# Fourier 变换与 Fourier 积分

定义： 设 $f:\mathbb R\to \mathbb C$。如果广义积分的 Cauchy 主值存在，也就是

$$\lim_{A\to +\infty}\dfrac 1{2\pi}\int^A_{-A}f(x)e^{-i\xi x}\mathrm dx\in\mathbb C$$

记为 $A(\xi)$，称为 $f$ 的 Fourier 变换，也记为 $\mathscr F[f](\xi)$

$$A(\xi)=\mathscr F[f](\xi)=\dfrac 1{2\pi}\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-i\xi x}\mathrm dx$$

称以下为 $f$ 的 Fourier 积分

$$\int^\infty_{-\infty}\mathscr F[f](\xi)e^{i\xi x}\mathrm d\xi$$

称以下分别为 $f$ 的 Fourier 正弦变换、余弦变换

$$a(\xi)=\dfrac 1{\pi}\int^\infty_{-\infty}f(x)\cos\xi x\mathrm dx$$

$$b(\xi)=\dfrac 1{\pi}\int^\infty_{-\infty}f(x)\sin\xi x\mathrm dx$$

性质：（Fourier 变换与 Fourier 正余弦变换）

$$A(\xi)=\dfrac 12{a(\xi)-ib(\xi)}$$

$$A(-\xi)=\dfrac 12{a(\xi)+ib(\xi)}$$

# 例子

例子：（Fourier 变换与 Fourier 积分的关系）

引理：（Fourier 积分的部分和）
设 $f\in |\mathcal R|(\mathbb R)$，设 $A>0$，则定义部分和函数

$$S(A,x)=\dfrac 1{2\pi}\int^A_{-A}\mathscr F[f](\xi)e^{i\xi x}\mathrm d\xi$$

那么

$$S(A,x)=\dfrac 1\pi \int ^\infty_{0}(f(x-y)+f(x+y))\dfrac{\sin Ay}{y}\mathrm dy$$

定理：（Fourier 积分的局部化定理）
设 $f\in |\mathcal R|(\mathbb R)$，则 $f$ 的 Fourier 积分在 $x$ 点处是否收敛，收敛到何值，完全取决于 $x$ 点附近的值。

定理：（Fourier 积分的 Dini 判别法）

设 $f\in |\mathcal R|(\mathbb R)$，如果存在 $s\in\mathbb R$，使得

$$\dfrac{f(x-y)+f(x+y)-2s}y\in |\mathcal R|[0,\delta]$$

则 $f$ 的 Fourier 积分在 $x$ 点收敛到

$$S(x)=s$$

定理：（Fourier 积分与局部 Lipschitz 条件）

称 $f$ 在 $x$ 满足 $\alpha$-Lipschitz 条件，如果

$$|f(x\pm t)-f(x\pm 0)|\leq Ct^\alpha$$

其中 $\alpha\in (0,1],\ C>0$。如果在 $x$ 的邻域满足 $\alpha$-Lipschitz 条件，称为局部 $\alpha$-Lipschitz 条件。那么，如果 $f\in |\mathcal R|(\mathbb R)$，且满足局部 $\alpha$-Lipschitz 条件，则 $f$ 的 Fourier 积分在 $x$ 点收敛到

$$S(x)=\dfrac {f(x+0)+f(x-0)}2$$

定理：（Fourier 积分与广义左右导数）

称 $f$ 在 $x$ 处存在广义左导数，如果 $f(x-0)$ 存在，且

$$\lim_{t\to 0^-}\dfrac{f(x+t)-f(x-0)}{t}\in\mathbb C$$

如果 $f\in |\mathcal R|(\mathbb R)$，且 $x$ 处存在 $f$ 的广义左右导数。那么 $f(x)\in \mathbb C$，且 $f$ 的 Fourier 积分在 $x$ 点收敛到

$$S(x)=\dfrac {f(x+0)+f(x-0)}2$$