# 前言

在之后的笔记中，默认所有的函数至少都是 Riemann 可积的。

# 基本概念

# Fourier 系数

定义：定义在 $[a,b]$ 上的复值函数 $f$ 的第 $n$ 项 Fourier 系数 为

$$a_n=\hat f(n)=\dfrac1 L\int^b_af(x)e^{-2\pi inx/L}\mathrm dx,\quad \forall n\in \mathbb Z$$

其中 $L=|b-a|$

# Fourier 级数

定义：$f$ 的 Fourier 级数 形式上是以下无穷级数，记作

$$f(x)\sim\sum^{\infty}_{n=-\infty}\hat f(n)e^{2\pi inx/L}$$

注意，我们只给出了形式，但是并不知道这个级数是否收敛，以及是否收敛到 $f$.

特别地，给出标准区间的情况：定义在 $[-\pi,\pi]$ 上的可积函数 $f$ 的 Fourier 系数为

$$a_n=\dfrac 1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f(\theta)e^{-in\theta}\mathrm d\theta,\quad \forall n\in\mathbb Z$$

# 特殊性质

# 光滑性

# Fourier 系数的收敛速度

设 $f$ 在单位圆上 $m$ 次可微且满足