距嵌入意义下）原空间的最小完备空间。这需要构造 $(\hat X,\hat d)$ 到 $(\overline X,d^*_{\overline X})$ 的等距嵌入 $\Psi$ ，后者是 $(X,d)$ 在包含其的完备空间 $(X^*,d^*)$ 中的闭包。这个嵌入的定义仍然要回到 $X$ 中的 Cauchy 列。

# 度量空间的紧性原理

Definition. $(X,\tau)$ 中称 $K$ 是紧集，如果其任意开覆盖都有有限子覆盖。

Definition. 称度量空间 $(X,d)$ 是列紧集，如果其任意序列都有收敛子列。若 $K\subseteq X$ ，则称 $K$ 是列紧子集，如果 $(K,d|_{K\times K})$ 是列紧度量空间。

Definition. 如果 $K\subseteq (X,d)$ ，称
$K$ 是预列紧集，如果 $(\overline K,d|_{\overline K\times \overline K})$ 是列紧度量空间，其中 $\overline K$ 是 $K$ 的闭包；
$K$ 是预紧集，如果 $\overline K$ 是紧集。

Definition. 如果 $K\subseteq (X,d)$ ，称 $K$ 是完全有界集，如果 $K=\varnothing$ 或者对任意 $\varepsilon>0$ ，都存在有限个开球 $B(x_i,\varepsilon),i=1,2,\ldots,n$ ，使得
$K\subseteq \bigcup_{i=1}^n B(x_i,\varepsilon):=\{y\in X:d(y,x_i)<\varepsilon,\ i=1,2,\ldots,n\}$

# 完全有界集的刻画

Lemma. $(X,d)$ 是度量空间， $K\subseteq X$ ，则以下命题等价：
$K$ 是完全有界集；
$K$ 中任意点列都存在 Cauchy 子列。

# 紧集的刻画

Theorem. $(X,d)$ 是度量空间， $K\subseteq X$ ，则以下命题等价：
$K$ 是紧集；
$K$ 是列紧集；
$(K,d|_{K\times K})$ 是完备，是完全有界集。

Sketch Proof

Tips. 从 2 到 1，反证法，考虑那些不能被有限覆盖的球 $B(y_n,1/n)$ 的球心，研究其收敛点。

Counterexample. 弱拓扑和弱 $*$ 拓扑下，紧和列紧不是等价的。

Corollary. 紧度量空间是可分的。

Counterexample. 非紧度量空间不一定可分。考虑离散度量空间：

$d(x,y)=\begin{cases}0,&x=y\\1,&x\neq y\end{cases}$

所以稠密子集只能是全集。

Corollary. $(X,d)$ 度量空间， $K\subseteq X$ ，则以下命题等价：

$K$ 是预紧集；
$K$ 是预列紧集；
$K$ 中的序列存在 $X$ 中的收敛列；
$K$ 是完全有界集，且 $K$ 中的 Cauchy 列是 $X$ 中的收敛列。

# Azelà–Ascoli 定理

Remark. Azelà–Ascoli 定理刻画了连续映射空间中预紧集的性质。

Definition. 定义连续映射空间：
$C(X,Y)=\{f:X\to Y:f\text{ continuous}\}$
其中 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 是度量空间，对于任意 $f,g\in C(X,Y)$ ，定义度量
$d_\infty (f,g)=\sup_{x\in X}d_Y(f(x),g(x))$

Proposition. $(C(X,Y),d)$ 是完备的，当且仅当 $(Y,d_Y)$ 是完备的。

Definition. 称 $\mathscr F\subseteq C(X,Y)$ 是等度连续集，如果对任意 $\varepsilon>0$ ，都存在 $\delta>0$ ，使得对任意 $f\in\mathscr F$ 和 $x,y\in X$ ，当 $d_X(x,y)<\delta$ 时，有
$d_Y(f(x),f(y))<\varepsilon$

Example. Lipschitz 连续函数集是等度连续集。

Definition. 称 $\mathscr F\subseteq C(X,Y)$ 是点态预紧集，如果对任意 $x\in X$ ， $\mathscr F(x):=\{f(x):f\in\mathscr F\}\subseteq Y$ 是预紧集。

Theorem. Azelà–Ascoli 定理：设 $(X,d_X)$ 是紧度量空间， $(Y,d_Y)$ 是度量空间， $\mathscr F\subseteq C(X,Y)$ ，则以下命题等价：
$\mathscr F$ 是预紧集；
$\mathscr F$ 等度连续，且点态预紧。

Sketch Proof

Sketch Proof. 从 1 到 2。对点态预紧，固定 $x\in X$ ，考虑映射 $(T_x:f\mapsto f(x))\in C(C(X,Y),Y)$ 。而连续映射将预列紧集映为预列紧集。从 2 到 1。借助等度连续，证明 $\mathscr F$ 中任意序列都有 Cauchy 子列；借助点态预紧，自然得到点态收敛函数 $f_n(x)\mapsto f(x)$ ，证明其是连续函数即可。

Corollary. $(X,d_X)$ 是紧度量空间， $\mathscr F\subseteq C(X,\mathbb R^n)$ ，则

$\mathscr F$ 是预紧集，当且仅当 $\mathscr F$ 等度连续且有界；

$\sup_{f\in\mathscr F}\sup_{x\in X}|f(x)|<\infty$

$\mathscr F$ 是紧集，当且仅当 $\mathscr F$ 等度连续且有界闭。

Remark. Azelà–Ascoli 定理中条件 $X$ 紧、 $\mathscr F$ 点态预紧、 $\mathscr F$ 等度连续，都是不可缺少的。

Counterexample. $X$ 非紧，其他满足。Azelà–Ascoli 定理不成立。考虑 $X=\mathbb R$ 和平移函数族

$f_n(x)=\begin{cases}0,&x\overline \in [n,n+1]\\x-n,&x\in[n,n+1/2]\\n+1-x,&x\in[n+1/2,n+1]\end{cases}$

Counterexample. $\mathscr F$ 非点态预紧，其他满足。Azelà–Ascoli 定理不成立。考虑 $X=[0,1]$ 和函数族 $f_n(x)=n$ 。

Counterexample. $\mathscr F$ 非等度连续，其他满足。Azelà–Ascoli 定理不成立。考虑 $X=[0,1]$ 和函数族 $f_n(x)=x^n$ 。

# Banach 空间

Notation. $X=(X,+,\cdot ,\mathbb F)$ ，其中 $\mathbb F$ 是 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 。我们都基于这两个域讨论。

Definition. 称 $(X,\|\cdot\|)$ 是赋范空间，如果 $\|\cdot\|:X\to\mathbb R$ 满足
$\|x\|\geq 0$ 且 $\|x\|=0\iff x=0$ ；
$\|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|$ ；
$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ 。

