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本节的目的是总结数项级数、函数列与函数项级数、无穷积分、含参积分中的一致收敛相关知识.

Cauchy 收敛定理的证明略去

一般而言有如下，

称它是收敛的，如果 ∀ϵ>0,∃N∈Z+,s.t.∀m,n>N,∣Sm−Sn∣<ϵ\forall \epsilon > 0, \ \exists N \in \mathbb{Z}_+, \ \text{s.t.} \ \forall m, n > N, \ |S_m - S_n| < \epsilon
.

# （一致）收敛的定义

给定数项级数 ∑n=1∞an,an∈R\sum^\infty_{n=1}a_n,\ a_n\in \mathbb R.

称它是 收敛 的，如果 {Sn:=∑k=1nak}\{S_n:=\sum^n_{k=1}a_k\} 满足 lim⁡n→∞Sn\lim_{n\rightarrow \infty} S_n 存在且有限.

研究完数项级数后，我们考虑更一般的情况：研究一系列数项级数。意思就是 ana_n 可以根据 xx 的取值而变化，也就是考虑函数构成的级数。

称 ∑n=0∞un(x)\sum^\infty_{n=0} u_n(x) 是一个 函数项级数 ，如果 ui(x)u_i(x) 是定义在集合 DD 上的函数。其中

∑n=0∞un(x):=u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...\sum^\infty _{n=0} u_n(x):= u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...

如果 lim⁡n→∞∑k=0nuk(x)=∑n=0∞un(x)\lim _{n\rightarrow\infty} \sum^n_{k=0}u_k(x)=\sum ^\infty_{n=0}u_n(x) 存在且有限，则记 S(x)=∑n=0∞un(x)S(x)=\sum ^\infty _{n=0}u_n(x) 为 和函数 .

研究函数项级数的行为，可以从有限情形入手，考虑部分和序列 Sn(x)S_n(x)。

称 {fn(x)}\{f_n(x)\} 是定义在集合 DD 上的 函数列 ，如果 fi(x)f_i(x) 在 DD 上有定义。

# 逐点收敛

称 {fn(x)}\{f_n(x)\} 收敛 ，如果 $\forall x_0 \in D,\ \lim_{n \to \infty} f_{n}(x_0) $ 收敛，同时记 fn(x)→f(x)f_n(x) \rightarrow f(x).

可以看到对于不同的 x0x_0 极限的收敛速度不一定相同，换句话说，

$\forall \epsilon >0,\ \exists N(x_0,\epsilon),\ s.t. \ |f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon $.

因此这里的收敛被称为 逐点收敛.

# 一致收敛

我们需要更强的条件，希望能更好控制函数列的收敛。

称 {fn(x)}\{f_n(x)\} 一致收敛 ，如果 ∀ϵ>0,∃N(ϵ)>0s.t.∀n>N,∣f(x)−fn(x)∣<ϵ,∀x∈D\forall \epsilon >0 ,\ \exists N(\epsilon )>0\ s.t. \ \forall n> N,\ |f(x)-f_n(x)|<\epsilon ,\forall x\in D.

记fn(x)⇉f(x)f_n(x)\rightrightarrows f(x).

感受得到，所谓关于谁一致收敛，实际上就是它不决定这个极限行为，而是被其他参数的行为统一抑制了。这为后面的 截断 处理手段提供了条件。

# 一致收敛的性质

为什么要有一致收敛的概念？这是分析常用手段 插值 操作中自然的需要。下面给出几个定理。

# 函数项级数的一致收敛

前提建立在 fn(x)→f(x)f_n(x)\to f(x) 上，一致收敛能保证 ff 的一些性质。

# 保证单点极限交换

如果 fn(x)⇉f(x)f_n(x)\rightrightarrows f(x)，且

∃x0∈D′,s.t.∀n,lim⁡D∋x→x0fn(x)=gn\exists x_0\in D',\ \text{s.t.}\ \forall n,\ \lim_{D\ni x\to x_0}f_n(x)=g_n

