# 开映射

Definition 称 $f:(X,\mathscr T_X)\to (Y,\mathscr T_Y)$ 是开映射，如果对任意 $U\in \mathscr T_X$，都有 $f(U)\in \mathscr T_Y$.

本节的主定理

Theorem [开映射定理] Banach 空间 $X,Y$，单位开球 $B_X,B_Y$，有界线性算子 $T:X\to Y$. 如果 $T$ 是满射，则存在 $\delta >0$，使得

(1) $\delta B_Y\subseteq \overline{T(B_X)}$；

(2) $\delta B_Y\subseteq T(B_X)$；

(3) $T$ 是开映射；

(4) $T=T_0\circ \pi$，其中 $\pi:X\to X/\ker T$ 是商映射，$T_0:X/\ker T\to Y$ 是同构，且

$$\|T_0^{-1}\|_{Y\to X/\ker T}\leq \delta^{-1}$$

证明：依次证明

(1) 由于 $X=\bigcup_{n=1}^\infty n B_X$ 以及 $T$ 是满射线性算子，故

$$Y=\bigcup_{n=1}^\infty T(n B_X)=\bigcup_{n=1}^\infty n T(B_X)$$

由于 $Y$ 是完备的，所以由 Baire 纲定理，存在 $n_0$，使得 $\overline{T(n_0 B_X)}$ 包含开稠集，故存在 $y_0\in Y$ 和 $\delta>0$，使得

$$B(y_0,\delta)\subseteq \overline{T(n_0 B_X)}=n_0\overline{T(B_X)}$$

根据线性，位似

$$B(y_1,\delta_1)=B(\frac {y_0}{2n_0},\frac {\delta}{2n_0})\subseteq \dfrac 12 \overline{T(B_X)}$$

即对任意 $y\in \delta_1 B_Y$，都有 $y+y_1\in \dfrac 12\overline {T(B_X)}$，由闭包，则存在 Cauchy 列 $\{x_{n,1}\},\{x_{n,2}\}\subseteq \dfrac 12B_X$，使得 $\lim x_{n,1}=y+y_1$，$\lim x_{n,2}=y_1$，因此

$$y=y+y_1-y_1=\lim_{n\to\infty}x_{n,1}-\lim_{n\to\infty}x_{n,2}=\lim_{n\to\infty}(x_{n,1}-x_{n,2})\in \overline{T(B_X)}$$

(2) 任取 $\eta<< 1$，对于任意 $y\in Y$

$$y=\dfrac {\|y\|}{\delta-\eta}\cdot \dfrac {\delta-\eta}{\|y\|}y\in \dfrac {\|y\|}{\delta-\eta}\delta B_Y\subseteq \dfrac {\|y\|}{\delta-\eta}\overline{T(B_X)}$$

固定 $y\in\delta B_Y$，记缩放因子 $\varepsilon=\delta-\eta-\|y\|$. 则存在 $x_0\in X$ 使得 $\|x_0\|<\dfrac {\|y\|}{\delta-\eta}<1$，满足 $\|T x_0 -y\|<2^{-1}\varepsilon$，继续迭代缩小误差，由于

$$y-Tx_0\subseteq \overline{T(\dfrac {\|y-Tx_0\|}{\delta-\eta}B_X)}$$

所以存在 $x_1\in X$，使得 $\|x_1\|<\dfrac {\|y-Tx_0\|}{\delta-\eta}<2^{-1}$，满足 $\|T x_1 - (y - T x_0)\|<2^{-2}\varepsilon$.

以此类推，利用归纳法，不妨假设

$$\|y-T(\sum^{k-1}_{i=-0}x_i)\|<2^{-k}\varepsilon$$

则

$$y-\sum^{k-1}_{i=0}T x_i\in \overline{T(\dfrac {\|y-T(\sum^{k-1}_{i=0}x_i)\|}{\delta-\eta}B_X)}$$

则存在 $x_k\in X$，使得 $\|x_k\|<\dfrac {\|y-T(\sum^{k-1}_{i=0}x_i)\|}{\delta-\eta}<2^{-k}$，满足 $\|y - T(\sum^{k}_{i=0}x_i))\|<2^{-(k+1)}\varepsilon$.

由此可知 $\{\sum^k_{i=0}x_i\}$ 是 Cauchy 列，所以 $\lim_{k\to\infty}\sum^k_{i=0}x_i=x\in X$，考虑模长估计

$$\|x\|\leq \sum_{i=0}^\infty \|x_i\|<\dfrac {\|y\|}{\delta-\eta}+\sum_{i=1}^\infty \dfrac {2^{-i}\varepsilon}{\delta-\eta}=\dfrac {\|y\|}{\delta-\eta}+\dfrac {\varepsilon}{\delta-\eta}=1$$

(3)

Remark (1) 的思路注意到线性算子的平移不变性，同一致有界原理的证明；(2) 从 Cauchy 列层面构造实现对模长的控制，特别注意，分解

$$y=\dfrac {\delta-\eta}{\|y\|}\cdot \dfrac {\|y\|}{\delta-\eta}y$$

的动机类似于

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Remark

(1) （Brower 开映射定理）开集 $U\subseteq \mathbb R^n$，连续单射 $f:U\to f(U)$. 则 $f:U\to f(U)$ 是开映射，从而是同胚.

(2) 线性映射 $A:\mathbb R^m\to \mathbb R^n,m\geq n$ 是开映射 $\iff$ $A$ 是满射 $\iff$ $\mathrm{rank}(A)=n$.