Definition. 由赋范空间 $(X,\|\cdot\|)$ 诱导的度量为
$d(x,y)=\|x-y\|$
称 $(X,\|\cdot\|)$ 是 Banach 空间，如果 $(X,d)$ 是完备度量空间。

Counterexample. 存在度量空间不能由范数诱导。考虑 $(\mathbb R,d)$ ，其中 $d(x,y)=|e^x-e^y|$ ，但这不是任一个范数诱导的度量。因为范数要求齐次性。

$\|x-y\|=d(x,y)=|e^{x}-e^y|\neq \dfrac 1k\cdot |e^{kx}-e^{ky}|=\dfrac 1k\cdot \|kx-ky\|$

Counterexample. 存在赋范空间不是 Banach 空间。考虑紧支撑数列空间 $c_{00}$ ，即

$c_{00}=\{x=(x_n)_{n\in\mathbb N}:x_n\ne 0\text{ for finite number }n\}$

在 $(c_{00},\|\cdot\|_\infty)$ 下不是 Banach 空间，其完备化是 $(c_0,\|\cdot\|_\infty)$ ，是收敛于 $0$ 的数列空间。

Example. 测度空间的例子。完备测度空间 $(X,\mathcal M,\mu)$ ，定义 $\mathbb L^p$ 空间

$\mathbb L^p(X,\mu)=\{f:X\to \mathbb F:f\text{ is }\mu\text{-measurable},\ \|f\|_{L^p}<\infty\}$

其中 $p$ - 范数定义为

$\begin{cases}\displaystyle\|f\|_{L^p}=\left(\int_X|f|^p d\mu\right)^{1/p},&1\leq p<\infty\\ \\ \|f\|_{L^\infty}=\text{ess sup}_{x\in X}|f(x)|,&p=\infty\end{cases}$

则对于 $p\in [1,\infty]$ ， $(L^p(X,\mu):=\mathbb L^p(X,\mu)/\sim,\|\cdot\|_{L^p})$ 是 Banach 空间。其中 $\sim$ 是几乎处处相等关系。

$f\sim g\iff \mu(\{x\in X:f(x)\neq g(x)\})=0$

Example. 复测度空间的例子。 $(X,\mathcal M)$ 是可测空间。定义复测度全体：

$C_m(X)=\{\mu:(X,\mathcal M,\mu)\text{ is complex measure}\}$

则 $(C_m(X),\|\cdot \|)$ 是 Banach 空间，其中范数定义为复测度的总变差范数：

$\|\mu\|=|\mu|(X)=\sup\sum_{i}|\mu(E_i)|,\quad X=\bigsqcup E_i,\ E_i\in\mathcal M$

Remark. 以下小节将给出诱导 Banach 空间的常用方法。

# 有限维赋范空间

Remark. 有限维赋范空间都是 Banach 空间，且范数等价。

Theorem. 若 $\mathrm{dim}X=n<\infty$ ， $X=(X,\|\cdot\|)$ ，则
$(X,\|\cdot\|)$ 是 Banach 空间；
若 $(X,\|\cdot\|_1)$ 和 $(X,\|\cdot\|_2)$ 是赋范空间，则 $\|\cdot\|_1\sim \|\cdot\|_2$ ，即等价范数，存在常数 $c,C>0$ ，使得
$c\|x\|_1\leq \|x\|_2\leq C\|x\|_1,\quad \forall x\in X$

Sketch Proof

Sketch Proof. 先证明范数等价，于是可以取任意范数证明完备性，完备性需要用到域 $\mathbb F$ 的完备性。注意到度量空间意义下 $\mathbb C$ 等距同构于 $\mathbb R^2$ 。

证明范数等价。只需要证明所有范数都与 $2$ - 范数等价。首先 ++ $2$ - 范数是范数 ++：

$\|x\|_2=(\sum_{i=1}^n|a_i|^2)^{1/2},\quad x=\sum_{i=1}^n a_ie_i$

取基向量后，对任意范数 $\|\cdot\|$ ，有

$\|x\|=\|a_ie_i\|\leq \sum_{i=1}^n|a_i|\|e_i\|\leq \max_{1\leq i\leq n}\|e_i\|\sum_{i=1}^n|a_i|\leq \sqrt{n}\max_{1\leq i\leq n}\|e_i\|\|x\|_2$

限制在紧球面上证明另一侧。因为 $(X,\|\cdot\|_2)$ 等距同构于 $(\mathbb F^n,\|\cdot\|_2)$ ，后者的单位球面是紧的，记为 $S$ 。所以 $S'=\{x\in X:\|x\|_2=1\}$ 也是紧的。范数是连续的，所以 $F(x)=\|x\|$ 在 $S'$ 上取得最小值，记为 $m>0$ 。所以对任意 $x\in X\setminus\{0\}$ ，有

$\|x\|=\|x\|_2\left\|\frac{x}{\|x\|_2}\right\|\geq m\|x\|_2$

证明完备性。在 $2$ - 范数意义下考虑，而这等距同构于 $(\mathbb F^n,\|\cdot\|_2)$ ，而后者是完备的。

Corollary. 有限维赋范空间等距同构于某个 $\mathbb F^n$ ：

有限维赋范空间的紧集等价于有界闭集；
线性算子的范数有界：对线性映射 $T:(X,\|\cdot\|_X)\to (Y,\|\cdot\|_Y)$ ，如果 $\mathrm{dim}X<\infty$ ，则

$\|T\|:=\sup_{\|x\|_X=1}\|Tx\|_Y<\infty$

Corollary. 有限维赋范空间的子空间是闭的。

Counterexample. 无穷维赋范空间的子空间不一定是闭的。考虑 $C[0,1]$ ，其子空间 $P[0,1]$ ，即所有多项式构成的空间，在 $\|\cdot\|_\infty$ 下不是闭的。因为任意连续函数都可以被多项式一致逼近。

# 无穷维赋范空间

# Riesz 引理

Remark. Riesz 引理推广了有限维 Banach 空间中的垂直、法向量概念。

Lemma. $(X,\|\cdot \|)$ 是赋范空间， $\mathrm{dim}X=\infty$ ， $Y\subsetneq X$ 是闭真子空间，则对任意 $\varepsilon\in (0,1)$ ，都存在 $x_\varepsilon\in X$ ，使得
$\|x_\varepsilon\|=1,\quad \inf_{y\in Y}\|x_\varepsilon -y\|\geq 1-\varepsilon,\quad \forall y\in Y$

