本页面记录判断数项级数敛散性的常用定理
约定部分和符号 S:=∑n=1∞an,Sn:=∑k=1nak.
特别地,S+ 是正项级数.
此外,P,Pn 用来表示无穷乘积,在这里对于一般的无穷乘积,写成P=∏n=1∞pn;对于收敛的无穷乘积,写成P=∏n=1∞(1+an);以下符号也沿用.
约定收敛符号S↓,条件收敛符号S∣↓,绝对收敛符号 ∣S∣↓,发散是上箭头 ↑.
约定 Cauchy 乘积S(a)×S(b)=∑n=1∞∑i=1naibn+1−i.
显然,n 是足够大的,因为去掉有限项后级数敛散性不变.
# 一般级数判断准则
# Cauchy 收敛准则
S↓⟺∀ϵ>0,∃N>0,∀m,n>N:∣Sm−Sn∣<ϵ
# Lebnitz 交错判敛
∣an∣ 单调趋于零,$\text {sgn}(a_n)=(-1)^n \implies S\downarrow $
# 必要条件
S↓⟹liman=0
# Dirichlet 判别
Sn(a) 有界,bn 单调趋于 0 ⟹S(ab)↓
# Abel 判别
S(a)↓,bn 单调有界 ⟹S(ab)↓
# 绝对收敛
∣S∣↓⟹S↓
# 收敛级数其他性质
# 线性叠加
S(a)↓,S(b)↓⟹∀α,β∈R,S(αa+βb)↓=αS(a)+βS(b)
# 定序归组
S(a)↓⟹bk=∑nk−1nkai:S(bk)↓, S(bk)=S(a)
# 定序归组逆命题
S(bk)↓,bk 归组的项符号相同,且顺序不变⟹S(a)↓,S(a)=S(bk)
# Riemann 重排
S(a)∣↓⟹∀α≤β∈R,存在求和次序使得排序后 liminfS′=α,limsupS′=β
# 绝对换序
∣S∣↓⟹ 任意改变求和次序得到新数列 ∣S′∣↓,且S′=S
# 正项级数判别法
# Weierstrass 有界收敛
S+(a)↓⟺S+(a)<+∞
# 比较判别法
limbnan=r
r=0⟹(S+(a)↑⟹S+(b)↑),(S+(b)↓⟹S+(a)↓)
r=∞⟹(S+(a)↓⟹S+(b)↓),(S+(b)↑⟹S+(a)↑)
0<r<∞⟹(S+(a)↓⟺S+(b)↓)
# Cauchy 广义积分判别
x≥1,f(x)≥0, f(x)单调递减⟹(S(f(n))↓⟺∫1∞f(x)dx↓)
# Cauchy 根式判敛
$\limsup \sqrtn=r<1 \implies S_+ \downarrow $
$\limsup \sqrtn=r>1 \implies S_+ \uparrow $
# D'Alembert 比值判敛
limsupanan+1=r<1⟹S+↓
liminfanan+1=r>1⟹S+↑
# Cauchy 根式蕴含 D'Alembert
\liminf \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leq \liminf\sqrt[n]{a_n}\leq \limsup\sqrt[n]{a_n}\leq \limsup \dfrac{a_{n+1}}
# 比值引理
anan+1≤bnbn+1⟹(S+(a)↑⟹S+(b)↑),(S+(b)↓⟹S+(a)↓)
# Raabe 判别
limn(an+1an−1)=r:(r<1⟹S+↑),(r>1⟹S+↓)
an+1an=1+nr+o(n1), n→∞:(r<1⟹S+↑),(r>1⟹S+↓)
# Gauss 判别
an+1an=1+n1+nlnnr+o(nlnn1)∼nlnrn1/(n+1)lnr(n+1)1,n→∞:
r<1⟹S+↑
r>1⟹S+↓
# Kummer 判别
S+(a),S+(b):
bn1an+1an−bn+11≥λ>0⟹S+(a)↓
bn1an+1an−bn+11≤0⟹(S+(b)↑⟹S+(a)↑)
# Cauchy 凝聚
a>0 单调递减⟹(S↓⟺∑2ka2k↓)
# 级数的乘法
# Cauchy
∣S(a)∣↓,∣S(b)∣↓⟹∣S(a)×S(b)∣↓,且S(a)×S(b)=S(a)S(b)
# Mertens
∣S(a)∣↓,S(b)↓⟹S(a)×S(b)↓,且S(a)×S(b)=S(a)S(b)
# Abel
S(a)×S(b)↓⟹S(a)×S(b)=S(a)S(b)
# 无穷乘积的敛散
# 必要条件
P↓⟹limn→∞pn=1
# 收敛等价
P(a)↓⟺S(ln(1+a))↓
P(∣a∣)↓⟺S(ln(1+∣a∣))↓⟺S(∣a∣)↓
S(a2)↓⟹(S(a)↓⟺P(a)↓)
# 发散推论
−1<a<0⟹(S(a)↑0⟺P(ln(1+a))↑−∞)
−1<a<0,S(a)↑⟹P(a)↑0
S(a)↓,S(a2)↑⟹P(a)↑0
# 绝对收敛
∣P(a)∣↓⟹P(a)↓
∣P(a)∣↓⟹ 任意改变乘积次序得到新乘积 ∣P(b)∣↓,且P(a)=P(b)
# Riemann 重排
P(a)∣↓⟹∀0≤α≤β≤∞,limsupP(a)=β,liminfP(a)=α