泛函分析：一致有界原理

Definition 假设 $\{f_i\}_{i\in I}$ 满足 $f_i:X\to Y_i$，称 $\{f_i\}_{i\in I}$ 是点态有界的，如果

$$\sup_{i\in I}\|f_i(x)\|_{Y_i}<\infty,\quad \forall x\in X$$

我们直接给出本节的主定理，稍后给出证明

Theorem（一致有界原理）假设 $X$ 是 Banach 空间，$\{A_i\}_{i\in I}$ 满足

1. $A_i:X\to Y_i$ 是有界线性算子；
2. $\{A_i\}_{i\in I}$ 是点态有界的

则 $\sup_{i\in I}\|A_i\|<\infty$.

Remark 一致有界原理指出，赋范空间的线性算子族，（在 $X$ 完备条件下）算子族的点态有界性可以推出算子族（在算子范数下）的一致有界性：

$$\sup \|A_i(x)\|<\infty \implies \sup\|A_i\|<\infty$$

Lemma 若 $(X,d)$ 是非空完备度量空间，$\{f_i\}_{i\in I}$ 满足

1. $f_i:X\to \mathbb R$ 是连续函数；
2. $\{f_i\}_{i\in I}$ 是点态有界的
   则存在 $x_0\in X$ 和 $\delta>0$，使得

$$\sup_{i\in I}\sup_{x\in B(x_0,\delta)}|f_i(x)|<\infty$$

证明：引入 $F_{n,i}:=\{x\in X:|f_i(x)|\leq n\}$，则 $F_{n,i}$ 是闭集，考虑公共有界的部分，即

$$F_n:=\bigcap^\infty_{n=1}F_{n,i}=X=\{x\in X:\sup_{i\in I}|f_i(x)|\leq n\}$$

是闭集。而
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由 Baire 纲定理，存在 $n_i$ 使得 $F_{n_i,i}$ 包含开稠集，故存在 $x_i\in X$ 和 $\delta_i>0$ 使得 $B(x_i,\delta_i)\subseteq F_{n_i,i}$. 由完备性，存在 $x_0\in X$ 和 $\delta>0$ 使得 $B(x_0,\delta)\subseteq B(x_i,\delta_i)$，所以

$$\sup_{i\in I}\sup_{x\in B(x_0,\delta)}|f_i(x)|\leq \sup_{i\in I}n_i<\infty$$

Corollary 若 $\{f_n\}_{n\geq 1}\subseteq C((a,b))$ 点态有界，则存在 $x\in (a,b)$ 和 $\varepsilon>0$ 使得 $I:=B(x,\varepsilon)\subseteq (a,b)$，使得 $\{f_n|_{I}\}$ 一致有界。