Sketch Proof

Sketch Proof. 任取 $x_0\in X\setminus Y$ ，则 $d=\inf_{y\in Y}\|x_0-y\|>0$ ，由下确界定义，存在 $y_0\in Y$ 使得 $d\leq \|x_0-y_0\|\leq d/(1-\delta)$ ，记

$x:=\dfrac {x_0-y_0}{\|x_0-y_0\|},\quad \|x-y\|=\dfrac {\|x_0-y_0-\|x_0-y_0\|y\|}{\|x_0-y_0\|}\geq \dfrac d{d/(1-\delta)}=1-\delta$

# 无穷维赋范空间球（面）非紧

Remark. 有限维 Banach 空间中单位球（面）是紧集，而无穷维 Banach 空间中单位球（面）不是紧集。

Theorem. $(X,\|\cdot\|)$ 是赋范空间， $\mathbb B=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ 是单位闭球， $\mathbb S=\{x\in X:\|x\|=1\}$ 是单位球面，则以下命题等价：
$\mathrm{dim}X<\infty$ ；
$\mathbb B$ 是紧集；
$\mathbb S$ 是紧集。

Sketch Proof

Sketch Proof. 只需要证明从 3 到 1。这等价于逆否命题：无穷维赋范空间中单位球面不是紧集。归纳地构造开覆盖：对于球面 $\mathbb S$ 上选定的 $n$ 个点，满足 $\|x_i-x_j\|\geq 3/4$ ，则可以在球面上找 $x_{n+1}$ 使得 $\|x_{n+1}-x_i\|\geq 3/4$ ，这是 Risez 引理保证的。这样可以构造开覆盖 $B(x_i,1/4)$ 。

# 有界线性算子空间

# 线性算子的有界判据

Definition. $(X,\|\cdot\|_X),(Y,\|\cdot \|_Y)$ 是赋范空间， $T:X\to Y$ 是线性映射，即
$\forall \alpha\in\mathbb F,x_1,x_2\in X,\quad T(\alpha x_1+x_2)=\alpha Tx_1+Tx_2$
称 $T$ 是有界的，如果存在 $c\geq 0$ ，使得对任意 $x\in X$ ，都有
$\|Ax\|_Y\leq c\|x\|_X$
记 $\|A\|$ 为有界线性算子 $A$ 的算子范数，定义为
$\|A\|=\sup_{\|x\|_X=1}\|Ax\|_Y=\sup_{x\neq 0}\dfrac{\|Ax\|_Y}{\|x\|_X}$

Theorem. 设 $(X,\|\cdot\|_X),(Y,\|\cdot \|_Y)$ 是赋范空间， $T:X\to Y$ 是线性映射，则以下命题等价：
$T$ 是有界线性算子；
$T$ 在 $0$ 处连续；
$T$ 连续。

Sketch Proof

Sketch Proof. 通过一点连续推出任意点连续，这用到了线性。

# 有界线性算子诱导 Banach 空间

Proposition. $\mathcal L(X,Y)$ 定义为从赋范空间 $X$ 到赋范空间 $Y$ 的所有有界线性算子构成的集合，则 $(\mathcal L(X,Y),\|\cdot\|)$ 是赋范空间，称为有界线性算子空间。

Theorem. 如果 $(Y,\|\cdot\|_Y)$ 是 Banach 空间，那么 $(\mathcal L(X,Y),\|\cdot\|)$ 也是 Banach 空间。

Sketch Proof

Sketch Proof. 在过程中，为了保证 Cauchy 列中可以取出收敛求和，考虑 $\|T_{n+1}-T_n\|<2^{-n}$ 的子列。构造

$Tx=\lim_{k\to\infty}T_{n_k}x=\sum^\infty_{k=1}(T_{n_k}-T_{n_{k-1}})x$

Remark. 像空间的完备性传递到有界线性算子空间。

Corollary. 赋范空间的对偶空间是 Banach 空间。

# 商空间与乘积空间

# 商空间

Definition. 若 $Y$ 是 $(X,\|\cdot\|)$ 上的闭子空间，定义等价关系：
$\forall x,\hat x\in X,\quad x\sim \hat x\iff x-\hat x\in Y$
由此有等价类：
$[x]:=\{y\in X:x\sim y\}=x+Y=\{x+y:y\in Y\}$
称商空间为
$X/Y:=\{x+Y:x\in X\}=\{[x]:x\in X\}$
在商空间上定义范数为 $x$ 到 $Y$ 的距离：
$\|[x]\|_{X/Y}:=\inf_{y\in Y}\|x+y\|_X,\quad \forall x\in X$

Proposition. $(X/Y,\|\cdot\|_{X/Y})$ 是赋范空间。

# 商空间诱导 Banach 空间

Lemma. $X=(X,\|\cdot\|_X)$ 是赋范空间， $Y\subseteq X$ 是闭子空间，假设 $\{x_n\}_{n\in\mathbb N}\subseteq X$ 且 $\{[x_n]\}_{n\in\mathbb N}\subseteq X/Y$ 是 Cauchy 列，则存在 $\{y_n\}_{n\in\mathbb N}\subseteq Y$ ，使得 $\{x_n+y_n\}_{n\in\mathbb N}\subseteq X$ 是 Cauchy 列。

Remark. 将商空间的 Cauchy 列提升到原空间的 Cauchy 列。

Theorem. $X=(X,\|\cdot\|_X)$ 是赋范空间， $Y\subseteq X$ 是闭子空间，则
投影算子是满射、有界线性算子：
$\pi:X\to X/Y,\quad x\mapsto [x]$
泛性质：如果 $T:X\to Z$ 是赋范空间的有界线性算子，且 $Y\subseteq \mathrm{Ker}T$ ，则存在唯一的有界线性算子 $\hat T:X/Y\to Z$ ，使得 $\hat T\circ \pi=T$ ：
若 $X$ 是 Banach 空间，则 $X/Y$ 也是 Banach 空间。

Sketch Proof

Sketch Proof.

