Theorem （一致有界原理 $II$）设 $X$ 是 Banach 空间，$\{T_n\}$ 是赋范线性

Application 由 Carleson 定理，考虑 $\mathcal P=[-\pi,\pi]$，$C(\mathcal P)$ 表示 $\mathcal P$ 上的连续周期函数

$$S_N(f,x)=\sum_{n=-N}^N\hat f(n)e^{inx}$$

其中 $D_N(x)=\sum_{n=-N}^Ne^{inx}=\frac {\sin (N+\frac 12)x}{\sin \frac x2}$ 是 Dirichlet 核。$S_N(f,x)$ 是 $f$ 的第 $N$ 部分和。
sharp

Proposition 存在 $f\in C(\mathcal P)$，使得 $S_N(f)$ 在 $\mathbb R\setminus \mathcal P$ 的稠密子集上不收敛。

证明：

（1）设

$$S_N(f)=\dfrac 1{2\pi}D_N*f$$

（2）对任意 $x\in \mathbb R\setminus \mathcal P$，考虑线性泛函

$$\varphi_{N,x}(f)=S_N(f,x)=\dfrac 1{2\pi}f*D_N(x)$$

则 $\varphi_{N,x}\in C(\mathcal P)^*$，且

$$\|\varphi_{N,x}\|=\|D_N\|_{L^1}$$

而 $\|D_N\|_{L^1}\to \infty$，因此 $\sup_{N,x}\|\varphi_{N,x}\|=\infty$.

（3）$\{x_m\}_{m\geq 1}$ 是 $\mathbb R\setminus \mathcal P$ 的稠密子集，取 $\varphi_{N,x_m}\in (C(\mathcal P))^*$，由一致有界原理 $II$，存在 $f\in C(\mathcal P)$，使得 $\sup_{N,m}|S_N(f,x_m)|=\infty$.

# 开映射与闭图定理

回顾

1. Brower 定理：设 $U\subseteq \mathbb R^n$ 是开集，$f:U\to f(U)$ 是连续单射，则 $f^{-1}:f(U)\to U$ 连续，即 $f:U\to f(U)$ 是开映射。
2. $\mathbb R^m\to\mathbb R^n,m\geq n$，线性映射 $f(x)=Ax,A\in M_{m,n}$，则 $f$ 是开映射当且仅当 $\mathrm{rank}(A)=n$.

Definition 称 $f:(X,\mathscr T_X)\to (Y,\mathscr T_Y)$ 是开映射，如果对任意 $U\in \mathscr T_X$，都有 $f(U)\in \mathscr T_Y$.

Theorem 若 $X,Y$ 是 Banach 空间，定义 $B_X=\{x\in X|\|x\|< 1\}$，$B_Y=\{y\in Y|\|y\|<1\}$，$T\in\mathcal L(X,Y)$ 是满射，存在 $\delta >0$ 使得

1. \delta B_Y\subseteq \overline
2. $\delta B_Y\subseteq T(B_X)$
3. $T$ 是开映射
4. $T=T_0\circ \pi$，其中 $T_0:X/\ker T\to Y$ 是可逆的，且 $\|T_0^{-1}\|_{Y\to X/\ker T}\leq \delta^{-1}$.

证明：

（1） $X=\bigcup_{n=1}^\infty nB_X$，则

（1->2）由 \\\\\\，$y+y_0=\lim_{n\to\infty}Tx_{n,1},y_0=\lim_{n\to\infty}Tx_{n,2}$，则因为 $\{x_{n,1}\},\{x_{n,2}\}\subseteq \frac 12B_X$，则

$$y=\lim_{n\to\infty}T(x_{n,1}-x_{n,2})\subseteq \overline {T(B_X)}$$

任取 $\eta<<1$，对于任意 $y\in Y$

$$y=\dfrac {\|y\|}{\delta-\eta} \cdot \dfrac {\delta-\eta}{\|y\|}y\in \dfrac {\|y\|}{\delta -\eta }\delta B_Y\subseteq \overline {T\left(\dfrac {\|y\|}{\delta -\eta }B_X\right)}$$

固定 $y\in \delta B_Y,\varepsilon=\delta -\eta -\|y\|>0$，则存在 $x_1\in \frac {1}{\delta -\eta}B_X$，使得 $\|y-Tx_1\|<\varepsilon$，则

# 闭图定理

考虑 $X=C[0,1]$ 上的微分算子

$$T:C^1[0,1]\to C[0,1],\quad Tf=\dfrac {\partial }{\partial x}f$$

则

1. $\mathscr D(T)=C^1[0,1]$
2. $\mathrm{Graph}(T)=\{(f,Tf)\in X\times X|f\in C^1[0,1]\}$ 是 $X\times X$ 的闭子空间

Definition 假设 $X,Y$ 是 Banach 空间，$T:\mathscr D(T)\subseteq X\to Y$，则称 $T$ 是闭算子，如果

$$\mathrm{Graph}(T)=\{(x,y)\in \mathscr D(T)\times Y:y=Tx\}$$

是 $X\times Y$ 的闭集。

Remark 定义中的闭集强调 $T$ 极限的交换性：对于 $x_n\to x$，$Tx_n\to y$，则 $x\in \mathscr D(T)$ 且 $Tx=y$.