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# 前言

根据之前的例子，我们需要定义三角级数

∑n=−∞+∞Ancos⁡nt+Bnsin⁡nt\sum^{+\infty}_{n=-\infty}A_n\cos nt+B_n\sin nt

以及考察其收敛性，这是研究基础，也是本节的目标。

本文提及的 可积 指的是 可积或反常绝对可积 。

# Fourier 级数的定义

# 指数形式

设 ff 为 [a,b][a,b] 上可积函数， 则定义 ff 的 Fourier 级数 为

f(x)∼∑n=−∞+∞f^(n)e−i2πnxLf(x)\sim \sum^{+\infty}_{n=-\infty}\hat f(n)e^{-i\frac{2\pi nx}L}

其中 ∣b−a∣=L|b-a|=L，且 f^(n)=2L∫abf(x)ei2πnxLdx\hat f(n)=\dfrac2 L\displaystyle \int^b_a f(x)e^{i\frac{2\pi nx}L}\mathrm dx

虽然上面出现了复数，但是稍作计算会发现虚部因为奇偶性而抵消掉了。指数形式的书写在一些场景更加简洁。

特别地，设 ff 为 [a,b]=[−π,π][a,b]=[-\pi,\pi] 上可积函数，它的 Fourier 级数为

f(x)∼1π∑n=−∞+∞∫−ππf(t)ein(x+t)dtf(x)\sim \frac 1{\pi}\sum^{+\infty}_{n=-\infty}\int ^{\pi}_{-\pi}f(t)e^{in(x+t)}\mathrm dt

# 三角形式

设 ff 为 [a,b][a,b] 上可积函数，定义 ff 的 Fourier 级数 为

f(x)∼12a0+∑n=1∞ancos⁡2πnxL+bnsin⁡2πnxLf(x)\sim \frac 12a_0+\sum^{\infty}_{n=1}a_n\cos\dfrac{2\pi nx}L+b_n\sin\dfrac {2\pi nx}{L}

其中的系数与指数形式是相容的，即

an=2L∫abf(x)cos⁡2πLnxdx,bn=2L∫abf(x)sin⁡2πLnxdxa_n=\dfrac 2L\int ^b_af(x)\cos \dfrac {2\pi }Lnx\mathrm dx,\quad b_n=\dfrac 2L\int^b_af(x)\sin \dfrac{2\pi}Lnx\mathrm dx

换言之，有如下关系

an+ibn=f^(n),an−ibn=f^(−n)a_n+ib_n=\hat f(n),\quad a_n-ib_n=\hat f(-n)

特别地，设 ff 为 [−π,π][-\pi,\pi] 上可积函数，它的 Fourier 级数为

f(x)∼12a0+1π∑n=1∞ancos⁡nx+bnsin⁡nxf(x)\sim\frac12a_0+\frac 1\pi\sum^{\infty}_{n=1}a_n\cos nx+b_n\sin nx

一般使用 [−π,π][-\pi,\pi] 的标准区间，其他区间只需要乘以拉伸因子 2πL\dfrac{2\pi}L 即可。

# Fourier 级数的收敛性

# Riemann-Lebesgue 引理

如果f(x)∈R([a,b])f(x)\in \mathcal R([a,b])，则有

lim⁡λ→∞∫abf(x)sin⁡λxdx=0=lim⁡λ→∞∫abf(x)cos⁡λxdx\lim_{\lambda\to\infty} \int^b_af(x)\sin\lambda x\mathrm dx=0 =\lim_{\lambda\to\infty}\int^b_af(x)\cos\lambda x\mathrm dx

直观地看，三角函数振荡越剧烈，相邻小区间的积分值就会被抵消。所以证明从 振幅 入手

∣∫abf(x)sin⁡λxdx∣≤∣∑n∫Δxi(f(x)−f(xi))sin⁡λxdx∣+∣∑n∫Δxif(xi)sin⁡λxdx∣≤∣b−a∣max⁡ωi+max⁡fλ∑n∣∫λΔxisin⁡λxdλx∣≤Lmax⁡ωi+2nmax⁡fλ\begin{array}{ll}\left|\displaystyle \int ^b_af(x)\sin \lambda x\mathrm dx\right|&\leq \left|\displaystyle\sum_n\int_{\Delta x_i}(f(x)-f(x_i))\sin \lambda x\mathrm dx\right|+\left|\displaystyle \sum_n\int_{\Delta x_i}f(x_i)\sin\lambda x\mathrm dx\right|\\&\leq \displaystyle |b-a|\max{\omega_i}+\displaystyle \frac {\max{f}}\lambda\sum_n\left|\int_{\lambda\Delta x_i}\sin \lambda x \mathrm d\lambda x\right|\\&\leq L\max\omega_i+\dfrac{2n\max f}{\lambda}\end{array}

给定划分可以控制第一项，λ\lambda 可以控制第二项，结果是显然的。

# 局部化原理

设 ff 在 R\mathbb R 上可积，且是 2π2\pi 周期函数，则其 Fourier 级数的部分和函数 Sn(x)S_n(x) 是否收敛或收敛到何值仅与 xx 点附近的行为有关。
换言之，∀δ>0\forall \delta >0，

Sn(x)∼12π∫0δ(f(x−t)+f(x+t))Dn(t)dt,n→∞S_n(x)\sim\dfrac 1{2\pi}\int^\delta _0(f(x-t)+f(x+t))D_n(t)\mathrm dt,\quad n\to \infty

局部化原理是 Riemann-Lebesgue 引理的推论，这是因为

Sn(x)=1π∑k=−nn∫−ππf(t)ein(x+t)dt=1π∫−ππf(t)∑k=−nnein(x+t)dt=1π∫−ππf(t)Dn(x+t)dt=1π∫0πf()\begin{array}{ll}S_n(x)&=\dfrac1\pi \displaystyle\sum^n_{k=-n}\int ^\pi_{-\pi}f(t)e^{in(x+t)}\mathrm dt\\&=\dfrac1\pi \displaystyle\int ^\pi_{-\pi}f(t)\sum^n_{k=-n}e^{in(x+t)}\mathrm dt\\&=\dfrac1\pi\displaystyle\int^{\pi}_{-\pi}f(t)D_n(x+t)\mathrm dt\\&=\displaystyle \dfrac1 \pi\int^\pi_{0}f()\end{array}

其中，定义 Dirichlet 核

Dn(x)=sin⁡(n+12)xsin⁡x2D_n(x)=\dfrac{\sin(n+\tfrac12)x}{\sin\tfrac{x}{2}}

# Dini 判别法

设 ff 在 [−π,π][-\pi,\pi] 上可积。若 ∃x0∈[−π,π],δ∈(0,π),S∈R\exist x_0\in [-\pi,\pi],\delta \in (0,\pi),S\in \mathbb R ，使得

φ(t)=f(x0+t)+f(x0−t)−2St\varphi(t)=\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S}{t}

在 [0,δ][0,\delta] 上可积，则

lim⁡n→∞Sn(x0)=S\lim_{n\to\infty}S_n(x_0)=S