显然是满射线性算子。验证有界性。

$\|\pi(x)\|_{X/Y}=\|[x]\|_{X/Y}=\inf_{y\in Y}\|x+y\|_X\leq \|x+0\|_X=\|x\|_X$

定义 $\hat T([x]):=Tx$ ，这是良定义的。所以 $\hat T\circ \pi=T$ 。然后验证 $\hat T\in \mathcal L(X/Y,Z)$ 。这是因为

$\|\hat T([x])\|_Z=\|T(x+y)\|_Z\leq \|T\|\|x+y\|_X$

取下确界即可：

$\inf_{y\in Y}\|x+y\|_X=\|[x]\|_{X/Y}$

唯一性。若存在另一个 $\tilde T$ ，则对任意 $[x]\in X/Y$ ，都有

$\tilde T([x])=\tilde T(\pi(x))=T(x)=\hat T([x])$

则 $\tilde T=\hat T$ 。
3. 设 $\{[x_n]\}_{n\in\mathbb N}\subseteq X/Y$ 是 Cauchy 列，由引理，存在 $\{y_n\}_{n\in\mathbb N}\subseteq Y$ ，使得 $\{x_n+y_n\}_{n\in\mathbb N}\subseteq X$ 是 Cauchy 列。因为 $X$ 是 Banach 空间，所以存在 $x\in X$ ，使得

$\lim_{n\to\infty}\|x_n+y_n -x\|_X=0$

事实上

$\|[x_n]-[x]\|_{X/Y}=\inf_{y\in Y}\|x_n+y -x\|_X\leq \|x_n+y_n -x\|_X$

Remark. 原空间的完备性传递到商空间。

# 乘积空间

Definition. $(X,\|\cdot\|_X),(Y,\|\cdot\|_Y)$ 是赋范空间，定义乘积空间为
$X\times Y=\{(x,y):x\in X,y\in Y\}$
在乘积空间上定义范数为
$\|(x,y)\|_{X\times Y}=(\|x\|_X^2+\|y\|_Y^2)^{\frac 12},\quad \forall (x,y)\in X\times Y$

Proposition. $(X\times Y,\|\cdot\|_{X\times Y})$ 是赋范空间。

# 乘积空间保持 Banach 空间

Proposition. $(X\times Y,\|\cdot\|_{X\times Y})$ 是 Banach 空间，当且仅当 $(X,\|\cdot\|_X)$ 和 $(Y,\|\cdot\|_Y)$ 都是 Banach 空间。

Remark. 注意这里是等价条件。

# 对偶空间 *

# 对偶空间是坐标轴

Definition. $X=(X,\|\cdot\|)$ 是赋范空间，称其对偶空间为
$X^*=\mathcal L(X,\mathbb F)$

Remark. 证明对偶空间上的元素相等，只需要证明其在 $X$ 上作用处处相等。这也是所有映射空间的通用做法。

当 $\mathrm {dim}X=n<\infty$ 时，不妨设 $X=\mathrm{span}\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ ，则对任意 $\xi\in X$ ，都有唯一表示

$\xi=\sum_{i=1}^n a_ie_i$

定义对偶基 $\{e_1^*,e_2^*,\ldots,e_n^*\}\subseteq X^*$ ，使得

$e_i^ *(e_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}$

则对任意 $f\in X^*$ ，都有唯一表示。断言

$X^*=\mathcal L(X,\mathbb F)=\mathrm{span}\{e_1^*,e_2^*,\ldots,e_n^*\}$

Remark. 这里 $e_i^*$ 表示将 $X$ 中的元素投影至坐标轴 $e_i$ 上。因此 $(e_1^*,\ldots ,e_n^*)$ 等同于建立 $X$ 中的 “坐标系”，从而 $X^*$ 中的任一元素代表的是 $X$ 上的一个 “坐标轴”。

Sketch Proof

首先证明， $e_i^*\in \mathcal L(X,\mathbb F)$ ，因此用到有限维赋范空间范数等价：

$|e_i^*(\xi)|=|a_i|\leq \|\xi\|_2\sim \|\xi\|,\quad \forall \xi=\sum_{i=1}^n a_ie_i\in X$

其次证明，任一线性泛函 $f\in X^*$ 都可以表示为 $e_i^*$ 的线性组合。考虑作用即可:

$f(\xi)=f\left(\sum_{i=1}^n a_ie_i\right)=\sum_{i=1}^n a_if(e_i)=\sum_{i=1}^n f(e_i)e_i^*(\xi)$

最后证明唯一性。若存在另一组系数 $\{b_i\}_{i=1}^n$ ，使得

$f(\xi)=\sum_{i=1}^n b_ie_i^*(\xi)$

则对任意 $1\leq j\leq n$ ，有

$f(e_j)=\sum_{i=1}^n b_ie_i^*(e_j)=b_j$

因此 $a_j=b_j$ ，系数唯一。

当 $\mathrm{dim}X=\infty$ 时，类比有限维情形， $X^*$ 中的元素可以看作是 $X$ 上的 “坐标轴”。因此，研究 $X^*$ 本身对于 $X$ 的研究是至关重要的，尤其是 $X$ 的 “几何” 结构。

事实上，先考虑有限维空间的对偶空间的对偶空间 $X^{**}$ ，其中 $e_i^{**}(e_j^*)=\delta_{ij}$ 。则有 $X$ 与 $X^{**}$ 的自然同构：

$(e_1,\ldots,e_n)\xrightarrow{\text{determine}}(e_1^*,\ldots,e_n^*)\xrightarrow{\text{determine}}(e_1^{**},\ldots,e_n^{**})$

# 对偶空间的例子 *

Example. 设 $(X,\mathcal M,\mu)$ 是完备测度空间，则

$(L^p(X,\mu))^*=L^q(X,\mu),\quad \dfrac 1p+\dfrac 1q=1,\quad 1\leq p<\infty$

其中对任意 $g\in L^q(X,\mu)$ ，定义线性泛函 $F_g\in (L^p(X,\mu))^*$ 为

$F_g(f)=\int_X f(x)g(x)d\mu,\quad \forall f\in L^p(X,\mu)$

Remark. “等号” 是指等距同构意义下。即存在等距同构映射 $\Phi:(L^p(X,\mu))^*\to L^q(X,\mu)$ ，使得

$\|T\|_{(L^p)^*}=\|\Phi(T)\|_{L^q},\quad \forall T\in (L^p(X,\mu))^*$

Example. 设 $(X,\mathcal M,\mu)$ 是完备测度空间，且 $\mu$ 是 $\sigma$ - 有限测度，则

$(L^1(X,\mu))^*= L^\infty(X,\mu)$

# 可分空间 *

Definition. $X=(X,\tau)$ 是拓扑空间，称 $S\subseteq X$ 是 $X$ 的稠密子集，如果对任意开集 $U\in \tau$ ，都有 $U\cap S\neq \varnothing$ 。称 $X$ 是可分空间，如果存在可数稠密子集。

Remark. 对赋范空间 $X=(X,\|\cdot\|)$ ，其可分性等价于存在可数稠密子集 $S\subseteq X$ ，使得 $\overline{S}=X$ 。

