# 前言

这一部分并不严谨。

# 热方程

# 热方程的建立

Fourier 在著作 The Analytical Theory of Heat 中曾研究热现象，给出 热传导定律，即

$$\dfrac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=-\alpha SU_x$$

这个实验定律表明单位时间内通过给定截面的热量，正比于该界面法向的温度变化率和截面面积；热量传递的方向与温度升高的方向相反。

此外还有比热容定义

$$Q=cm\Delta T$$

简化模型：$x$ 轴水平放置一根导热圆棒，定义 温度场 $U(t,x)$ 刻画 $x$ 点 $t$ 时刻的温度。研究一小截管 $(x_1,x_2)$ 的热量，容易联立热方程：其中 $c$ 是比热，$\rho$ 是密度，$S$ 是截面面积

$$\Delta Q_1=\int^{x_2}_{x_1}c\rho S(U(x,t_2)-U(x,t_1))\mathrm dx=\int^{x_2}_{x_1}\int^{t_2}_{t_1}c\rho SU_t(x,t)\mathrm dt\mathrm dx$$

这正是对外交换的热量

\Delta Q_2=\int ^{t_2}_{t_1}-\alpha SU_x(x_1,t)\mathrm dt-\int^{t_2}_{t_1}-\al pha SU_x(x_2,t)\mathrm dt=\int ^{t_2}_{t_1}\int^{x_2}_{x_1}\alpha SU_{xx}(x,t)\mathrm dx\mathrm dt

由能量守恒有

$$\Delta Q_1=\Delta Q_2$$

考虑到 $t_1,t_2,x_1,x_2$ 任意性，所以有微分形式

$$c\rho SU_t=\alpha SU_{xx}$$

设 $c,\rho,S,\alpha $ 均为常数，令 $\kappa^2=\dfrac{c\rho}\alpha$ 化简上述，加上初值条件和边值条件，得到热方程

$$\left\{\begin{array}{ll}\kappa^2U_t=U_{xx}\\U(0,t)=U(L,t)=0\\U(x,0)=f(x)\end{array}\right.$$

# 热方程的求解

不妨设解为分离变量形式，令 $U(x,t)=\varphi(x)\psi(t)$ 有

$$\dfrac1{\kappa^2}\dfrac{\varphi''(x)}{\varphi(x)}=\dfrac{\psi'(t)}{\psi(t)}=-\lambda$$

其中 $\lambda $ 是连等设的中间量，它是 $x,t$ 分别的单变量函数，因此是个常值函数。

分别求解并代入初值，有以下形式的解

$$\varphi(x)=b\sin \sqrt \lambda \kappa x$$

这说明了 $\lambda =\left(\dfrac{n\pi}{\kappa L}\right)^2,n\in \mathbb N$，所以满足上述连等式的解为

$$\varphi(x)=b_n\sin \dfrac {n\pi}{ L}x,\quad \psi(t)=c_ne^{-(\frac{n\pi}{\kappa L})^2t},\quad n\in \mathbb N$$

上面我们默认了 $\lambda >0$，那么 $\lambda <0$ 如何？此时的解形式应该为 $\varphi(x)=b\sinh kx$，代入两个初值条件，这是能是常值函数 $0$，这类平凡解我们忽略掉了；同样地，$\lambda=0$ 我们也不去考虑。

至此，我们得到了一系列特解

$$U_n(x,t)=B_ne^{-(\frac{n\pi}{\kappa L})^2t}\sin \dfrac{n\pi}{L}x,\quad n\in \mathbb R$$

一般解就是这一系列特解的叠加

$$U(x,t)=\sum^\infty_{n=1}U_n(x,t)$$

再将一般解代回初值

$$U(x,0)=\sum^\infty_{n=1}B_n\sin\dfrac {n\pi}{L}x=f(x)$$

Fourier 通过一系列级数展开，计算得到了上述级数的系数

$$B_n=\dfrac2L\int^L_0f(x)\sin\dfrac{n\pi}{L}x\mathrm dx$$

# 波动方程