则 gn→gg_n\to g，且

lim⁡n→∞lim⁡D∋x→x0fn(x)=lim⁡D∋x→x0lim⁡n→∞fn(x)\lim_{n\to \infty}\lim_{D\ni x\to x_0}f_n(x)=\lim_{D\ni x\to x_0}\lim_{n\to\infty}f_n(x)

这是因为 ∣gm−gn∣≤∣gm−fm(x)∣+∣fm(x)−fn(x)∣+∣fn(x)−gn∣|g_m-g_n|\leq |g_m-f_m(x)|+|f_{m}(x)-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-g_n|，

以及 $|g-f (x)|\leq |f (x)-f_n (x)|+|f_n (x)-g_n|+|g_n-g| $.

这个定理打包了插值的思想，而且我们注意到插值需要一个保持收敛的 “锚点”。

借助这个定理，容易得到下面的结论。

# 保证连续性

如果 fn(x)⇉f(x),fn(x)∈C(D)f_n(x)\rightrightarrows f(x) ,\ f_n(x)\in C(D)，则 f∈C(D)f\in C(D) ，且 $$\lim_{n \to \infty}\lim_{D\ni x\to x_{0}} f_n (x)=\lim_{D\ni x\to x_{0}}\lim_{n \to \infty} f_n (x),\ \forall x_0\in D'$$

# 保证可微性

如果 fn′(x)⇉g(x),fn(x)∈C1(D)f'_n(x)\rightrightarrows g(x) ,\ f_n(x)\in C^1(D)，且

∃x0∈D′,∀n,lim⁡D∋x→x0fn(x)=gn\exists x_0\in D',\forall n,\lim_{D\ni x\to x_0}f_n(x)=g_n

则 fn⇉f∈C1(D)f_n\rightrightarrows f\in C^1(D)，且

lim⁡n→∞fn′(x)=f′(x)=g(x)\lim_{n\to \infty} f_n'(x)=f'(x)=g(x)

证明 fn⇉ff_n\rightrightarrows f 需要用到锚点。

对于极限式的证明，从定义出发是很自然的， Fn(δ):=fn(x+δ)−fn(x)δ−δfn′(x)F_n(\delta):=\displaystyle \frac {f_n(x+\delta)-f_n(x)}{\delta}-\delta f'_n(x)

∣Fn(δ)−Fm(δ)∣≤sup⁡∣fm′(x+θδ)−fn′(x+θδ)∣+∣fn′(x)−fm′(x)∣|F_n(\delta)-F_m(\delta)|\leq \sup|f'_m(x+\theta \delta )-f'_n(x+\theta\delta)|+|f_n'(x)-f'_m(x)|

最后利用单点极限交换性质得证。

# 保证可积性

如果 fn(x)⇉f(x),fn∈R(D)f_n(x)\rightrightarrows f(x),\ f_n\in \mathcal R(D)，则 f∈R(D)f\in \mathcal R(D)，且

lim⁡n→∞∫Dfn(x)dx=∫Df(x)dx\lim_{n\to \infty}\int_Df_n(x)\mathrm d x=\int _Df(x)\mathrm dx

可积性考虑 Riemann 和，Fn(P,ξ)→∣∣P∣∣→0∫Dfn(x)dxF_n(P,\xi)\xrightarrow {||P||\to 0} \int_Df_n(x)\mathrm dx，同样用单点极限交换性质，只需要说明 Fn(P,ξ)⇉F(P,ξ)F_n(P,\xi)\rightrightarrows F(P,\xi) 即可。

# 含参广义积分的一致收敛

对瑕积分的处理是一致的，所以接下来考虑的都是无穷区间的含参广义积分。含参广义积分和广义积分的关系就相当于数项级数和函数项级数的关系；从离散到连续，从单个积分到一系列积分。所以很多性质是可以类比的。

设 f(x,u)∈R([a,∞)×E)f(x,u)\in \mathcal R([a,\infty)\times E) ，称 φ(u)\varphi(u) 是含参变量 uu 的反常积分，$$\varphi (u)=\int^\infty_a f (x,u)\mathrm dx $$
大前提是 φ(u)\varphi(u) 在 $u\in E $ 上收敛。