# Hilbert 空间

# 内积空间

Definition. 设 $H=(H,+,\cdot ,\mathbb F)$ 是线性空间，如果存在映射 $(\cdot,\cdot):H\times H\to\mathbb F$ ，满足
$(\varphi,\varphi)\geq 0$ 且 $(\varphi,\varphi)=0\iff \varphi=0$ ；
$(\varphi,\psi)=\overline{(\psi,\varphi)}$ ；
$(\alpha\varphi+\xi,\psi)=\alpha(\varphi,\psi)+(\xi,\psi)$ ；
则称 $(\cdot,\cdot)$ 是 $H$ 上的内积， $(H,(\cdot,\cdot))$ 称为内积空间。

Remark. 对于 $\mathbb F=\mathbb C$ ，内积是第二分量共轭线性的；对于 $\mathbb F=\mathbb R$ ，内积是双线性的。

$(\xi,\alpha\varphi+\psi)=\overline{(\alpha\varphi+\psi,\xi)}=\overline{\alpha}(\xi,\varphi)+(\xi,\psi)$

Lemma. Cauchy–Schwarz 不等式 设 $(H,(\cdot,\cdot))$ 是内积空间，则对任意 $\varphi,\psi\in H$ ，都有
$|(\varphi,\psi)|\leq \|\varphi\|\|\psi\|$
其中 $\|\varphi\|=\sqrt{(\varphi,\varphi)}$ ，等号成立当且仅当 $\varphi$ 与 $\psi$ 线性相关。

证明

Proof. 仿照 $\mathbb R^n$ 空间的证明，考虑投影。

$\varphi=\varphi-(\varphi,\psi)\dfrac \psi{\|\psi\|^2}+(\varphi,\psi)\dfrac \psi{\|\psi\|^2}$

取对自己的内积即可。

Definition. 由内积空间 $(H,(\cdot,\cdot))$ 诱导的范数为
$\|\varphi\|=\sqrt{(\varphi,\varphi)}$
称 $(H,(\cdot,\cdot))$ 是 Hilbert 空间，如果 $(H,\|\cdot\|)$ 是 Banach 空间。

Example. Hilbert 空间的例子。

$\mathbb R^n$ 配备内积 $\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n x_iy_i$ ；
$(X,\mathcal M,\mu)$ 是完备测度空间，则 $L^2(X,\mu)$ 是 Hilbert 空间，内积为

$(f,g)=\int_X f(x)\overline{g(x)}d\mu,\quad \forall f,g\in L^2(X,\mu)$

# 内积空间的几何性质

# 正交与正交补

Definition. 由 Cauchy-Schwarz 不等式可知，记
$\cos\theta=\dfrac{(\varphi,\psi)}{\|\varphi\|\|\psi\|}$
则称 $\theta$ 是非零元素 $\varphi$ 与 $\psi$ 之间的夹角；称 $\varphi$ 与 $\psi$ 正交，如果 $(\varphi,\psi)=0$ ，记作 $\varphi\perp\psi$ 。

Definition. 若 $A,B$ 是内积空间 $H=(H,(\cdot,\cdot))$ 的子集，称 $A,B$ 正交，如果
$\langle \varphi,\psi\rangle=0,\quad \forall \varphi\in A,\ \psi\in B$
记为 $A\perp B$ 。称子空间 $M\subseteq H$ 的正交补为
$M^\perp=\{\varphi\in H:\langle \varphi,\psi\rangle =0,\forall \psi\in M\}$

Proposition. 内积空间的子集的正交补 $M^\perp$ 是 $H$ 的线性子空间。

# 内积与范数的关系

Theorem. 内积与范数之间的关系由极化恒等式给出：
对于 $\mathbb F=\mathbb R$ ，有
$(\varphi,\psi)=\dfrac 14(\|\varphi+\psi\|^2-\|\varphi-\psi\|^2)$
对于 $\mathbb F=\mathbb C$ ，有
$(\varphi,\psi)=\dfrac 14(\|\varphi+\psi\|^2-\|\varphi-\psi\|^2)+\dfrac 14i(\|\varphi+i\psi\|^2-\|\varphi-i\psi\|^2)$

Theorem. 范数诱导内积的充要条件：若 $X=(X,\|\cdot\|)$ 是赋范空间，则存在内积 $(\cdot,\cdot)$ 使得 $\|\cdot\|$ 由 $(\cdot,\cdot)$ 诱导的充分必要条件是 $\|\cdot\|$ 满足平行四边形法则：
$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2),\quad \forall x,y\in X$

证明

Proof. 必要性是显然的。充分性，采用极化恒等式定义内积，然后验证内积的性质。

则正定性和共轭对称性显然。验证第一分量线性，用到了平行四边形法则：

$\begin{array}{ll}(\varphi_1,\psi)+(\varphi_2,\psi)&=\dfrac 12\left(\left\|\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2} +\psi\right\|^2-\left\|\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}-\psi\right\|^2\right)\\ &+\dfrac 12i\left(\left\|\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}+i\psi\right\|^2-\left\|\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}-i\psi\right\|^2\right)\\&=2\left(\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2},\psi\right)\\&=(\varphi_1+\varphi_2,\psi)\end{array}$

最后一步，是因为取 $\varphi_2=0$ ，则得到

$(\varphi_1,\psi)= 2\left(\dfrac {\varphi_1}{2},\psi\right)$

再替换 $\varphi_1=\varphi_1+\varphi_2$ 即可。其次考虑 Cauchy 爬坡法，证明

$(\alpha\varphi,\psi)=\alpha(\varphi,\psi),\quad \forall \alpha\in\mathbb F$

由连续性，定义 $f(\alpha):=(\alpha\varphi,\psi),\alpha\in\mathbb R$ ，则只需考虑稠密集 $\mathbb Q$ 上的情况。由之前证明的加法结论，有

$nf\left(\dfrac mn\right)=m(\varphi,\psi)=mf(1)$

所以对有理数（不论正负）上述成立，从而对实数成立。对于复数，只需证明

$(i\varphi,\psi)=i(\varphi,\psi)$

这是由极化恒等式直接可得的。

# 应用：Lp 空间的内积结构和一致凸结构

Remark. $L^p$ 空间中，只有 $p=2$ 时才有内积结构。

Corollary. $L^p$ 空间， $p\neq 2$ 时不是 Hilbert 空间， $p=2$ 时是 Hilbert 空间。

Sketch Proof

Sketch Proof. 只需验证平行四边形法则。取 $\mathrm{supp}f\cap \mathrm{supp}g=\varnothing$ ，则

$\|f+g\|_p^p=\|f\|_p^p+\|g\|_p^p,\quad \|f-g\|_p^p=\|f\|_p^p+\|g\|_p^p$

要求满足平行四边形法则，则需要

$(\|f\|_p^p+\|g\|_p^p)^{2/p}+(\|f\|_p^p+\|g\|_p^p)^{2/p}=2(\|f\|_p^2+\|g\|_p^2)$

不妨令 $\|f\|_p=\|g\|_p=1$ ，则解出 $p=2$ 。而 $p=2$ 时，内积为（这是容易验证的）

$(f,g)=\int_X f(x)\overline{g(x)}d\mu(x)$

Remark. 当 $1<p<\infty$ 时，Hanner 不等式可以作为平行四边形法则的替代。

Proposition. Hanner 不等式：设 $1<p<\infty$ ，则对任意 $f,g\in L^p(X,\mu)$ ，当 $1<p\leq 2$ 时，有

