# 前言

根据之前的例子，我们需要定义三角级数

$$\sum^{+\infty}_{n=-\infty}A_n\cos nt+B_n\sin nt$$

以及考察其收敛性，这是研究基础，也是本节的目标。

本文提及的 可积 指的是 可积或反常绝对可积 ，如果我们说 Riemann 可积，会用 $\mathcal R$ 表示。

# Fourier 级数的定义

# 指数形式

定义：设 $f$ 为 $[a,b]$ 上可积的复值函数， 则定义 $f$ 的 Fourier 级数 为

$$f(x)\sim \sum^{+\infty}_{n=-\infty}\hat f(n)e^{2\pi inx/L}$$

其中 $|b-a|=L$，且 Fourier 系数 为

$$\hat f(n)=\dfrac1 L\displaystyle \int^b_a f(x)e^{-2\pi inx/L}\mathrm dx$$

指数形式的书写在一些场景更加简洁。

特别地，设 $f$ 为 $[a,b]=[-\pi,\pi]$ 上可积函数，它的 Fourier 级数为

$$f(x)\sim \frac 1{2\pi}\sum^{+\infty}_{n=-\infty}\int ^{\pi}_{-\pi}f(t)e^{in(x-t)}\mathrm dt$$

# 三角形式

定义：设 $f$ 为 $[a,b]$ 上可积的复值函数， 则定义 $f$ 的 Fourier 级数 为

$$f(x)\sim \dfrac {A_0}2+\sum^\infty_{n=1}A_n\cos{\dfrac {2\pi nx}L}+B_n \sin \dfrac {2\pi nx}L$$

其中 $|b-a|=L$，且 Fourier 系数 为

$$A_n=\dfrac 2L\int^b_af(x)\cos\dfrac{2\pi nx}L\mathrm dx,\quad B_n=\dfrac 2L\int^b_af(x)\sin \dfrac {2\pi nx}L\mathrm dx$$

三角形式具有奇偶性，在一些计算上更加方便。并且它和指数形式是相容的。

特别地，设 $f$ 为 $[a,b]=[-\pi,\pi]$ 上可积函数，它的 Fourier 级数为

$$f(x)\sim \dfrac{A_0}2+\sum^\infty_{n=1}A_n\cos nx+B_n\sin nx$$

注意，我们只给出了形式，但是并不知道这个级数是否收敛，以及是否收敛到 $f$.

# 性质

$$\widehat {f'}(n)=in\hat f(n),\forall n\in \mathbb Z$$

# Fourier 级数的部分和

# 部分和

定义：给定 $f$ 的 Fourier 级数，则它的 N 次部分和 为

$$S_N(f)(x)=\sum ^N_{n=-N}\hat f(n)e^{2\pi inx/L}$$

# Dirichlet 核

定义：定义在 $[-\pi,\pi]$ 上的如下三角多项式，称为 Dirichlet 核

$$D_N(x)=\sum^N_{n=-N}e^{inx}=\dfrac{\sin (N+1/2)x}{\sin x/2}$$

右式是它的显式形式，从中可以得到 $D_N(x)$ 的 Fourier 系数有一定的性质。

性质：对于 $D_N(x)$ 的 Fourier 系数 $\hat f(n)$，有

$$\hat f(n)=1,\quad |n|\leq N$$

# Poisson 核

定义：定义在 $[-\pi,\pi]$ 上的如下级数，其中参数 $r\in [0,1)$ ，称为 Poisson 核

$$P_r(\theta)=\sum^\infty_{n=-\infty}r^{|n|}e^{in\theta}=\dfrac {1-r^2}{1-2r\cos \theta+r^2}$$

右式是它的显式形式。另外，它是绝对收敛的，求和、极限可交换。

这些例子都有 Fourier 级数，但是我们仍然不知道需要什么条件才能使 Fourier 级数收敛，进一步收敛到函数本身。在讨论收敛之前，我们先讨论唯一性。

# Uniqueness of Fourier series

# Uniqueness at the continuous points

Theorem 2.2.1 If $f\in \mathcal R(S^1)$ and $\forall n\in \mathbb Z,\hat f(n)=0$, then

$$f(\theta_0)=0$$

whenever $f$ is continuous at the point $\theta _0$

Corollary 2.2.2 If $f\in C(S^1)$ and $\forall n\in \mathbb Z,\hat f(n)=0$, then $f\equiv 0$.

Corollary 2.2.3 Suppose that $f\in C(S^1)$, and

$$\sum ^\infty_{n=-\infty}|\hat f(n)|<\infty$$

then

$$S_N(f)(\theta)\rightrightarrows f(\theta)$$

So what conditions on $f$ would guarantee the absolute convergence of its Fourier series?

# Decay of the Fourier coefficients

Corollary 2.2.4 Suppose that $f\in C^2(S^1)$, then

$$\hat f(n)=O(1/n^2), \text{ as } |n|\to \infty$$

so that the Fourier series of $f$ converges absolutely and uniformly to $f$

Moreover, we have more generalized version

Theorem 2.2.5 Suppose that $f$ is $m$ times differentiable and $f^{(m)}$ is piecewise continuous, then the Fourier series of $f$ is uniformly convergent to $f$, that is to say

$$S_N(f)(x)\rightrightarrows f$$

and

$$|f-S_n(x)|<\dfrac{\epsilon_n}{n^{m-1/2}}$$

where $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\epsilon_n=0,\ \epsilon_n>0$.