# 解的存在性 —— Peano 定理

对于一阶 ODE 的 IVP 问题 $\mathcal I_0$：$f\in C(U;\mathbb R^d)$

$$\left\{\begin{array}{ll} \dot x=f(t,x)\\ \\x(s)=z\end{array}\right.$$

# Euler 折线法

定义：
对于 $\mathcal I_0$，可以采用折线逼近的方法求解 $t\in [s,s+t_0]$ 中的一个解，称为 Euler 折线法。具体操作如下：

1. 取 $n\in \mathbb N$ 均分 $[s,s+t_0]$，记线度为 $\delta={t_0}/{n}$，记 $s+k\delta =s_k$
2. 在 $[s_0,s_1]$ 上构造

$$\phi_n(t)=z+(t-s_0)f(s,z)$$

3. 在 $[s_{k-1} ,s_k]$ 上递归地构造（$k=1,...,n$）

$$\phi_{n}(t)=\phi_{n}(s_{k-1})+(t-s_{k-1})f(s_{k-1},\phi_n(s_{k-1}))$$

4. 综上，在 $[s,s+t_0]$ 上定义 Euler 折线函数 $\phi_n(t)$

性质：$\phi(t,n)$ 可以写成一个阶梯函数的积分。定义 $\rho_n:[s,s+t_0]\to \mathbb R$ 为

$$\rho_n(t):=f(s_{k},\phi(s_{k})), \quad t\in [s_{k},s_{k+1}]$$

则有 Euler 折线的积分形式

$$\phi_n(t)=z+\int^{t}_s\rho_n(\tau)\mathrm d\tau$$

# Peano 定理

定理：设 $I$ 是紧区间，设 $\{f_n\in C(\mathbb R;\mathbb R^d)\}$ 满足一致有界和等度连续性质，则存在子列 $n_k\to \infty$ 以及 $f\in C(I)$，使得

$$f_{n_k}\rightrightarrows f$$

这是 Arzela-Ascoli 收敛定理。

在叙述 Peano 定理之前，给出一个圆柱体的定义：

$$C_{\rho,\eta}:=[s-\rho,s+\rho]\times \overline{B(z,\eta)}\subset U$$

记速度上界：

$$M:=\max\{|f(t,x)|:(t,x)\in C_{\rho,\eta}\}$$

定理：对于 $\mathcal I_0$，其在 $[s-\epsilon,s+\epsilon]$ 上至少存在一个解，这里

$$\epsilon:=\min\{\rho,\eta/M\}$$

这是 Peano 定理。

# 解的唯一性 —— Picard 迭代

# 积分算子与压缩映射

定义：对于 $\mathcal I_0$，设其解为 $\phi$，那么

$$\phi'(t)=f(t,\phi(t))$$

两侧积分后就有 $\mathcal I_0$ 的 解的积分方程

$$\phi(t)=z+\int^t_{s}f(\tau,\phi(\tau))\mathrm d\tau$$

引理：设 $\phi\in C(I;\mathbb R^d)$，且其图像 $\Gamma_\phi\subset U$。那么 $\phi$ 是 $\mathcal I_0$ 的解当且仅当其满足 $\mathcal I_0$ 的解的积分方程。

定义：对于 $\mathcal I_0$，定义关于方向场 $f$ 的 积分算子 $T$，它将图像在 $U$ 中的连续向量值函数 $\phi$ 映为另一个连续向量值函数 $T\phi$

$$(T\phi)(t):=z+\int^t_sf(\tau,\phi(\tau))\mathrm d\tau$$

度量空间、完备度量空间的概念参考本系列的其他文章。

定义：设 $(X,d)$ 是一个度量空间。设 $T:X\to X$ 是一个映射。称 $T$ 是一个 压缩映射，如果存在 $c\in (0,1)$，使得

$$\mathrm d(T(x),T(y))\leq c\mathrm d(x,y)$$

为了强调压缩程度，有时也称为 $c$ - 压缩映射。

性质：压缩映射一定是连续映射。

定理：设 $(X,d)$ 是一个完备度量空间，设 $T:X\to X$ 是一个 $c$ - 压缩映射。则 $T$ 有唯一的不动点 $x_*$。换言之，对任意 $x_0\in X$，有

$$\mathrm d(T^n(x_0),x_*)\leq \dfrac{c^n}{1-c}\mathrm d(x_0,T(x_0))$$