$\begin{cases}(\|f\|_p+\|g\|_p)^p+|\|f\|_p-\|g\|_p|^p\leq \|f+g\|_p^p+\|f-g\|_p^p\\ \\ (\|f+g\|_p+\|f-g\|_p)^p+|\|f+g\|_p-\|f-g\|_p|^p\leq 2(\|f\|_p^p+\|g\|_p^p)\end{cases}$

当 $2\leq p<\infty$ ，不等号反向。特别地， $p=2$ 时取等号。

Definition. $X=(X,\|\cdot\|)$ 是赋范空间，称 $X$ 是一致凸空间，如果对任意 $\varepsilon>0$ ，都存在 $\delta(\varepsilon)>0$ ，使得对任意 $x,y\in X$ 满足
$\|x\|,\|y\|\leq 1,\ \|x-y\|\geq \varepsilon\implies \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|\leq 1-\delta(\varepsilon)$

Remark. 几何直观上，就是，单位球面上任意两点之间的弦的中点都在单位球内，且离球面的距离至少为 $\delta(\varepsilon)$ ，这个差可以被 $\varepsilon$ 控制。

Proposition. $L^p,1<p<\infty$ 空间是一致凸空间。

Counterexample. $L^1,L^\infty$ 空间不是一致凸空间。

$L^1$ 空间中，取 $f_1(x)=\chi_{[0,1]}(x),f_2(x)=\chi_{[1,2]}(x)$ ，则 $\|f_1-f_2\|_1=2$ ，但 $\|(f_1+f_2)/2\|_1=1$ ；
$L^\infty$ 空间中，取

$f_1(x)=\chi_{[0,1]}(x)-\chi_{[2,3]}(x),\quad f_2(x)=\chi_{[-\frac12,\frac12]}(x)+\chi_{[\frac 32,\frac 52]}(x)$

则 $\|f_1\|_\infty=\|f_2\|_\infty=1=\|(f_1-f_2)/2\|_\infty=\|(f_1+f_2)/2\|_\infty$ 。

# Hilbert 空间的对偶空间

Remark. Riesz 表示定理刻画了 Hilbert 空间的对偶空间结构，即自身与对偶空间等距同构。

Remark. 以下两个定理的应用决定了 Hilbert 空间的完备性是必要的。

Theorem. 凸投影定理：设 $(H,(\cdot,\cdot))$ 是 Hilbert 空间， $K$ 是 $H$ 的非空闭凸子集，则对任意 $x\overline \in K$ ，都存在唯一的 $z_0\in K$ ，使得
$\|x-z_0\|=\inf_{z\in K}\|x-z\|,\ \mathrm{Re}\langle z-z_0,x-z_0\rangle \leq 0,\quad \forall z\in K$
进一步，若 $K$ 是 $H$ 的闭子空间，则对任意 $x\in K$ ， $\langle x-z_0,z\rangle=0$ ，即 $x-z_0\in K^\perp$ ，即 $x-z_0\perp K$ 。

Sketch Proof

Sketch Proof.

证明第一个式子。假设 $D=\inf_{z\in K}\|x-z\|$ ，取 $\{z_n\}_{n\in\mathbb N}\subseteq K$ ，使得

$\lim_{n\to\infty}\|x-z_n\|=D$

由平行四边形法则，有

$\left\|\dfrac {(x-z_n)+(x-z_m)}{2}\right\|^2+\left\|\dfrac{(x-z_n)-(x-z_m)}{2}\right\|^2= \dfrac{\|x-z_n\|^2+\|x-z_m\|^2}{2}$

注意到第一项表示 $x-(z_n+z_m)/{2}$ 的模长，因此大于 $D^2$ ；第二项可以说明 $\{z_n\}_{n\in\mathbb N}$ 是 Cauchy 列；第三项趋近于 $D^2$ 。因此说明了 Cauchy 列。由闭集推出结论。
2. 证明第二个式子。根据极值点的必要条件，构造

$F(t):=\|(1-t)z_0+tz -x\|^2,\quad t\in [0,1]$

则 $F$ 在 $t=0$ 处取得最小值，因此 $F'(0)\geq 0$ ，计算导数即可。
3. 证明闭子空间的情形。取 $z,-z,iz,-iz$ 即可。

Remark. 第一个式子从距离上刻画了投影，第二个式子从角度上刻画了投影。

Theorem. Riesz 表示定理：设 $(H,(\cdot,\cdot))$ 是 Hilbert 空间，则对任意 $L\in H^*$ ，都存在唯一的 $y\in H$ ，使得
$L(x)=\langle x,y\rangle ,\ \forall x\in H;\quad \|L\|_{H^*}=\|y\|_H$
从而存在等距同构映射 $\Phi:H\to H^*$ ，使得
$\Phi(y)=L_y,\quad L_y(x)=\langle x,y\rangle ,\quad \forall x,y\in H$

Sketch Proof

Sketch Proof.
不妨假设 $L\neq 0$ ，记 $^\perp L=\{x\in H:L(x)=0\}$ ，则 $^\perp L$ 是 $H$ 的闭子空间，且 $^\perp L\neq H$ 。由凸投影定理，对于任意固定的点 $x\in H\setminus {^\perp L}$ ，存在唯一的 $z_0\in {^\perp L}$ ，使得

$\langle z,x-z_0\rangle=0,\quad \forall z\in {^\perp L}$

我们说明 $^\perp L$ 是余维 $1$ 子空间。因为对于任意 $z\in H$ ，都有

$z-\dfrac{L(z)}{L(x)}(x-z_0)\in {^\perp L}$

因此 $z\in {^\perp L}\oplus\mathrm{span}\{x-z_0\}$ 。故对于任意 $\xi \in H$ ，都有以上唯一表示。则

$\langle z-\dfrac {L(z)}{L(x)}(x-z_0),x-z_0\rangle=0$

推出

$L(z)=\dfrac{\langle z,x-z_0\rangle}{\|x-z_0\|^2}L(x)=\langle z,\dfrac{\overline{L(x)}}{\|x-z_0\|^2}(x-z_0)\rangle$