# 定义

称含参广义积分 φ(u)\varphi(u) 关于 $u\in E $ 一致收敛，如果 ∀ϵ>0,∃A(ϵ)>a,s.t.∀A1,A2>A\forall \epsilon >0 ,\ \exists A(\epsilon)> a ,\ \text{s.t.} \ \forall A_1,A_2>A，有 $$\left|\int^{A_2}_{A_1} f (x,u)\mathrm dx\right|<\epsilon $$

为了方便，记为 ∫a∞f(x,u)dx⇉φ(u)\displaystyle \int ^\infty_a f(x,u)\mathrm dx\rightrightarrows \varphi(u)，（两边是同一个东西，但有动态和静态的细小区别）

瑕积分是类似的。在开始之前，还有一点需要注意： xx 在无穷区间上，我们是很难处理的。因此，引入 内闭一致收敛 的概念：对于区间的任一闭区间，都有一致收敛。

它的可以帮助我们说明一些 点的局部性质 ，而避开全局的不良性质。一个简单事实就是内闭一致收敛不能说明全局一致收敛，但是可以说明全局连续。

# 性质

# 保证单点极限交换

如果

∫a∞f(x,u)dx⇉φ(u),u∈E\int^\infty_a f(x,u) \mathrm dx \rightrightarrows \varphi(u),\ u\in E

且u0∈E′u_0 \in E' 满足

∀A>a,f(x,u)⇉f(x,u0),u→u0,∀x∈[a,A]\forall A>a,\ f(x,u) \rightrightarrows f(x,u_0),\ u\to u_0,\forall x\in [a,A]

则有 f(x,u0)∈R([a,∞))f(x,u_0)\in \mathcal R([a,\infty )) 且

lim⁡E∋u→u0∫a∞f(x,u)dx=∫a∞f(x,u0)dx\lim _{E\ni u\to u_0}\int ^\infty_a f(x,u)\mathrm dx=\int ^\infty_af(x,u_0)\mathrm dx

第一个条件说的是当 u→u0u\to u_0 时，f(x,u)→f(x,u0)f(x,u)\to f(x,u_0) 是关于 xx 内闭一致收敛的。

第二个条件说的是关于uu 一致收敛，这里的u0u_0 可以是∞\infty.

证明只需要考虑

∣∫A1A2f(x,u0)dx∣≤∣∫A1A2f(x,u0)−f(x,u)dx∣+∣∫A1A2f(x,u)dx∣\left|\int^{A_2}_{A_1}f(x,u_0)\mathrm dx\right|\leq\left|\int^{A_2}_{A_1}f(x,u_0)-f(x,u)\mathrm dx\right|+\left|\int^{A_2}_{A_1}f(x,u)\mathrm dx\right|

以及

∣∫aA′f(x,u0)−f(x,u)dx∣=∣∫aAf(x,u0)−f(x,u)dx+∫AA′f(x,u0)−f(x,u)dx∣\left|\displaystyle \int ^{A'}_{a}f(x,u _0)-f(x,u)\mathrm dx\right|= \left|\displaystyle \int ^{A}_{a}f(x,u _0)-f(x,u)\mathrm dx+\displaystyle \int ^{A'}_{A}f(x,u _0)-f(x,u)\mathrm dx\right|

有限部分用一致收敛控制，无限部分用广义积分（一致）收敛控制，这种 截断 思路十分常见。

当uu 取成离散的形式时，有如下推论

如果

∫a∞fn(x)dx⇉φ(u),n∈N\int^\infty_a f_n(x) \mathrm dx \rightrightarrows \varphi(u),\ n\in \mathbb N

且

∀A>a,fn(x)⇉f(x),n→∞,∀x∈[a,A]\forall A>a,\ f_n(x)\rightrightarrows f(x) ,\ n\to \infty,\forall x\in [a,A]

则有f(x)∈R([a,∞))f(x)\in \mathcal R([a,\infty)) 且

lim⁡n→∞∫a∞fn(x)dx=∫a∞f(x)dx\lim_{n\to\infty}\int _a^{\infty}f_n(x)\mathrm dx=\int^\infty_af(x)\mathrm dx

利用单点极限交换的结论，可以有下面的推论。由于无穷和有界在函数连续上还有一定的区别，所以下面的 E=[α,β]E=[\alpha,\beta].

