# 前言

在之后的笔记中，默认所有的函数至少都是 Riemann 可积的。

# 基本概念

# Fourier 级数

定义：$f$ 的 Fourier 级数 形式上是以下无穷级数，记作

$$f(x)\sim\sum^{\infty}_{n=-\infty}\hat f(n)e^{2\pi inx/L}$$

特别地，给出标准区间的情况：定义在 $[-\pi,\pi]$ 上的可积函数 $f$ 的 Fourier 系数为

$$a_n=\dfrac 1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f(\theta)e^{-in\theta}\mathrm d\theta,\quad \forall n\in\mathbb Z$$

# 特殊性质

# 光滑性

# Fourier 系数的收敛速度

设 $f$ 在单位圆上 $m$ 次可微且满足

# Fourier 级数的收敛性

# Riemann-Lebesgue 引理

如果$f(x)\in \mathcal R([a,b])$，则有

$$\lim_{\lambda\to\infty} \int^b_af(x)\sin\lambda x\mathrm dx=0 =\lim_{\lambda\to\infty}\int^b_af(x)\cos\lambda x\mathrm dx$$

直观地看，三角函数振荡越剧烈，相邻小区间的积分值就会被抵消。所以证明从 振幅 入手

$$\begin{array}{ll}\left|\displaystyle \int ^b_af(x)\sin \lambda x\mathrm dx\right|&\leq \left|\displaystyle\sum_n\int_{\Delta x_i}(f(x)-f(x_i))\sin \lambda x\mathrm dx\right|+\left|\displaystyle \sum_n\int_{\Delta x_i}f(x_i)\sin\lambda x\mathrm dx\right|\\&\leq \displaystyle |b-a|\max{\omega_i}+\displaystyle \frac {\max{f}}\lambda\sum_n\left|\int_{\lambda\Delta x_i}\sin \lambda x \mathrm d\lambda x\right|\\&\leq L\max\omega_i+\dfrac{2n\max f}{\lambda}\end{array}$$

给定划分可以控制第一项，$\lambda$ 可以控制第二项，结果是显然的。

# 局部化原理

设 $f$ 在 $\mathbb R$ 上可积，且是 $2\pi$ 周期函数，则其 Fourier 级数的部分和函数 $S_n(x)$ 是否收敛或收敛到何值仅与 $x$ 点附近的行为有关。
换言之，$\forall \delta >0$，

$$S_n(x)\sim\dfrac 1{2\pi}\int^\delta _0(f(x-t)+f(x+t))D_n(t)\mathrm dt,\quad n\to \infty$$

局部化原理是 Riemann-Lebesgue 引理的推论，这是因为

$$\begin{array}{ll}S_n(x)&=\dfrac1\pi \displaystyle\sum^n_{k=-n}\int ^\pi_{-\pi}f(t)e^{in(x+t)}\mathrm dt\\&=\dfrac1\pi \displaystyle\int ^\pi_{-\pi}f(t)\sum^n_{k=-n}e^{in(x+t)}\mathrm dt\\&=\dfrac1\pi\displaystyle\int^{\pi}_{-\pi}f(t)D_n(x+t)\mathrm dt\\&=\displaystyle \dfrac1 \pi\int^\pi_{0}f()\end{array}$$

其中，定义 Dirichlet 核

$$D_n(x)=\dfrac{\sin(n+\tfrac12)x}{\sin\tfrac{x}{2}}$$

# Dini 判别法

设 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积。若 $\exist x_0\in [-\pi,\pi],\delta \in (0,\pi),S\in \mathbb R$ ，使得

$$\varphi(t)=\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S}{t}$$

在 $[0,\delta]$ 上可积，则

$$\lim_{n\to\infty}S_n(x_0)=S$$