Remark. 证明过程表明 Hilbert 空间的线性泛函的核是 Hilbert 空间的余维 $1$ 子空间，并且

$H= \mathrm{Ker}L\oplus \mathrm{span}\{x-z_0\},\quad x-z_0\perp \mathrm{Ker}L$

Corollary. $H$ 是 Hilbert 空间，则 $H^*$ 也是 Hilbert 空间。并且

$\langle L_y,L_z\rangle_{H^*}=\langle y,z\rangle _H,\quad \forall y,z\in H$

Corollary. Hilbert 空间是自反空间。

# Hilbert 空间的几何性质

# 正交集合与正交补

Theorem. 设 $(H,(\cdot,\cdot))$ 是 Hilbert 空间， $A,B$ 是 $H$ 的子集，则
$A^\perp$ 是 $H$ 的闭子空间；
若 $A\subseteq B$ ，则 $B^\perp\subseteq A^\perp$ ；
$(\mathrm{span}(A))^\perp=A^\perp$ ；
$A\subseteq A^{\perp\perp}$ ；
若 $A$ 是线性子空间，则 $\overline A=A^{\perp\perp}$ 。
若 $A$ 是闭子空间，则 $H=A\oplus A^\perp$ 。

# 规范正交基

Definition. 设 $H=(H,(\cdot,\cdot))$ 内积空间， $\mathcal A=\{e_i\}_{i\in I}\subseteq H$ ，称为 $H$ 的一个规范正交集，如果
$\langle e_\alpha,e_\beta\rangle=\delta_{\alpha\beta}$
称 $H$ 的规范正交集 $\mathcal A$ 是极大的，如果
$\langle x,e_\alpha\rangle=0, \forall \alpha\in I\implies x=0$
$H$ 的极大规范正交集称为规范正交基或完备规范正交基。

Remark. 规范正交集中任意有限子集线性无关。

Definition. 若集合 $X$ 中的关系 $R$ 满足
自反性： $xRx$ ；
传递性：若 $xRy,yRz$ ，则 $xRz$ ；
反对称性：若 $xRy,yRx$ ，则 $x=y$ ；
称 $R$ 是一个半序关系，记为 $\leq$ 。如果对任意 $x,y\in X$ ，都有 $x\leq y$ 或 $y\leq x$ ，则称 $R$ 是全序关系。

Definition. 若 $Y\subseteq X$ ，则 $\xi$ 称为 $Y$ 的上界，如果对任意 $y\in Y$ ，都有 $y\leq \xi$ 。若 $\eta\in X$ 满足对任意 $x\in X$ 都有 $\eta\leq x$ ，有 $x=\eta$ ，称 $\eta$ 为 $X$ 的极大元。

Lemma. Zorn 引理： $X$ 为半序集，如果每一个全序子集均有上界，则 $X$ 中存在极大元。

Theorem. 若 $H$ 是非平凡的 Hilbert 空间，则 $H$ 中存在规范正交基。

Remark. 只给出存在性。

# Banach 空间中的无序和收敛

在 Hilbert 空间的 $H$ 的规范正交基 $\{e_i\}_{i\in I}$ 下，任意 $x\in H$ 可表示为

$x=\sum_{i\in I}\langle x,e_i\rangle e_i$

Definition. 设 $X$ 是 Banach 空间，称 $\{x_\alpha\}_{\alpha\in I}\subseteq X$ 的无序和收敛或无条件收敛于 $x$ ，如果对任意 $\varepsilon>0$ ，都存在有限子集 $J^\varepsilon\subseteq I$ ，使得对任意有限子集 $J^\varepsilon\subseteq J\subseteq I$ ，都有
$\|S_J-x\|<\varepsilon;\quad S_J:=\sum_{i\in J}x_i,\quad x:=\sum_{\alpha\in I}x_\alpha$

Remark. 这样的收敛性是网收敛，无序和不依赖于求和顺序。

Remark. $\sum_{\alpha\in I}x_\alpha$ 称为绝对收敛，如果 $\sum_{\alpha\in I}\|x_\alpha\|$ 无条件收敛至一个非负数。

Corollary. $\sum_{\alpha\in I}x_\alpha$ 绝对收敛，则

$I$ 是可数集；
$\sum_{\alpha\in I}x_\alpha$ 无条件收敛。

Counterexample. 无条件收敛不一定绝对收敛。

在 $(\ell^2,\|\cdot \|_2)$ 空间中：

$x_n=\dfrac{(-1)^n}{n}e_n$

在 $(c_0,\|\cdot \|_\infty)$ 空间中：

$x_{2n}=(0,\ldots,0,1_n,0,\ldots),\quad x_{2n-1}=(0,\ldots,0,-1_n,0,\ldots)$

Definition. 无序和 $\sum_{\alpha\in I}x_\alpha$ 是 Cauchy 的，如果对任意 $\varepsilon>0$ ，都存在有限子集 $J^\varepsilon\subseteq I$ ，使得对任意有限子集 $K\subseteq I\setminus J^\varepsilon$ ，都有
$\|S_K\|<\varepsilon$

Proposition. $\sum_{\alpha\in I}x_\alpha$ 无序和收敛的充分必要条件是它是 Cauchy 的。

Remark. 将无穷情形用有限情形刻画。

# Hilbert 空间中的无序和收敛

Lemma. $\{u_\alpha\}_{\alpha\in I}$ 是 Hilbert 空间 $H$ 中的规范正交集，则以下收敛
$\sum_{\alpha\in I}c_\alpha u_\alpha,\quad \sum_{\alpha\in I}|c_\alpha|^2$
收敛性等价。如果收敛，还有
$\|\sum_{\alpha\in I}c_\alpha u_\alpha\|^2=\sum_{\alpha\in I}|c_\alpha|^2$

Sketch Proof

Sketch Proof.
对于有限集合 $J\subseteq I$ ，有

$\|\sum_{\alpha\in J}c_\alpha u_\alpha\|^2=\sum_{\alpha\in J}|c_\alpha|^2$

如果收敛，则

$\|\sum_{\alpha\in I}c_\alpha u_\alpha-\sum_{\alpha\in J}c_\alpha u_\alpha\|^2+|\sum_{\alpha\in J}|c_\alpha|^2-\sum_{\alpha\in I}|c_\alpha|^2|<\varepsilon$

# 规范正交集的刻画

Theorem. Bessel 定理： $\{u_\alpha\}_{\alpha\in I}$ 是 Hilbert 空间 $H$ 中的规范正交集，则对任意 $x\in H$ ，都有
$\sum_{\alpha\in I}|\langle x,u_\alpha\rangle|^2\leq \|x\|^2$ ；
$x_U:=\sum_{\alpha\in I}\langle x,u_\alpha\rangle u_\alpha$ 收敛；
$x-x_U\in U^\perp$ 。

Sketch Proof

Sketch Proof.