# 保证连续性

如果

∫a∞f(x,u)dx⇉φ(u),u∈[α,β]\int^\infty_a f(x,u) \mathrm dx \rightrightarrows \varphi(u),\ u\in [\alpha,\beta]

且

f(x,u)∈C([a,∞)×[α,β])f(x,u)\in C([a,\infty)\times[\alpha,\beta])

则

φ(u)∈C([α,β])\varphi(u)\in C([\alpha,\beta])

# 保证可积性

如果

∫a∞f(x,u)dx⇉φ(u),u∈[α,β]\int^\infty_a f(x,u) \mathrm dx \rightrightarrows \varphi(u),\ u\in [\alpha,\beta]

且
f(x,u)∈C([a,∞)×[α,β])f(x,u)\in C([a,\infty)\times [\alpha,\beta])

则 φ(u)∈C([α,β]),R([α,β])\varphi(u)\in C([\alpha,\beta]),\mathcal R([\alpha,\beta])，且

∫αβ∫a∞f(x,u)dxdu=∫αβφ(u)du=∫a∞∫αβf(x,u)dudx\int^\beta_\alpha\int_a^\infty f(x,u)\mathrm dx\mathrm du=\int^\beta_\alpha\varphi(u)\mathrm du=\int ^\infty_a\int ^\beta_\alpha f(x,u)\mathrm du\mathrm dx

这是由常义积分的 Fubini 定理，取极限得到的，取极限由上面的定理保证。自然地，可以让另一个积分号也是无穷积分吗？所以只需要补全条件，得到以下推论，此时 E=[α,∞)E=[\alpha,\infty)

如果 $$\int^\infty_a f (x,u) \mathrm dx \rightrightarrows \varphi (u),\ u\in [\alpha,\infty),\quad \int^\infty_\alpha f (x,u) \mathrm du \rightrightarrows \psi (x),\ u\in [a,\infty)$$ 且 $$f (x,u)\in C ([a,\infty)\times [\alpha,\infty))$$ 当至少已知一者存在 $$\int\infty_a\int\infty_\alpha |f(x,u)|\mathrm du\mathrm dx,\quad \int\infty_\alpha\int\infty_a|f (x,u)|\mathrm dx\mathrm du$$ 则另一积分也存在，且 $$\int \infty_a\int\infty_\alpha f(x,u)\mathrm du\mathrm dx=\int\infty_\alpha\int\infty_af(x,u)\mathrm dx\mathrm du$$

这里绝对值条件是为了结合 Weierstrass 优级数判别法，使用上面的定理。

# 保证可微性

如果 $$\int^\infty_af_u (x,u)\mathrm dx\rightrightarrows \psi (u),\ \forall u\in [\alpha,\beta]$$ 且 $$f (x,u),f_u (x,u)\in C ([a,\infty)\times [\alpha,\beta])$$ 则 φ(u)∈C1([α,β])\varphi(u)\in C^1([\alpha,\beta]) 且 $$\varphi'(u)=\int^\infty_af_u (x,u)\mathrm dx$$

# 另一条线索（Dini）

这里直接给出 Dini 在含参广义积分中的版本

# 双连续 + 非负 --> 一致收敛

如果 $$f (x,u)\in C ([a,\infty)\times [\alpha,\beta];\mathbb R_{\geq 0})$$
且 $$\varphi (u)\in C ([\alpha,\beta])$$ 则 $$\int^\infty_af (x,u)\mathrm dx\rightrightarrows \varphi (u),\ u\in [\alpha,\beta]$$

# 判定