对于有限集合 $J\subseteq I$ ，有

$\|x-\sum_{\alpha\in J}\langle x,u_\alpha\rangle u_\alpha\|^2=\|x\|^2-\sum_{\alpha\in J}|\langle x,u_\alpha\rangle|^2$

因此 $\sum_{\alpha\in I}|\langle x,u_\alpha\rangle|^2$ 收敛，所以是可数集。对 $J$ 取上确界即可得到 $I$ 的情形。
2. 对第一点应用引理即可。
3. 因为 $\sum_{\alpha\in I}|\langle x,u_\alpha\rangle|^2$ 收敛；对于任意 $u\in H$ 也是。所以

$\sum_{\alpha\in I}|\langle x,u_\alpha\rangle \langle u_\alpha,u\rangle|\leq \sqrt {\sum_{\alpha\in I}|\langle x,u_\alpha\rangle|^2}\sqrt{\sum_{\alpha\in I}|\langle u_\alpha,u\rangle|^2}$

因此

$\langle x_U,u\rangle=\sum_{\alpha\in I}\langle x,u_\alpha\rangle \langle u_\alpha,u\rangle$

Definition. 设 $H$ 是 Hilbert 空间，则定义
$[U]=\left\{\sum_{u\in U}c_uu:c_u\in\mathbb F,\ \sum_{u\in U}c_uu\text{ converges}\right\}$
称 $[U]$ 为 $U$ 的闭线性包。

Proposition. 若 $U$ 是 Hilbert 空间 $H$ 中的规范正交集，则

$[U]$ 是闭子空间，且

$[U]=\left\{\sum_{\alpha\in I}c_\alpha u_\alpha:\sum_{\alpha\in I}|c_\alpha|^2<\infty,c_\alpha\in \mathbb F\right\}$

若记 $x_U=\sum_{\alpha\in I}\langle x,u_\alpha\rangle u_\alpha$ ，则

$\|x-x_U\|=\inf_{u\in [U]}\|x-u\|=\min_{u\in [U]}\|x-u\|$

Theorem. $U=\{u_\alpha\}_{\alpha\in I}$ 是 Hilbert 空间 $H$ 中的规范正交集，则以下命题等价：
$U$ 是 $H$ 的规范正交基；
对任意 $x\in H$ ，都有 $x=\sum_{\alpha\in I}\langle x,u_\alpha\rangle u_\alpha$ ；
对任意 $x\in H$ ，都有 $\|x\|^2=\sum_{\alpha\in I}|\langle x,u_\alpha\rangle|^2$ ；
$[U]=H$ 。

Sketch Proof

Sketch Proof.

( $1\implies 2$ ) 由 Bessel 定理的第三点可知 $x-x_U\in U^\perp$ ，由极大性可知 $x-x_U=0$ ；

( $2\implies 3$ ) 无序和收敛，由引理可知；

( $3\implies 4$ ) 由 Bessel 定理， $x-x_U\in U^\perp$ ，由等式可知 $\|x-x_U\|=0$ ；

( $4\implies 1$ ) 根据定义的极大性反证。如果存在 $x\in H$ ，使得 $x\in U^\perp$ 且 $x\neq 0$ ，则 $x\perp [U]=H$ ，矛盾。

Theorem. Parseval 等式：设 $H$ 是 Hilbert 空间， $U=\{u_\alpha\}_{\alpha\in I}$ 是 $H$ 的规范正交基，则对任意 $x,y\in H$ ，都有
$\langle x,y\rangle=\sum_{\alpha\in I}\langle x,u_\alpha\rangle \overline{\langle y,u_\alpha\rangle}$

Sketch Proof

Sketch Proof. 由规范正交基的定义，有

$x=\sum_{\alpha\in I}\langle x,u_\alpha\rangle u_\alpha,\quad y=\sum_{\alpha\in I}\langle y,u_\alpha\rangle u_\alpha$

通过 Cauchy 不等式控制无序和的收敛性，然后计算内积：

$\sum_{\alpha\in I}|\langle x,u_\alpha\rangle \overline{\langle y,u_\alpha\rangle}|\leq \sqrt{\sum_{\alpha\in I}|\langle x,u_\alpha\rangle|^2}\sqrt{\sum_{\alpha\in I}|\langle y,u_\alpha\rangle|^2}=\|x\|\|y\|$

因此无序和收敛，计算内积即可。

# 规范正交基的例子

Example. $(\ell^2,(\cdot,\cdot))$ 的内积定义为 $(x,y)=\sum_{n=1}^\infty x_n\overline{y_n}$ ，则 $\{e_n\}_{n\in\mathbb N}$ 是 $\ell^2$ 的规范正交基，其中

$e_n=(0,\ldots,0,1_n,0,\ldots)$

Example. $L^2[-\pi,\pi]$ 的内积定义为

$(f,g)=\int_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}dx$

则 $\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}},\dfrac{\cos nx}{\sqrt{\pi}},\dfrac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}:n\in\mathbb N\right\}$ 是 $L^2[-\pi,\pi]$ 的规范正交基。

# L2 空间中的规范正交基 *

# 数列空间

# 附图

Functional Analysis

# 度量空间

# 度量空间

# 度量空间的完备化

# 度量空间的紧性原理

# 完全有界集的刻画

# 紧集的刻画

# Azelà–Ascoli 定理

# Banach 空间

# Banach 空间

# 有限维赋范空间

# 无穷维赋范空间

# Riesz 引理

# 无穷维赋范空间球（面）非紧

# 有界线性算子空间

# 线性算子的有界判据

# 有界线性算子诱导 Banach 空间

# 商空间与乘积空间

# 商空间

# 商空间诱导 Banach 空间

# 乘积空间

# 乘积空间保持 Banach 空间

# 对偶空间 *

# 对偶空间是坐标轴

# 对偶空间的例子 *

# 可分空间 *

# Hilbert 空间

# 内积空间

# 内积空间的几何性质

# 正交与正交补

# 内积与范数的关系

# 应用：Lp 空间的内积结构和一致凸结构

# Hilbert 空间的对偶空间

# Hilbert 空间的几何性质

# 正交集合与正交补

# 规范正交基

# Banach 空间中的无序和收敛

# Hilbert 空间中的无序和收敛

# 规范正交集的刻画

# 规范正交基的例子

# L2 空间中的规范正交基 *

# 数列空间

# 附图

微分几何：曲面的局部理论

泛函分析：泛函分析原理